有理化とは?やり方や問題の解き方、複素数の場合や難問も!

この記事では、「有理化」のやり方や問題の解き方を解説していきます。

また、複素数における有理化や、少し難しい問題についても解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

有理化とは?

有理化とは、分母に根号( \(\sqrt{ }\) )を含む分数の式を変形して、分母に根号を含まない式にすることです。

分母を無理数から有理数に変換するので、「分母の有理化」と呼ぶのですね。

 

例えば、次のような式変形が分母の有理化です。

(例)

  •  \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\) → \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\color{red}{2}}\)
  •  \(\displaystyle −\frac{2}{\sqrt{3}}\) → \(\displaystyle −\frac{2\sqrt{3}}{\color{red}{3}}\)

 

有理化のやり方

それでは、有理化のやり方を説明していきます。

分母の項が 1 つの場合【例題】

まずは、分母の項が \(1\) つの場合の有理化です。

有理化① 分母の項が 1 つの場合

\begin{align} \displaystyle \frac{b}{k\sqrt{a}} = \frac{b}{k\sqrt{a}} \color{salmon}{\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}} = \frac{b\sqrt{a}}{ka} \end{align}

この場合はとてもシンプルで、分母の項の根号部分(\(\sqrt{a}\))を分母と分子両方にかけるだけです。

最後に、約分できるなら約分して式を整理します。

 

では、例題でやり方を確認しましょう!

例題

\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\) を有理化しなさい。

 

\(\sqrt{12}\) を上下にかけて…となるのはちょっと待ってください。

まずは、分母にある根号の中身を確認し、できるなら簡単にしておきましょう。

根号の中身が大きいまま進めてしまうと、後の計算が面倒になります。

\( \sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)

それでは、分母の項 \(2\sqrt{3}\) の根号部分 \(\sqrt{3}\) を分母と分子にかけます。

解答

 

\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}} = \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} \color{salmon}{\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{15}}{6}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{6}}\)

この流れが、有理化の基本となります。

 

分母の項が 2 つの場合【例題】

次に、分母の項が \(2\) つの場合の有理化のやり方を学んでいきましょう。

有理化② 分母の項が 2 つの場合

\begin{align} \displaystyle \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \color{salmon}{\times \frac{\sqrt{a} − \sqrt{b}}{\sqrt{a} − \sqrt{b}}} \\ &= \frac{c(\sqrt{a} − \sqrt{b})}{a − b} \end{align}

 

この場合は、単純に分母の項をかけるだけでは根号が外れないので、和と差の積を利用しています。

和と差の積の公式

\begin{align}(a + b)(a − b) = a^2 − b^2\end{align}

分母が \((\sqrt{a} + \sqrt{b})\) の場合、分母と分子にそれぞれ \((\sqrt{a} − \sqrt{b})\) をかけてあげると和と差の積により分母の根号が外せます。

 

では、例題を使って確認してみましょう。

例題

\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5} + 2}\) を有理化しなさい。

 

この問題では、分母と分子に \((\sqrt{5} − 2)\) をかけてあげます。

解答

 

\(\begin{align} \frac{3}{\sqrt{5} + 2} &= \frac{3 \color{salmon}{(\sqrt{5} − 2)}}{(\sqrt{5} + 2)\color{salmon}{(\sqrt{5} − 2)}} \\ &= \frac{3(\sqrt{5} − 2)}{5 − 4} \\ &= \frac{3(\sqrt{5} − 2)}{1} \\ &= 3(\sqrt{5} − 2) \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{3(\sqrt{5} − 2)}\)

分母がスッキリ整数になって有理化できましたね!

