この記事では、「扇形（おうぎ形）」についてできるだけわかりやすく解説していきます。
扇形の面積や弧の長さの公式（度数法と弧度法どちらも）、また、中心角や半径の求め方なども説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。
目次
扇形（おうぎ形）とは？
扇形（おうぎ形）とは、\(2\) 本の半径とその間にある弧でできた図形です。
円の一部と考えるとイメージしやすいです。
また、\(2\) つの半径で囲まれた角を「中心角」、半径同士を繋いでいる曲線部分を「円弧」といいます。
円周上の \(2\) 点が \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) などと与えられている場合、「弧 \(\mathrm{AB}\)」または記号を使って「\(\color{red}{\stackrel{\Large\mbox{$\frown$}}{\mathrm{AB}}}\)」と表します。
ちなみに、円周上の点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) を直線で結んだ部分は「弦 \(\mathrm{AB}\)」と呼びます。
扇形の面積の求め方
扇形の面積は、同じ半径をもつ円の面積に中心角の割合をかければ求められます。
\begin{align}\text{(扇形の面積)} = \text{(円の面積)} \times \text{(中心角の割合)}\end{align}
（見切れる場合は横へスクロール）
中心角が度数法の場合も弧度法の場合も、この考え方はまったく同じです！
まずはこの関係を覚えておきましょう。
【度数法の公式】扇形の面積
角度が度数法で与えられた場合、扇形の面積を求める公式は次のとおりです。
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) \(({}^\circ)\) の扇形の面積 \(S\) は
\begin{align}\displaystyle \color{red}{S = r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ}}\end{align}
「\(r^2 \pi\)」が円の面積、「\(\displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\)」が中心角の割合ですね。
半径 \(8\) \(\text{cm}\)、中心角 \(90^\circ\) である扇形の面積を求めよ。
求める扇形の面積を \(S\) とおくと
\(\begin{align}S &= r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \\&= 8^2 \pi \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} \\&= 64 \pi \cdot \frac{1}{4} \\&= 16\pi \ (\text{cm}^2)\end{align}\)
答え： \(\color{red}{16\pi \ \text{cm}^2}\)
【弧度法の公式】扇形の面積
角度が弧度法で与えられた場合、扇形の面積を求める公式は次のとおりです。
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) の扇形の面積 \(S\) は
\begin{align} \color{red}{S \left(= r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{2\pi}\right) = \frac{1}{2} r^2 \theta} \end{align}
弧度法では \(360^\circ\) が \(2\pi \ \mathrm{rad}\) に対応するので、中心角の割合は「\(\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\)」となります。
半径 \(8\) \(\text{cm}\)、中心角 \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) である扇形の面積を求めよ。
求める扇形の面積を \(S\) とおくと
\(\begin{align}S &= \frac{1}{2}r^2 \theta \\&= \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{\pi}{2} \\&= 16\pi \ (\text{cm}^2)\end{align}\)
答え： \(\color{red}{16\pi \ \text{cm}^2}\)
扇形の弧の長さの求め方
扇形の弧の長さは、同じ半径をもつ円の円周の長さに中心角の割合をかければ求められます。
\begin{align}\text{(扇形の弧の長さ)} = \text{(円の円周の長さ)} \times \text{(中心角の割合)}\end{align}
（見切れる場合は横へスクロール）
【度数法の公式】扇形の弧の長さ
角度が度数法で与えられた場合、扇形の弧の長さを求める公式は次のとおりです。
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) \(({}^\circ)\) の扇形の弧の長さ \(l\) は
\begin{align}\color{red}{l = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}}\end{align}
「\(2 \pi r\)」が円の円周の長さ、「\(\displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\)」が中心角の割合ですね。
半径 \(6\)、中心角 \(120^\circ\) である扇形の弧の長さを求めよ。
求める扇形の弧の長さを \(l\) とおくと、
\(\begin{align}l &= 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}\\&= 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ}\\&= 12\pi \cdot \frac{1}{3}\\&= 4\pi\end{align}\)
答え： \(\color{red}{4\pi}\)
【弧度法の公式】扇形の弧の長さ
角度が弧度法で与えられた場合、扇形の弧の長さを求める公式は次のとおりです。
