はさみうちの原理とは?極限の問題での使い方を徹底解説!

この記事では、「はさみうちの原理」についてわかりやすく解説していきます。

原理を使った極限の求め方や、使うときのポイントを例題を通して説明しますので、ぜひマスターしてくださいね!

 

はさみうちの原理とは?

ある式の極限が直接求められないとき、式が満たす不等式を使って極限を求められる場合があります。

そのときに役立つのが「はさみうちの原理」です。

はさみうちの原理は、関数の極限と数列の極限の両方で成り立ちます。

はさみうちの原理【関数】

関数 \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\) について、\(x\) が \(a\) に近いとき、

常に \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) かつ \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A\) ならば

\begin{align}\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = A\end{align}

はさみうちの原理【数列】

数列 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\), \(\{c_n\}\) について、\(n\) が十分に大きいとき、

\(a_n \leq b_n \leq c_n\) かつ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A\) ならば

\begin{align}\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = A\end{align}

不等式の両端の極限値が同じ値に収束すれば、はさまれた項の極限値も同様に収束することを示した原理ですね。

 

はさみうちの原理の使い方

ここでは、はさみうちの原理の使い方を説明します。

次のようなときが、はさみうちの原理の出番です。

  • ある式の極限が不定形で直接求められない
  • その式をシンプルな式または値ではさむ不等式が立てられそう
補足

「不定形の極限」とは、全体がどのような極限値に向かうかが直接定められない極限です。

不定形の極限の解消法!極限値の求め方を徹底解説

 

と言っても、その不等式を立てる部分がなかなか難しいですよね。

コツとしては、式をものすごく大雑把に見ることです。

「\(\sin x\) なんてせいぜい \(\pm 1\) 程度だし、\(x\) が大きいなら \(x\) と比べて無視できるな」とか、「\(n\) が大きかったら \(n^2\) は \(n\) を無視できるぐらい大きいでしょ」とかいった感じです。

このような見方をすると、不等式を作る見通しが立てやすくなります。

 

例題①「関数の極限を求める」

例題を見てみましょう。

例題①

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\) を求めよ。

 

分子の \(\sin x\) は周期関数なので、\(\infty\) の極限では少し扱いづらいですね。

こんなときに、はさみうちの原理で間接的に極限を求めることができます。

\(\sin x\) がとりうる値の範囲を考えると、自ずと不等式が立てられます。

解答

 

\(−1 \leq \sin x \leq 1\) より、\(x > 0\) のとき

\(\displaystyle −\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}\)

 

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \pm \frac{1}{x} \right) = 0\) であるから、はさみうちの原理より

\(\color{red}{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0}\)

このように、極限値を求められました。

Tips

例題のように三角関数を含む \(\infty\) の極限は、はさみうちの原理を疑ってみましょう。

 

例題②「数列の極限を求める」

次は、数列の問題を見てみましょう。考え方は関数と全く同じです。

例題②

\(\displaystyle a_n = \frac{n! \sin \left( \frac{n\pi}{4} \right)}{n^n}\) とする。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n\) を求めよ。

 

複雑な数列の極限ですが、まずは式を大雑把にみて、極限値をある程度予想してみましょう。

  • 無限大に向かう \(n\) の階乗やべき乗が含まれているから、\(\sin\) の部分はほとんど無視できそう
  • \(n!\) よりも \(n^n\) の方が明らかに大きそう

これらのことから、「分子よりも分母が圧倒的に大きく、\(0\) に収束するのではないか?」という予想が立てられます。

 

はさみうちの原理を \(2\) 回使って不等式を作り、\(\sin\) の予想、\(n!\), \(n^n\) の予想を実際に確認すれば、うまく極限を求められます。

解答

 

\(\displaystyle −1 \leq \sin \left( \frac{n\pi}{4} \right) \leq 1\) より

\(\displaystyle −\frac{n!}{n^n} \leq \frac{n! \sin \left( \frac{n\pi}{4} \right)}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n}\)

すなわち

\(\displaystyle −\frac{n!}{n^n} \leq a_n \leq \frac{n!}{n^n}\) …①

 

また、

\(\begin{align}n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n &\leq 1 \cdot n \cdot n \cdot \cdots \cdot n \\&= n^{n−1}\end{align}\)

より

\(\displaystyle \frac{1}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{n^{n − 1}}{n^n} = \frac{1}{n}\) …②

ここで、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\) であるから、はさみうちの原理より

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0\)

また、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( −\frac{n!}{n^n} \right) = 0\)

 

よって、①においてはさみうちの原理より

\(\color{red}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0}\)

不等式の立て方は \(1\) 通りとは限りません。

上記の例題では、次のような別解もあります。

①、②より

\(\displaystyle −\frac{1}{n} \leq − \frac{n!}{n^n} \leq a_n \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{n}\)

→ \(\displaystyle −\frac{1}{n} \leq a_n \leq \frac{1}{n}\)

としてはさみうちの原理を使う

また、\(\displaystyle \frac{n!}{n^n}\) が \(0\) に収束することは覚えておくとよいでしょう。

 

はさみうちの原理の練習問題

最後に、はさみうちの原理を使う練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「cos を含む関数の極限」

練習問題①

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x − \cos x}\) を求めよ。

 

\(x\) が大きいとき \(\cos\) の値は \(x\) に対して十分小さく、無視できそうです。

とすると、極限値はおおよそ予想できますね。

周期関数 \(\cos\) をはさみうちの原理で上手く処理してあげましょう。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle f(x) = \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x − \cos x}\) とおく。

 

任意の実数 \(y\) に対し

\(−1 \leq \cos y \leq 1\)

であるから、

 

\(x\) が十分大きいとき、\(f(x)\) の分母に着目して

\(\displaystyle \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x + 1} \leq f(x) \leq \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x − 1}\)

 

分子に着目して

\(\displaystyle \frac{x − 1}{x + 1} \leq \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x + 1} \leq f(x) \leq \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x − 1} \leq \frac{x + 1}{x − 1}\)

 

すなわち

\(\displaystyle \frac{x − 1}{x + 1} \leq f(x) \leq \frac{x + 1}{x − 1}\)

 

ここで、

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x − 1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x − 1} = 1\)

であるから、はさみうちの原理より

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x − \cos\frac{x}{2}}{x − \cos x} = 1\)

 

答え: \(\color{red}{1}\)

 

練習問題②「ガウス記号を含む極限」

練習問題②

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{[x\pi]}{x}\) を求めよ。

ただし \([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数である。

 

ガウス記号を含む極限では、ほぼ確実にはさみうちの原理を使います。

解答

 

\(x\pi − 1 \leq [x\pi] \leq x\pi\) より、

\(x > 0\) のとき

\(\displaystyle \frac{x\pi − 1}{x} = \pi − \frac{1}{x} \leq \frac{[x\pi]}{x} \leq \frac{x\pi}{x} = \pi\)

すなわち

\(\displaystyle \pi − \frac{1}{x} \leq \frac{[x\pi]}{x} \leq \pi\)

 

ここで、

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \pi − \frac{1}{x} \right) = \pi\)

より、はさみうちの原理から

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{[x\pi]}{x} = \pi\)

 

答え: \(\color{red}{\pi}\)

以上で練習問題も終わりです。

 

慣れるまでは少し大変ですが、不定形の極限を求める際にはさみうちの原理は強力な武器になります。

練習を重ねて、使いこなせるようになりましょう!

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