ラジアン (rad)、弧度法とは?定義、角度との変換や計算

この記事では、弧度法の「ラジアン」についてわかりやすく解説していきます。

角度(度数法)との変換方法や対応表についても説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

ラジアン (rad) とは?【定義】

ラジアン (\(\mathrm{rad}\)) とは、角の大きさを表す単位の \(1\) つです。

円の半径と同じ長さの弧を切り取るときの角の大きさが「\(\color{red}{1 \ \mathrm{rad}}\)」と規定されます。

孤の長さを基準に考えることから、ラジアンは「孤度」とも呼ばれ、ラジアンによって角の大きさを測ることを「弧度法」と呼びます。

一方で、「\(( ^\circ)\)という単位で角の大きさを表すことを「度数法」といいます。

\(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) … といった表記法ですね。

 

度数法と弧度法の違い

ここでは、度数法と弧度法の違いを説明します。

度数法では、円周を \(360\) 等分したときの角の大きさを「\(\color{red}{1^\circ}\)」と規定します。

一方、弧度法では、円の半径と同じ長さの孤を切り取るときの角の大きさを「\(\color{red}{1 \ \mathrm{rad}}\)」と規定します。

 

したがって、円 \(1\) 周分の角の大きさは、半径を \(r\)、円周率を \(\pi\) とおくと、次のように計算されます。

(円周の長さ)\(\div\)(\(1 \ \mathrm{rad}\) 分の孤の長さ)

\(=\)(円周の長さ)\(\div\)(半径)

\(=  2 \pi r \div r\)

\(= \color{red}{2\pi \ \mathrm{rad}}\)

よって、\(\color{red}{360^\circ = 2\pi \ \mathrm{rad}}\) と覚えておきましょう。

 

補足

ちなみに、\(1 \ \mathrm{rad} ≒ 57.3^\circ\) です。

Tips

弧度法は、度数法に比べて三角関数の微分を表現しやすいという利点があります。

\(\sin x\) の微分を例に見てみましょう。

  • 弧度法
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x⁡\)
  • 度数法
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x) = \displaystyle \frac{\pi}{180}\cos ⁡x\)

弧度法の方が微分後の式がスッキリしていますね。

 

角度とラジアンの変換方法

ここでは、度数法から弧度法に、弧度法から度数法に変換する方法を解説していきます。

変換する際には次の式を使います。

それぞれの公式の成り立ちと例題を見ながら、変換方法を学んでいきましょう。

 

度数法 (°) → 弧度法 (rad) の変換

角度を孤度に直すには、\(1^\circ\) 当たりの孤度を元の角度にかけます。

度数法 (°) → 弧度法 (rad)

\begin{align}\color{red}{\theta \ (^\circ) = \theta \times \displaystyle \frac{\pi}{180} \ (\mathrm{rad})}\end{align}

なお、弧度法の単位 \(\mathrm{rad}\) は省略しても構いません。

 

ちなみに、\(1^\circ\) 当たりの孤度は次のように求められます。

\(360 \ (^\circ) = 2\pi \ (\mathrm{rad})\)より、

両辺を \(360\) で割って、

\(1 \ (^\circ) = \displaystyle \frac{\pi}{180} \ (\mathrm{rad})\)

 

それでは、例題を解いてみましょう。

例題①

\(60^\circ\) を弧度法で表せ。

角度に \(\displaystyle \frac{\pi}{180°}\) をかけて、

\(60° \times \displaystyle \frac{\pi}{180°} = \color{red}{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\)

 

例題②

\(20°\) を弧度法で表せ。

角度に \(\displaystyle \frac{\pi}{180°}\) をかけて、

\(20 \times \displaystyle \frac{\pi}{180} = \color{red}{\displaystyle \frac{\pi}{9}}\)

簡単ですね!

 

弧度法 (rad) → 度数法 (°) の変換

孤度を角度に直すには、\(1 \ \mathrm{rad}\) 当たりの角度を元の弧度にかけてあげます。

弧度法 (rad) → 度数法 (°)

\begin{align}\color{red}{\theta \ (\mathrm{rad}) = \theta \times \displaystyle \frac{180}{\pi} \ (^\circ)} \end{align}

 

ちなみに、\(1 \ \mathrm{rad}\) 当たりの角度は次の計算で求められます。

\(2\pi \ (\mathrm{rad}) = 360 \ (^\circ)\) より、

両辺を \(2\pi\) で割って

\(1 \ (\mathrm{rad}) = \displaystyle \frac{180}{\pi} \ (^\circ)\)

 

さっそく、例題で試してみましょう。

例題①

\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\) を度数法で表せ。

孤度に \(\displaystyle \frac{180°}{\pi}\) をかけて、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{\pi}{12} &= \displaystyle \frac{\pi}{12} \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi}\\\\&= \displaystyle \frac{180^\circ}{12}\\\\&= \color{red}{15^\circ}\end{align}\)

 

例題②

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) を度数法で表せ。

孤度に \(\displaystyle \frac{180°}{\pi}\) をかけて、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{\pi}{2} &= \displaystyle \frac{\pi}{2} \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi}\\\\&= \displaystyle \frac{180^\circ}{2}\\\\&= \color{red}{90^\circ}\end{align}\)

こちらも、慣れてしまえばなんてことないですね!