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) の扇形の弧の長さ \(l\) は
\begin{align} \color{red}{l \left(= 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi}\right) = r \theta} \end{align}
中心角の割合が「\(\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\)」なので、\(2\pi\) が約分されてシンプルになりますね。
半径 \(6\)、中心角 \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\) である扇形の弧の長さを求めよ。
求める扇形の弧の長さを \(l\) とおくと、
\(\begin{align}l &= r\theta\\&= 6 \cdot \frac{2}{3}\pi\\&= 4\pi\end{align}\)
答え： \(\color{red}{4\pi}\)
扇形の中心角の求め方
扇形の中心角を求めるには、先ほど説明した面積の公式または弧の長さの公式を変形して用います。
【度数法の場合】扇形の中心角
角度が度数法で与えられた場合、扇形の中心角は次のように求められます。
半径 \(r\) の扇形の中心角 \(\theta\) \(({}^\circ)\) は、
- 面積 \(S\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle S = r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ}\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \theta = \frac{S}{r^2 \pi} \cdot 360^\circ}\end{align} - 弧の長さ \(l\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle l = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \theta = \frac{l}{2\pi r} \cdot 360^\circ}\end{align}
円の面積に対する扇形の面積の割合、および円の円周の長さに対する扇形の弧の長さの割合は、中心角の割合に一致します。
面積の公式と弧の長さの公式を覚えていれば、新しく覚えることはありませんね。
(1) 半径 \(8\) \(\text{cm}\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の中心角を求めよ。
(2) 半径 \(6\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の中心角を求めよ。
(1)
半径 \(8\) の円の面積は
\(r^2 \pi = 8^2 \pi = 64 \pi\)
であるから、求める中心角 \(\theta\) は
\(\theta = \displaystyle \frac{16\pi}{64 \pi} \cdot 360^\circ = 90^\circ\)
答え： \(\color{red}{90^\circ}\)
(2)
半径 \(6\) の円の円周の長さは
\(2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12 \pi\)
であるから、求める中心角 \(\theta\) は
\(\theta = \displaystyle \frac{4\pi}{12 \pi} \cdot 360^\circ = 120^\circ\)
答え： \(\color{red}{120^\circ}\)
【弧度法の場合】扇形の中心角
角度が弧度法で与えられた場合、扇形の中心角は次のように求められます。
半径 \(r\) の扇形の中心角 \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) は、
- 面積 \(S\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle S = \frac{1}{2} r^2 \theta\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \theta = \frac{2S}{r^2}}\end{align} - 弧の長さ \(l\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle l = r \theta\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \theta = \frac{l}{r}}\end{align}
(1) 半径 \(8\) \(\text{cm}\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の中心角を求めよ。
(2) 半径 \(6\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の中心角を求めよ。
(1)
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の扇形の面積 \(S\) は
\(S = \displaystyle \frac{1}{2}r^2\theta\) であるから、
\(\displaystyle \theta = \frac{2S}{r^2} = \frac{2 \cdot 16\pi}{8^2} = \frac{\pi}{2}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\)
(2)
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の扇形の弧の長さ \(l\) は
\(l = r\theta\) であるから、
\(\theta = \displaystyle \frac{l}{r} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2}{3}\pi\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}\pi}\)
扇形の半径の求め方
扇形の半径を求めるときも、面積の公式または弧の長さの公式を利用します。
【度数法の場合】扇形の半径
