複素数とは?公式や i の 2 乗の意味、計算問題の解き方

この記事では「複素数」とは何か、公式などをわかりやすく解説します。

\(i\) の \(2\) 乗の意味や計算問題の解き方なども説明しますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

複素数とは?

複素数とは、数直線上に表せる数(実数)と表せない数(虚数)を合わせた数の概念です。

まずは、複素数を知る上で必要不可欠な「虚数単位 \(i\)」について見ていきましょう。

虚数単位 i

\(2\) 乗して \(−1\) になる数を「虚数単位 \(i\)」と定義します。

虚数と虚数単位

虚数単位 \(i\) とは、

\(\color{red}{i^2 = −1}\) または \(\color{red}{i = \sqrt{−1}}\)

を満たす数であり、\(i\) を含む数を虚数という。

どんな実数も \(2\) 乗すれば必ず \(0\) 以上になるので、\(i\) を含む数は確かに実数ではないですね。

 

複素数の定義

ここまでを踏まえて、複素数の定義を確認しましょう。

複素数の定義

実数 \(a\), \(b\) と虚数単位 \(i\) を用いて

\begin{align}\color{red}{ a + bi }\end{align}

と表される数を複素数という。

\(a\) を「実部」、\(b\) を「虚部」と呼ぶ。

 

複素数における実数と虚数

複素数は、実数よりも数の概念を拡張したものと考えてください。

次に示すように、複素数には実数・虚数が含まれます。

複素数における実数と虚数

複素数 \(a + bi\)(\(a, b\) は実数)は、次のように分類できる。

  • \(b = 0\) のとき
    実数 \(\color{red}{a}\)
  • \(b \neq 0\) のとき
    虚数 \(\color{red}{a + bi}\)
    特に \(a = 0\), \(b \neq 0\) のとき
    純虚数 \(\color{red}{bi}\)

 

補足

実数でない数なんて必要あるのかなあ、と思うかもしれません。

しかし、現代の物理学のほぼすべての分野の発展に複素数は貢献しています。

(中でも光、音、電磁波、交流電流などの「波動」の分野)

電気や電波に囲まれた私たちの文明は、複素数に支えられていると言っても過言ではありません。

虚数で私たちの現実世界が成り立っているなんて、なんだか不思議で神秘的ですね。

 

複素数の公式

ここでは、複素数の四則演算のルールや公式について説明していきます。

実数の四則演算と同様、複素数でも基本的に分配法則・結合法則・交換法則などが成り立ちます。

複素数特有の実部・虚部の扱いに注意しながら、それぞれのやり方を見ていきましょう。

複素数の足し算

まずは複素数同士の足し算です。

複素数の加法

\(a, b, c, d\) を実数とすると、

\begin{align}\color{red}{(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i}\end{align}

実部同士、虚部同士を足したものがそれぞれ新しい実部、虚部となります。

例題

以下を計算せよ。

\((1 + 4i) + (6 + i)\)

 

公式通り、実部同士、虚部同士を足し合わせます。

\((1 + 4i) + (6 + i)\)

\(= (1 + 6) + (4 + 1)i\)

\(= \color{red}{7 + 5i}\)

簡単ですね!

 

複素数の引き算

続いて、複素数同士の引き算です。

複素数の減法

\(a, b, c, d\) を実数とすると、

\begin{align}\color{red}{(a + bi) − (c + di)  = (a − c) + (b − d)i}\end{align}

足し算と同様、実部同士・虚部同士を引き算したものが新しい実部、虚部になります。

例題

以下を計算せよ。

\((3 + 5i) − (4 − 2i)\)

 

公式通りに計算します。

\((3 + 5i) − (4 − 2i)\)

\(= (3 − 4) + (5 − (−2))i\)

\(= \color{red}{−1 + 7i}\)

このように、足し算・引き算で \(i\) は文字のように扱うことができるのですね。

 

複素数のかけ算

続いて、複素数同士のかけ算です。

複素数の乗法

\(a, b, c, d\) を実数とすると、

\begin{align}\color{red}{(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i}\end{align}

分配法則で式を展開した後、\(i^2 = −1\) の項が出てきて実部になります。

展開の過程は次の通りですが、上記の公式をそのまま覚えてしまうと楽です。

\((a + bi)(c + di)\)

\(= a \cdot c + a \cdot di + bi \cdot c + bi \cdot di\)

\(= ac + (ad + bc)i + bd \cdot i^2\)

\(= ac + (ad + bc)i − bd\)

\(= (ac − bd) + (ad + bc)i\)

補足

ちなみに、複素数同士の積が \(0\) であればどちらか一方の複素数は必ず \(0\) です。

\((a + bi)(c + di) = 0\) のとき、

\(a + bi = 0\) または \(c + di = 0\)

すなわち

\(a = 0\), \(b = 0\) または \(c = 0\), \(d = 0\)

例題

以下を計算せよ。

\((1 + i)(1 − 3i)\)

 

公式通りに計算します。

\((1 + i)(1 − 3i)\)

\(= (1 + 3) + (1 − 3)i\)

\(= \color{red}{4 − 2i}\)

式が複雑になってくると符号を間違えやすいので、注意しましょうね!