 

分母の項が 3 つの場合【例題】

最後に、分母の項が \(3\) つの場合の有理化も確認しておきましょう。

有理化③ 分母の項が 3 つの場合

\(\displaystyle \frac{d}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\)\(\displaystyle = \frac{d}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c}} \color{salmon}{\times \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) − \sqrt{c}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) − \sqrt{c}}}\)

一見複雑にみえますが、この場合も和と差の積を利用しています。

その際、分母の項のうち \(2\) つをまとめて \(1\) つの項と見ることがポイントです。

なお、\(1\) 回目の有理化のあとにまだ分母に根号が残った形になるので、もう一度有理化が必要になります。

Tips

\(3\) つの項を \(2\) つのかたまりに分けるときは、根号の中身が小さい \(2\) つを \(1\) つにまとめ、中身が最も大きいものを単独にしましょう

例えば、\(\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3}\) ならば \((\sqrt{1} + \sqrt{2})\) と \(\sqrt{3}\) に分けます。

そうすると、中身の大きい根号が \(2\) 乗によって解消されて、そのあとの計算が楽になります。

 

では、例題を解いてみましょう!

例題

\(\displaystyle \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}\) を有理化しなさい。

 

まず、分母の項のうち \(2\) つをまとめ、和と差の積が利用できるかたちにしましょう。

その後、和と差になるような数を分母・分子にかけてあげます。

解答

 

\(\displaystyle \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \color{salmon}{\times \frac{(1 + \sqrt{2}) − \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) − \sqrt{3}}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{(1 + \sqrt{2}) − \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 − (\sqrt{3})^2}\)

 

\(\displaystyle = \frac{1 + \sqrt{2} − \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 − 3}\)

 

\(\displaystyle = \frac{1 + \sqrt{2} − \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)

まだ分母に根号が残っていますね。

なので、もう一度有理化します。\(\sqrt{2}\) を分母と分子にかけましょう。

(解答続き)

 

\(\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2} − \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \color{salmon}{\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{2} + 2 − \sqrt{6}}{4}\)

 

\(\displaystyle = \frac{2 + \sqrt{2} − \sqrt{6}}{4}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{2 + \sqrt{2} − \sqrt{6}}{4}}\)

有理化は \(2\) 回以上行うこともあるんだと認識しておいてくださいね!

 

有理化の練習問題

それでは、練習問題を通して分母の有理化を極めましょう!

練習問題①「2/√72」

練習問題①

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{72}}\) を有理化しなさい。

 

分母の根号の中身を整理して、小さくできますね。

それに気づけたらとても簡単な問題です。

解答

 

\(\begin{align} \frac{2}{\sqrt{72}} &= \frac{2}{6\sqrt{2}} \\ &= \frac{2}{6\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{2\sqrt{2}}{12} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}\)

 

練習問題②「(√15 − 3)/(5 − 2√6)」

練習問題②

\(\displaystyle \frac{\sqrt{15} − 3}{5 − 2\sqrt{6}}\) を有理化しなさい。

 

和と差の積の公式を利用します。

分母の数をみて、分母と分子にかける数を考えましょう。

解答

 

分母と分子に \((5 + 2\sqrt{6})\) をかけて、

\(\displaystyle \frac{\sqrt{15} − 3}{5 − 2\sqrt{6}}\)

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{15} − 3}{5 − 2\sqrt{6}} \cdot \frac{5 + 2\sqrt{6}}{5 + 2\sqrt{6}}\)

\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{15} − 3)(5 + 2\sqrt{6})}{25 − 24}\)

\(\displaystyle = \frac{5\sqrt{15} + 6\sqrt{10} − 15 − 6\sqrt{6}}{1}\)

\(= 5\sqrt{15} + 6\sqrt{10} − 6\sqrt{6} − 15\)

 

答え: \(\color{red}{5\sqrt{15} + 6\sqrt{10} − 6\sqrt{6} − 15}\)

 

練習問題③「(√3 − √7 + √10)/(√3 + √7 + √10)」

練習問題③

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3} − \sqrt{7} + \sqrt{10}}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}\) を有理化しなさい。

 

分母を \(2\) つに分けるとすると、根号の中身の大きい \(\sqrt{10}\) が単独となるよう、\(\sqrt{3} + \sqrt{7}\) と \(\sqrt{10}\) に分けますね。

しかし、同じ分け方のまま分子を展開すると計算が大変になってしまいます。

そこで、うまく和と差ができるように分子の分け方を変えて、計算を工夫してみましょう。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3} − \sqrt{7} + \sqrt{10}}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{3} − \sqrt{7} + \sqrt{10}}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10}} \cdot \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) − \sqrt{10}}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) − \sqrt{10}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\color{salmon}{\sqrt{3} − (\sqrt{7} − \sqrt{10})}}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10}} \cdot \frac{\color{salmon}{\sqrt{3} + (\sqrt{7} − \sqrt{10})}}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) − \sqrt{10}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{3})^2 − (\sqrt{7} − \sqrt{10})^2}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 − (\sqrt{10})^2}\)