角度が度数法で与えられた場合、扇形の半径は次のように求められます。
中心角 \(\theta\) \(({}^\circ)\) の扇形の半径 \(r\) は、
- 面積 \(S\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle S = r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ}\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle r = + \sqrt{\frac{S}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}}}\end{align} - 弧の長さ \(l\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle l = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle r = \displaystyle \frac{l}{2\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}}\end{align}
(1) 中心角の大きさが \(90^\circ\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の半径を求めよ。
(2) 中心角の大きさが \(120^\circ\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の半径を求めよ。
(1)
扇形の面積を \(S\)、半径を \(r\)、中心角を \(\theta\) とおくと
\(S = r^2 \pi \cdot \displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\) より、
\(r^2 = \displaystyle \frac{S}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}\)
\(S = 16\pi \ (\mathrm{cm^2})\)、\(\theta = 90^\circ\) より
\(\begin{align}r^2 &= \displaystyle \frac{16\pi}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{90^\circ}\\&= 16 \cdot 4\\&= 64\end{align}\)
\(r > 0\) より、
\(r = \sqrt{64} = 8 \ (\mathrm{cm})\)
答え： \(\color{red}{8 \ \text{cm}}\)
(2)
扇形の弧の長さを \(l\)、半径を \(r\)、中心角を \(\theta\) とおくと
\(l = 2\pi r \cdot \displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\) より、
\(r = \displaystyle \frac{l}{2\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}\)
\(l = 4\pi\)、\(\theta = 120^\circ\) より
\(\begin{align}r &= \displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} \cdot \frac{360^\circ}{120^\circ}\\&= 2 \cdot 3\\&= 6 \ \text{(cm)}\end{align}\)
答え： \(\color{red}{6 \ \text{cm}}\)
【弧度法の場合】扇形の半径
角度が弧度法で与えられた場合、扇形の半径は次のように求められます。
中心角 \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) の扇形の半径 \(r\) は、
- 面積 \(S\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle S = \frac{1}{2} r^2 \theta\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle r = +\sqrt{\frac{2S}{\theta}}}\end{align} - 弧の長さ \(l\) がわかっている場合
\(\begin{align}\displaystyle l = r \theta\end{align}\) より
\begin{align}\color{red}{\displaystyle r = \frac{l}{\theta}}\end{align}
(1) 中心角の大きさが \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の半径を求めよ。
(2) 中心角の大きさが \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の半径を求めよ。
(1)
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の扇形の面積 \(S\) は
\(S = \displaystyle \frac{1}{2}r^2\theta\)
であるから、
\(\displaystyle r^2 = \frac{2S}{\theta} = \frac{2 \cdot 16\pi}{\frac{\pi}{2}} = 64\)
\(r > 0\) より \(r = + \sqrt{64} = 8 \ \text{(cm)}\)
答え： \(\color{red}{8 \ \text{cm}}\)
(2)
\(l = r\theta\) より、
\(r = \displaystyle \frac{l}{\theta}\)
であるから
\(r = \displaystyle \frac{l}{\theta} = \frac{4\pi}{\frac{2}{3}\pi} = 6 \ \text{(cm)}\)
答え： \(\color{red}{6 \ \text{cm}}\)
扇形の計算問題
最後に、扇形の計算問題に挑戦しましょう。
計算問題①「面積と弧の長さを求める」
半径 \(6\) \(\text{cm}\)、中心角 \(45^\circ\) の扇形の面積と弧の長さを求めよ。
扇形の面積と弧の長さは、公式を使って簡単に求められますね。
