扇形とは?面積・中心角・半径・弧の長さの公式と求め方

この記事では「扇形(おうぎ形)」について、面積の公式や半径・中心角、この長さの求め方をできるだけ簡単に解説していきます。

また、弧度法(ラジアン)で解く計算問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

扇形(おうぎ形)とは?

扇形(おうぎ形)とは、\(\bf{2}\) 本の半径とその間にある弧でできた図形です。

円の一部と考えるとイメージしやすいです。

 

また、\(2\) つの半径で囲まれた角を「中心角」、半径同士を繋いでいる曲線部分を「円弧」といいます。

円周上の \(2\) 点が \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) などと与えられている場合、「弧 \(\mathrm{AB}\)」または記号を使って「\(\color{red}{\stackrel{\Large\mbox{$\frown$}}{\mathrm{AB}}}\)」と表します。

ちなみに、円周上の点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) を直線で結んだ部分は「弦 \(\mathrm{AB}\)」と呼びます。

 

扇形の面積の求め方

扇形の面積は、同じ半径の円の面積に中心角の割合をかければ求められます。

扇形の面積の求め方

\begin{align}\text{(扇形の面積)} = \text{(円の面積)} \times \text{(中心角の割合)}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

中心角が度数法の場合も弧度法(ラジアン)の場合も、この考え方はまったく同じです!

まずはこの関係を覚えておきましょう。

 

扇形の面積の公式【度数法】

角度が度数法で与えられた場合、扇形の面積を求める公式は次のとおりです。

扇形の面積の公式【度数法】

半径が \(r\)、中心角が \(\theta\) \(({}^\circ)\) の扇形の面積 \(S\) は

\begin{align}\displaystyle \color{red}{S = r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{360^\circ}}\end{align}

「\(r^2 \pi\)」が円の面積、「\(\displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\)」が中心角の割合ですね。

 

扇形の面積の公式【弧度法】

角度が弧度法で与えられた場合、扇形の面積を求める公式は次のとおりです。

扇形の面積の公式【弧度法】

半径が \(r\)、中心角が \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) の扇形の面積 \(S\) は

\begin{align} \color{red}{S = r^2 \pi \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \theta} \end{align}

弧度法では \(360^\circ\) が \(2\pi \ \mathrm{rad}\) に対応するので、中心角の割合は「\(\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\)」となります。

補足

なお、「弧度法」については以下の記事で説明しています。

ラジアン (rad)、弧度法とは?定義、角度との変換や計算

 

扇形の弧の長さの求め方

扇形の弧の長さを求める際も、考え方は面積と同じです。

同じ半径の円の弧の長さ、つまり「円周」に中心角の割合をかければ求められます。

扇形の弧の長さの求め方

\begin{align}\text{(扇形の弧の長さ)} = \text{(円の円周)} \times \text{(中心角の割合)}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

扇形の弧の長さの公式【度数法】

角度が度数法で与えられた場合、扇形の弧の長さを求める公式は次のとおりです。

扇形の弧の長さの公式【度数法】

半径が \(r\)、中心角が \(\theta\) \(({}^\circ)\) の扇形の弧の長さ \(l\) は

\begin{align}\color{red}{l = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}}\end{align}

「\(2 \pi r\)」が円の円周、「\(\displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\)」が中心角の割合ですね。

 

扇形の弧の長さの公式【弧度法】

角度が弧度法で与えられた場合、扇形の弧の長さを求める公式は次のとおりです。

扇形の弧の長さの公式【弧度法】

半径が \(r\)、中心角が \(\theta\) \((\mathrm{rad})\) の扇形の弧の長さ \(l\) は

\begin{align} \color{red}{l = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r \theta} \end{align}

中心角の割合が「\(\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\)」なので、\(2\pi\) が約分されてシンプルになりますね。

 

扇形の中心角の求め方

扇形の中心角を求めるには、先ほど説明した面積の公式または弧の長さの公式を利用します。

面積の公式、弧の長さの公式には中心角の割合が含まれていましたね。

扇形の中心角の求め方

扇形の中心角 \(\theta\) は

\begin{align}\theta &= \text{(中心角の割合)} \times (360^\circ \ \text{or} \ 2\pi)\end{align}

 

なお、

\begin{align}\text{(中心角の割合)} &= \frac{\text{(扇形の面積)}}{\text{(同じ半径の円の面積)}} \\&= \frac{\text{(扇形の弧の長さ)}}{\text{(同じ半径の円の円周)}}\end{align}

で求められる。

円に対する扇形の面積または弧の長さの割合は、中心角の割合に一致します。

面積の公式と弧の長さの公式を覚えていれば、わざわざ新しく覚えることはありませんね!

例題を通して中心角の求め方を練習しておきましょう。

 

例題①「面積がわかっている場合」

例題①

半径 \(8\) \(\text{cm}\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の中心角を求めよ。

 

扇形の面積がわかっているので、同じ半径の円の面積に対する割合を求めればよいですね。

また、特に指定がなければ度数法、弧度法のどちらで答えても大丈夫です。

解答

 

半径 \(8\) の円の面積は

\(r^2 \pi = 8^2 \pi = 64 \pi\)

であるから、中心角の割合は

\(\displaystyle \frac{16\pi}{64 \pi} = \frac{1}{4}\)

 

よって、求める中心角 \(\theta\) は

(度数法)\(\theta = \displaystyle \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ\)

 

(弧度法)\(\theta = \displaystyle \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \displaystyle \frac{\pi}{2}\)

 

答え: \(\color{red}{90^\circ}\) または \(\color{red}{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\)

 

例題②「弧の長さがわかっている場合」

例題②

半径 \(6\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の中心角を求めよ。

 

扇形の弧の長さがわかっているので、同じ半径の円の円周に対する割合を求めればよいですね。

解答

 

半径 \(6\) の円の円周は

\(2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12 \pi\)

であるから、中心角の割合は

\(\displaystyle \frac{4\pi}{12 \pi} = \frac{1}{3}\)

 

よって、求める中心角 \(\theta\) は

(度数法)\(\theta = \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ\)

 

(弧度法)\(\theta = \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \displaystyle \frac{2}{3}\pi\)

 

答え: \(\color{red}{120^\circ}\) または \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}\pi}\)

簡単ですね!