 

\(\displaystyle = \frac{3 − (7 − 2\sqrt{70} + 10)}{(3 + 2\sqrt{21} + 7) − 10}\)

 

\(\displaystyle = \frac{2\sqrt{70} − 14}{2\sqrt{21}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{70} − 7}{\sqrt{21}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{70} − 7}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\)

 

\(\displaystyle = \frac{7\sqrt{30} − 7\sqrt{21}}{21}\)

 

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{30} − \sqrt{21}}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{30} − \sqrt{21}}{3}}\)

 

【参考】複素数の実数化

最後に、分母の有理化とよく似た、複素数の分母の実数化について少し解説していきます。

分母に虚数 \(i\) が含まれている式を変形して、分母が実数のみの式にするのが「分母の実数化」です。

分母の実数化は、分母の有理化と同様に計算できます。

分母の項が 1 つの場合【例題】

まず、分母の項が \(1\) つの場合の実数化です。

分母の実数化① 分母の項が 1 つの場合

\begin{align} \frac{b}{ai} = \frac{b}{ai} \color{salmon}{\times \frac{i}{i}} = −\frac{bi}{a} \end{align}

虚数 \(i\) には、同じく虚数 \(i\) をかけてあげれば \(−1\) と実数にすることができましたね。

このとき、\(i^2 = −1\) ですので、答えの符号にはくれぐれも気をつけましょう。

 

では、実際に例題を使って確認していきましょう!

例題

\(\displaystyle \frac{3}{2i}\) の分母を実数化しなさい。

 

分母に虚数 \(i\) が含まれるので、分母と分子に \(i\) をかけます。

解答

 

\(\begin{align} \frac{3}{2i} &= \frac{3}{2i} \color{salmon}{\times \frac{i}{i}} \\ &= \frac{3i}{2i^2} \\ &= \frac{3i}{2 \cdot (−1)} \\ &= −\frac{3i}{2} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−\displaystyle \frac{3i}{2}}\)

簡単ですね!

 

分母の項が 2 つの場合【例題】

次に、分母の項が \(2\) つの場合の実数化のやり方です。

複素数の分母の実数化

\begin{align}\displaystyle \frac{c}{a + bi} = \frac{c}{a + bi} \color{salmon}{\times \frac{a − bi}{a − bi}} = \frac{c(a − bi)}{a^2 + b^2} \end{align}

有理化と同じく、和と差の積を利用して進めていきます。

ただし、\(i^2 = −1\) ですから、和と差の積の符号を間違えないように気をつけましょう。

補足

\(a + bi\) と \(a − bi\) のように、和と差の関係で表される \(2\) つの複素数を「共役な複素数」といいます。

複素数とは?公式や i の 2 乗の意味、計算問題の解き方

 

それでは例題で確認してみましょう!

例題

\(\displaystyle \frac{25}{3 − 4i}\) の分母を実数化しなさい。

 

分母が \((3 − 4i)\) なので、分母と分子に \((3 + 4i)\) をかけると分母を実数化できます。

途中計算では \(i^2 = −1\) に注意しましょう!

解答

 

\(\begin{align} \frac{25}{3 − 4i} &= \frac{25}{3 − 4i} \color{salmon}{\times \frac{3 + 4i}{3 + 4i}} \\&= \frac{25(3 + 4i)}{3^2 − (4i)^2} \\&= \frac{25(3 + 4i)}{9 − 16i^2} \\&= \frac{25(3 + 4i)}{9 \color{salmon}{+ 16}} \\&= \frac{25(3 + 4i)}{25} \\&= 3 + 4i \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{3 + 4i}\)

以上で分母の有理化、実数化の説明は終わりです!

 

有理化は、非常に重要な計算テクニックです。

この記事でしっかりと復習して、必ずマスターしておきましょうね!

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