単位のある問題では、単位の書き忘れに注意しましょう！
扇形の面積 \(S\) は、
\(\begin{align}\displaystyle S &= r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \\&= 6^2 \pi \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} \\&= \frac{9}{2} \pi \ (\text{cm}^2)\end{align}\)
弧の長さ \(l\) は、
\(\begin{align}\displaystyle l &= 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \\&= 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} \\&= \frac{3}{2} \pi \ \text{(cm)}\end{align}\)
答え：
面積 \(\displaystyle \frac{9}{2} \pi \ \text{cm}^2\)、 弧の長さ \(\displaystyle \frac{3}{2} \pi \ \text{cm}\)
計算問題②「中心角と面積を求める」
半径 \(4\)、弧の長さ \(\displaystyle \frac{6}{5} \pi\) である扇形の中心角と面積を求めよ。
角度を度数法で求める場合と弧度法で求める場合の両方の解答を示します。
扇形の弧の長さから、中心角の割合は
\(\displaystyle \frac{\text{(弧の長さ)}}{\text{(円周の長さ)}} = \frac{\frac{6}{5} \pi}{2\pi \cdot 4} = \frac{3}{20}\)
よって、扇形の中心角の大きさは
\(\displaystyle \frac{3}{20} \cdot 360^\circ = 54^\circ\)
また、扇形の面積は
\(\begin{align}\displaystyle S &= r^2 \pi \cdot \text{(中心角の割合)} \\&= 4^2 \pi \cdot \frac{3}{20} \\&= \frac{12}{5} \pi\end{align}\)
答え： 中心角 \(54^\circ\)、面積 \(\displaystyle \frac{12}{5} \pi\)
半径 \(r\)、中心角 \(\theta \ (\mathrm{rad})\) の扇形の弧の長さ \(l\) は
\(l = r\theta\)
であるから、中心角の大きさは
\(\theta = \displaystyle \frac{l}{r} = \displaystyle \frac{\frac{6}{5} \pi}{4} = \frac{3}{10} \pi\)
また、扇形の面積は
\(\begin{align}\displaystyle S &= \frac{1}{2}r^2 \theta \\&= \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{3}{10} \pi \\&= \frac{16 \cdot 3}{2 \cdot 10} \pi \\&= \frac{12}{5} \pi\end{align}\)
答え： 中心角 \(\displaystyle \frac{3}{10} \pi\)、面積 \(\displaystyle \frac{12}{5} \pi\)
計算問題③「中心角と周りの長さを求める」
半径 \(7\) \(\text{cm}\)、面積 \(21\pi \ \text{cm}^2\) の扇形の中心角と周りの長さを求めよ。
扇形の周りの長さは、「\(\text{(弧の長さ)}\) \(+\) \(2 \times (\text{半径})\)」であることを見落とさないようにしましょう。
解答は度数法バージョンと弧度法バージョンの両方を示します。
半径 \(7\) をもつ円の面積は \(7^2 \pi = 49 \pi\) であるから、中心角の割合は
\(\displaystyle \frac{\text{(扇形の面積)}}{\text{(円の面積)}} = \frac{21\pi}{49 \pi} = \frac{3}{7}\)
よって、中心角の大きさは
\(\displaystyle \frac{3}{7} \cdot 360^\circ = \frac{1080^\circ}{7}\)
また、半径 \(7\) をもつ円の円周の長さは \(2\pi \cdot 7 = 14\pi \ \text{(cm)}\) であるから、扇形の弧の長さは
\(14 \pi \cdot \displaystyle \frac{3}{7} = 6\pi \ \text{(cm)}\)
扇形の周りの長さは
\(\begin{align}\text{(弧の長さ)} + 2 \text{(半径)} &= 6\pi + 2 \cdot 7 \\&= 2(3\pi + 7) \ \text{(cm)}\end{align}\)
答え：
中心角 \(\displaystyle \frac{1080^\circ}{7}\)、 周りの長さ \(2(3\pi + 7) \ \text{cm}\)
半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の扇形の面積 \(S\) は
\(\displaystyle S = \frac{1}{2} r^2 \theta\)
であるから、中心角の大きさは
\(\begin{align}\displaystyle \theta &= \frac{2S}{r^2} \\&= \frac{2 \cdot 21\pi}{7^2} \\&= \frac{6}{7}\pi\end{align}\)
また、扇形の弧の長さ \(l\) は
\(l = r\theta = 7 \cdot \displaystyle \frac{6}{7}\pi = 6\pi \ \text{(cm)}\)
扇形の周りの長さは
\(\begin{align}\text{(弧の長さ)} + 2 \text{(半径)} &= 6\pi + 2 \cdot 7 \\&= 2(3\pi + 7) \ \text{(cm)}\end{align}\)
答え：
中心角 \(\displaystyle \frac{6}{7}\pi\)、 周りの長さ \(2(3\pi + 7) \ \text{cm}\)
以上で問題は終わりです！
扇形への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようにしてくださいね。