概数(がい数)とは?意味や計算問題(四捨五入など)の復習!

この記事では、「概数」の意味や計算方法(四捨五入など)をわかりやすく解説していきます。

小数点を含む計算問題なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

概数(がい数)とは?

概数(がい数)とは、おおよその数のことです。

正確さよりも、だいたいの数量・大きさがわかればよいときに使われます。

日常生活でも、誰もが何気なく概数を使っているはずです。

  • 「このTシャツ \(4,000\) 円くらいだった!(本当は \(3,980\) 円)」
  • (チョコレートが \(100\) 円ちょっとでサンドイッチが \(300\) 円くらいだから \(500\) 円玉出せば払えるな…)

小学 \(4\) 年生で習う概数(がい数)ですが、数量を大まかにとらえる力は高校生、あるいは大人になってもとても重要です。

この機会に復習しておきましょう!

 

概数の求め方

概数の求め方には「切り捨て」「切り上げ」「四捨五入」の \(3\) つがあり、目的に応じて使い分けます。

① 切り捨て

切り捨て

数字を少し小さめの概数に見積もりたいときに使う方法。

注目する桁以下をすべて \(0\) にする。

(例)

\(12594\) について、百の位で切り捨てすると…

\(12\underline{5}94\) → \(\color{red}{12000}\)

(百の位以下をすべて \(0\) にする)

 

② 切り上げ

切り上げ

数字を少し大きめの概数に見積もりたいときに使う方法。

注目する桁以下をすべて \(0\) にし、\(1\) つ上の桁に \(1\) を足す。

(例)

\(12594\) について、百の位で切り上げすると…

\(12\underline{5}94\) → \(\color{red}{13000}\)

(百の位以下を \(0\) にし、千の位に \(1\) を足す)

 

③ 四捨五入

四捨五入

ある程度正確な概数に見積もりたいときに使う方法。

注目する桁が \(0\) ~ \(4\) なら切り捨て、\(5\) ~ \(9\) なら切り上げる。

(例)

\(12594\) について、百の位で四捨五入すると…

\(12\underline{5}94\) → \(\color{red}{13000}\)

(\(5\) なので切り上げる)

 

概数と注目する桁

概数を求めるときは、切り捨て・切り上げ・四捨五入を行う具体的な桁(位)を指定します。

問題ではさまざま書かれ方をするので、「注目する桁」を間違えないように気をつけましょう。

次のような表現がよくあります。

  • 「〇の位で〜〜しなさい」
  • 「〇の位までのがい数にしなさい」
  • 「上から〇桁のがい数にしなさい」

 

また、「小数点以下」に注目して概数を求めることもあります。

  • 「小数点以下を〜〜しなさい」
  • 「小数第〇位を〜〜しなさい」
  • 「小数第〇位までのがい数にしなさい」

補足

小数第〇位の概数を求めるとき、その位以下の「\(0\)」は書きません。

(例)

\(3.62493\) を四捨五入して小数第 \(1\) 位までのがい数とすると

\(3.6\)(\(3.60000\) ではない)

せっかく計算が合っていても概数の求め方で不正解になるのはもったいないので、必ず押さえておきましょう!

 

概数の計算問題

それでは、概数の計算問題に挑戦しましょう。

計算問題① がい数の基礎(小4レベル)

計算問題①

(1) \(650284\) を切り捨てして上から \(3\) 桁のがい数にしなさい。

(2) \(9523843\) を切り上げて万の位までのがい数にしなさい。

(3) \(27.481495\) を四捨五入して小数第 \(2\) 位までのがい数にしなさい。

 

がい数を求める方法(切り捨て・切り上げ・四捨五入)と、注目する桁をしっかり確認しましょう。

解答

 

(1)

\(650284\) の百の位で切り捨てて、

\(650000\)

答え: \(\color{red}{650000}\)

 

(2)

\(9523843\) を千の位で切り上げて、

\(9530000\)

答え: \(\color{red}{9530000}\)

 

(3)

\(27.481495\) を小数第 \(3\) 位で四捨五入して、

\(27.48\)

答え: \(\color{red}{27.48}\)

 

計算問題② がい数の四則計算(小4レベル)

続いて、足し算・引き算・かけ算・わり算の問題です。

計算問題②

四捨五入で上から \(1\) 桁のがい数にして、次の計算の答えを見積もりなさい。

(1) \(74513 + 38534 − 9815\)

(2) \(9213 \times 411 \div 795\)

 

がい数にしてから四則計算することで、簡単な計算でおおよその値を求められます。

この考え方は、高校に入っても検算などで役立ちますね。

解答

 

(1)

\(74513 + 38534 − 9815\)

→ \(70000 + 40000 \) \(−\, 10000 = 100000\)

答え: \(\color{red}{100000}\)

 

(2)

\(9213 \times 411 \div 795\)

→ \(9000 \times 400 \div 800 = 4500\)

答え: \(\color{red}{4500}\)

 

計算問題③ 元の数の範囲(高校レベル)

今度は、高校レベルの問題です。

計算問題③

\(2\) つの実数 \(a, b\) は、小数第 \(1\) 位を四捨五入して整数で表すとそれぞれ \(3, 8\) である。このとき、実数 \(5a − 2b\) の範囲を求めよ。

 

概数の情報から、元の数がどのような値の範囲をとるかを見極めます。

解答

 

\(2.5 \leq a < 3.5\) より

\(12.5 \leq 5a < 17.5\) …①

 

\(7.5 \leq b < 8.5\) より

\(−17 < −2b \leq −15\) …②

 

① + ② より

\(−4.5 < 5a − 2b < 2.5\)

 

答え: \(\color{red}{−4.5 < 5a − 2b < 2.5}\)

補足

この問題で、以下のようにするのは誤りです。

\(12.5 \leq 5a < 17.5\)、\(15 \leq 2b < 17\) より

\(−2.5 \leq 5a − 2b < 0.5\)

一般に、不等式同士の足し算は問題ありませんが、不等式同士の引き算は NG です。

最大値同士の差が最大値になるわけでも、最小値同士の差が最小値になるわけでもないからです。

\(x_{\mathrm{min}} \leq x \leq x_{\mathrm{max}}\)、\(y_{\mathrm{min}} \leq y \leq y_{\mathrm{max}}\) において

\(\text{($x − y$ の最小値)} = x_{\mathrm{min}} − y_{\mathrm{max}}\)

\(\text{($x − y$ の最大値)} = x_{\mathrm{max}} − y_{\mathrm{min}}\)

 

概数と有効数字

高校以降では、特に物理や化学などの理系科目で「有効数字」という考え方が出てきます。

取り扱う値が何らかの測定値であるときに、誤差を考慮した信用できる数字(= 意味のある数字)だけを取り出す必要があります。

それが「有効数字」です。

概数の目的が「おおよその値を求めること」であるのに対して、有効数字の目的は「測定値のうち、意味のある部分とそうでない部分を明確にすること」です。

概数と有効数字とでは、目的がまったく異なるのですね。

有効数字を求める際も四捨五入を行いますが、有効数字の四則計算では概数と異なるルールがあるので注意が必要です。

有効数字を習うときは、そのことに注意してくださいね!

以上で解説は終わりです。

 

小学 \(4\) 年生で習う概数ですが、いざという時に忘れがちです。

大人になっても役立つ重要な考え方なので、この機会にぜひ復習してくださいね!

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