 

角度とラジアンの対応表

\(360 \ (^\circ) = 2\pi \ (\mathrm{rad})\) を覚えておけばどんな角の大きさも変換できますが、よく出てくるものは角度と孤度の対応を丸暗記しておくことをおすすめします。

\(0^\circ\) ~ \(90^\circ\)° までの基本的な角度と孤度の対応表は次のとおりです。

\(90\)° 以上の角度は、これらの値を足し合わせれば求められます

\(360\)° までの角度とラジアンの対応は以下のようになります。

特に、\(0\)° ~ \(90\)° までの値は三角関数でもよく出てくるため、しっかりと覚えておきましょう。

 

弧度法の公式

ここでは、弧の長さおよび扇形の面積の公式を度数法、弧度法の両方で示します。

円弧に関する公式は、度数法よりも弧度法の方がスッキリしているのが特徴です。

弧の長さの公式

孤の長さの公式

半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の円の孤の長さは、

  • 度数法
    (直径)\(\times\)(中心角の割合)より、
    \begin{align}2\pi r \times \displaystyle \frac{\theta}{360} = \color{red}{\displaystyle \frac{\pi r \theta}{180}}\end{align}
  • 弧度法
    \(1 \ \mathrm{rad}\) のときの孤の長さが半径 \(r\) に等しいので、
    \begin{align}r \times \displaystyle \frac{\theta}{1} = \color{red}{r\theta}\end{align}

 

扇形の面積の公式

扇形の面積の公式

半径 \(r\)、中心角 \(\theta\) の扇形の面積は、

  • 度数法
    (円の面積)\(\times\)(中心角の割合)より、
    \begin{align}\pi r^2 \times \displaystyle \frac{\theta}{360} = \color{red}{\displaystyle \frac{\pi r^2\theta}{360}}\end{align}
  • 弧度法
    (円の面積)\(\times\)(中心角の割合)より、
    \begin{align}\pi r^2 \times \displaystyle \frac{\theta}{2\pi} = \color{red}{\displaystyle \frac{r^2 \theta}{2}}\end{align}

 

補足

扇形(おうぎ形)については、以下の記事で詳しく解説しています。

扇形とは?面積・中心角・半径・弧の長さの公式と求め方

 

ラジアンの計算問題

それでは、計算問題を解いていきましょう。

計算問題①「角度を弧度法で表す」

計算問題①

次の角度を弧度法で示せ。

(1) \(30^\circ\) (2) \(5^\circ\) (3) \(300^\circ\) (4) \(54^\circ\)

 

弧度(ラジアン)に変換させる問題ですね。

先ほどの変換公式に当てはめましょう。

解答

 

(1) \(30^\circ \times \displaystyle \frac{\pi}{180^\circ} = \displaystyle \frac{\pi}{6}\)

 

(2) \(5^\circ \times \displaystyle \frac{\pi}{180^\circ} = \displaystyle \frac{\pi}{36}\)

 

(3) \(300^\circ \times \displaystyle \frac{\pi}{180^\circ} = \displaystyle \frac{5}{3}\pi\)

 

(4) \(54^\circ \times \displaystyle \frac{\pi}{180^\circ} = \displaystyle \frac{3}{10}\pi\)

 

答え:
(1) \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) (2) \(\displaystyle \frac{\pi}{36}\)  (3) \(\displaystyle \frac{5}{3}\pi\)  (4) \(\displaystyle \frac{3}{10}\pi\)

 

計算問題②「弧度を度数法で表す」

計算問題②

次の孤度を度数法で示せ。

ただし、\(\pi = 3.14\) として計算し、小数点以下は切り捨てること。

(1) \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \ (\mathrm{rad})\)  (2) \(\displaystyle \frac{3}{2}\pi \ (\mathrm{rad})\)

(3) \(\displaystyle \frac{\pi}{3} \ (\mathrm{rad})\)  (4) \(3 \ (\mathrm{rad})\)

 

度数法に変換させる問題ですね。

公式を使えばあっという間に変換できます。

(4) のように、孤度に \(\pi\) が含まれていなくても変換方法は同じです。

解答

 

(1)

\(\displaystyle \frac{\pi}{4} \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = \displaystyle \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ\)

 

(2)

\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \times 90^\circ = 270^\circ\)

 

(3)

\(\displaystyle \frac{\pi}{3} \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = \displaystyle \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\)

 

(4)

\(3 \times \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = \displaystyle \frac{540^\circ}{3.14} = 171.9…^\circ ≒ 172^\circ\)

 

 

答え:
(1) \(45^\circ\) (2) \(270^\circ\) (3) \(60^\circ\) (4) \(172^\circ\)

以上で問題も終わりです!

 

弧度法を習ったばかりだと使いづらいと感じるかもしれませんが、徐々に慣れていくので、練習を重ねて使いこなせるようにしていきましょう!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です