 

扇形の半径の求め方

扇形の半径を求めるときも、面積の公式または弧の長さの公式を利用します。

公式にわかっている値を代入して、「\(\text{(半径)} = \) 〜」の形に書き換えていけばいいだけです!

実際に例題を見てみましょう。

 

例題①「面積がわかっている場合」

例題①

中心角の大きさが \(90^\circ\)、面積 \(16\pi\) \(\text{cm}^2\) の扇形の半径を求めよ。

 

面積の公式にわかっている値を代入して、半径 \(r\) を求めます。

解答

 

\(S = r^2 \pi \cdot \displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\) より、

 

\(r^2 = \displaystyle \frac{S}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}\)

 

\(S = 16\pi\)、\(\theta = 90^\circ\) より

\(\begin{align}r^2 &= \displaystyle \frac{16\pi}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{90^\circ}\\&= 16 \cdot 4\\&= 64\end{align}\)

 

\(r > 0\) より、

\(r = \sqrt{64} = 8\)

 

答え: \(\color{red}{8 \ \text{cm}}\)

 

例題②「弧の長さがわかっている場合」

例題②

中心角の大きさが \(120^\circ\)、弧の長さ \(4\pi\) である扇形の半径を求めよ。

 

弧の長さの公式にわかっている値を代入して、半径 \(r\) を求めます。

解答

 

\(l = 2\pi r \cdot \displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\) より、

 

\(r = \displaystyle \frac{l}{2\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\theta}\)

 

\(l = 4\pi\)、\(\theta = 120^\circ\) より

\(\begin{align}r &= \displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} \cdot \frac{360^\circ}{120^\circ}\\&= 2 \cdot 3\\&= 6\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{6 \ \text{cm}}\)

 

なお、弧度法の公式を使えばより簡単に求められます。

(別解)

 

\(l = r\theta\) より、

\(r = \displaystyle \frac{l}{\theta}\)

 

\(120^\circ\) は \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\) であるから

\(r = \displaystyle \frac{l}{\theta} = \frac{4\pi}{\frac{2}{3}\pi} = \color{red}{6 \ \text{(cm)}}\)

 

扇形の計算問題

最後に、計算問題に挑戦しましょう。

計算問題①「面積と弧の長さを求める」

計算問題①

半径 \(6\) \(\text{cm}\)、中心角 \(45^\circ\) の扇形の面積と弧の長さを求めよ。

 

扇形の面積と弧の長さは、公式を使って簡単に求められますね。

単位のある問題では、単位の書き忘れに注意しましょう!

解答

 

扇形の面積は、

\(\displaystyle 6^2 \pi \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} = \frac{9}{2} \pi \ (\text{cm}^2)\)

 

弧の長さは、

\(\displaystyle 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{2} \pi \ \text{(cm)}\)

 

答え:

面積 \(\displaystyle \frac{9}{2} \pi \ \text{cm}^2\)、 弧の長さ \(\displaystyle \frac{3}{2} \pi \ \text{cm}\)

 

計算問題②「中心角と面積を求める」

計算問題②

半径 \(4\)、弧の長さ \(\displaystyle \frac{6}{5} \pi\) である扇形の中心角と面積を求めよ。

 

まずは弧の長さから中心角の割合を求めてみましょう。

中心角の割合を使えば、中心角の大きさ、面積は簡単に求められます。

解答

 

扇形の弧の長さから、中心角の割合は

\(\displaystyle \frac{\frac{6}{5} \pi}{2\pi \cdot 4} = \frac{3}{20}\)

 

よって、扇形の中心角の大きさは

\(\displaystyle \frac{3}{20} \cdot 360^\circ = 54^\circ\)

 

また、扇形の面積は

\(\displaystyle 4^2 \pi \cdot \frac{3}{20} = \frac{12}{5} \pi\)

 

答え: 中心角 \(54^\circ\)、面積 \(\displaystyle \frac{12}{5} \pi\)

 

計算問題③「中心角と周りの長さを求める」

計算問題③

半径 \(7\) \(\text{cm}\)、面積 \(21\pi \ \text{cm}^2\) の扇形の中心角と周りの長さを求めよ。

 

扇形の周りの長さは、「\(\text{(弧の長さ)} + (\text{半径}) \times 2\)」であることを見落とさないようにしましょう。

解答

 

扇形の面積から、中心角の割合は

\(\displaystyle \frac{21\pi}{7^2 \pi} = \frac{3}{7}\)

 

よって、中心角の大きさは

\(\displaystyle \frac{3}{7} \cdot 360^\circ = \frac{1080^\circ}{7}\)

 

また、弧の長さは

\(2\pi \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{3}{7} = 6\pi \ \text{(cm)}\)

 

半径は \(7\) であるから、この扇形の周りの長さは

\(6\pi + 2 \cdot 7 = 2(3\pi + 7) \ \text{(cm)}\)

 

答え:

中心角 \(\displaystyle \frac{1080^\circ}{7}\)、 周りの長さ \(2(3\pi + 7) \ \text{cm}\)

以上で問題は終わりです!

 

扇形への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようにしてくださいね。

 

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