 

共役な複素数の性質

複素数の割り算に入る前に、共役な複素数の性質を学んでおきましょう。

共役な複素数

\(a, b\) が実数のとき、

\(\color{red}{a + bi}\) と \(\color{red}{a − bi}\) を互いに共役な複素数という。

実部は同じで、虚部が \(−1\) 倍の複素数同士を「互いに共役」といいます。

 

共役な複素数同士の和や積は、必ず実数となります。

共役な複素数の和

\(a, b\) を実数とすると、

\begin{align}\color{red}{(a + bi) + (a − bi) = 2a}\end{align}

共役な複素数の積

\(a, b\) を実数とすると、

\begin{align}\color{red}{(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2}\end{align}

共役な複素数の積は、次の複素数同士の割り算で利用します。

 

複素数の割り算

最後に、複素数同士の割り算について説明します。

複素数の除法

\(a, b, c, d\) が実数で、\(a, b\) の少なくとも一方が \(0\) でないとする。

\begin{align}\displaystyle \frac{c + di}{a + bi} &= \frac{(c + di)\color{red}{(a − bi)}}{(a + bi)\color{red}{(a − bi)}}\\&= \frac{(ac + bd) + (ad − bc)i}{a^2 + b^2}\\&= \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{ad − bc}{a^2 + b^2} i\end{align}

複素数同士の割り算は少しやっかいで、分母に虚数があると計算できません。

そこで、分母の共役な複素数を上下にかけることで分母を実数だけにします。

これを、複素数の「分母の実数化」と呼びます。

補足

考え方は、分母にルート(累乗根)を含む時の「分母の有理化」と同じです。

有理化に自信のない人は、以下の記事で復習しておきましょう!

有理化とは?やり方や問題の解き方、複素数の場合や難問も!
例題

以下を計算せよ。

\(\displaystyle \frac{1 + i}{1 − i}\)

 

分母を実数化するために、分母 \(1 − i\) の共役複素数 \(1 + i\) を分母・分子にかけましょう。

\(\begin{align}\displaystyle \frac{1 + i}{1 − i} &= \frac{(1 + i)^2}{(1 − i)(1 + i)}\\&= \frac{(1 − 1) + 2i}{1 + 1}\\&= \frac{2i}{2}\\&= \color{red}{i}\end{align}\)

割り算でも \(i^2\) がよく出てくるので、符号には注意しましょう。

慣れれば簡単にできますよ!

 

【発展】複素数の絶対値

\(z = a + bi\) とおくと、\(z\) の共役複素数 \(a − bi\) は \(\overline{z}\) と表せます。

共役な複素数の積 \(z\overline{z}\) について、次が成り立ちます。

\begin{align} z\overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \end{align}

(ただし、\(|z| = |\overline{z}|\))

そこで、\(\color{red}{|z| = \sqrt{a^2 + b^2}}\) は「\(z\) の絶対値」と定義されます。

 

複素数の絶対値は、複素数平面の計算でよく登場します。

補足

「複素数平面」については以下の記事で解説しています。

複素数平面を総まとめ!性質や各種公式【重要記事一覧】

 

複素数の計算問題

それでは、複素数の計算問題に挑戦しましょう。

計算問題①「複素数同士を足す、引く」

計算問題①

以下を計算せよ。

\((1 + i) + (−3 + 7i) − (2 − i)\)

 

複素数の足し算、引き算ですね。

実部と虚部を明確に切り分けましょう。

解答

 

\((1 + i) + (−3 + 7i) − (2 − i)\)

\(= (1 − 3 − 2) + (1 + 7 + 1)i\)

\(= −4 + 9i\)

 

答え: \(\color{red}{−4 + 9i}\)

 

計算問題②「複素数同士をかける」

計算問題②

以下を計算せよ。

\(i(1 − i)(2 + 3i)\)

 

\(i^2\) に注意しながら、かけ算してくださいね。

解答

 

\(i(1 − i)(2 + 3i)\)

\(= (i − i^2)(2 + 3i)\)

\(= (i + 1)(2 + 3i)\)

\(= (1 + i)(2 + 3i)\)

\(= (2 − 3) + (2 + 3)i\)

\(= −1 + 5i\)

 

答え: \(\color{red}{−1 + 5i}\)

 

計算問題③「複素数の分数を有理化(実数化)する」

計算問題③

以下を計算せよ。

(1)  \(\displaystyle \frac{1 + i}{i}\)

(2)  \(\displaystyle \frac{2 − i}{(1 + i)(3 + i)}\)

 

分母の共役複素数を考えましょう。

(2) では、まず分母の複素数を展開してから実数化するとよいです。

解答

 

(1)

\(\begin{align}\displaystyle \frac{1 + i}{i} &= \frac{(1 + i)(−i)}{i(−i)}\\&= \frac{−i + 1}{1}\\&= 1 − i\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{1 − i}\)

 

 

(2)

\(\begin{align}\displaystyle \frac{2 − i}{(1 + i)(3 + i)} &= \frac{2 − i}{3 − 1 + (1 + 3)i}\\&= \frac{2 − i}{2 + 4i}\\&= \frac{2 − i}{2(1 + 2i)}\\&= \frac{(2 − i)(1 − 2i)}{2(1 + 2i)(1 − 2i)}\\&= \frac{(2 − 2) + (−1 − 4)i}{2(1 + 4)}\\&= \frac{−5i}{10}\\&= −\frac{i}{2}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle −\frac{i}{2}}\)

以上で問題も終わりです!

 

\(i\) の性質を理解しておけば、複素数の計算は難しくありません。

分母の実数化など慣れが必要な計算もあるので、しっかり練習しておきましょう!

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