三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

三角比・三角関数に関する様々な公式をまとめていきます。

詳細記事へのリンクも載せていますので、ぜひ勉強の参考にしてくださいね!

 

三角比・三角関数の定義

三角比については、以下の記事で詳しく説明しています。

三角比 (サイン コサイン タンジェント) とは?定義と相互関係

三角比・三角関数の代表的な値は頭に定着させておきましょう!

三角比の表・三角関数表(sin cos tan の値)の一覧!

 

三角比の定義

三角比の定義

\(\angle \mathrm{C} = 90^\circ\) の直角三角形 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) において、

  • \(\sin \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
  • \(\cos \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
  • \(\tan \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\)

 

三角関数の定義

三角関数の定義

\(x\) 軸の正の部分を始線とした一般角 \(\theta\) の動径と、単位円との交点を \(\mathrm{P} = (x, y)\) とすると、

  • \(\sin \theta = y\)
  • \(\cos \theta = x\)
  • \(\tan \theta = \displaystyle \frac{y}{x}\)

 

三角比の相互関係

三角比には、以下の関係式が成り立ちます。

三角比の相互関係
  • \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
  • \(\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
  • \(\displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

 

度数とラジアンの変換

角度は、度数法(\(^\circ\))と弧度法(\(\mathrm{rad}\))の \(2\) 通りの表し方ができます。

両者の変換については以下の記事で説明しています。

ラジアン (rad)、弧度法とは?定義、角度との変換や計算
度数とラジアンの変換
  • 度数 → 弧度(ラジアン)
    \begin{align}\theta \ (^\circ) = \theta \times \displaystyle \frac{\pi}{180} \ \text{(rad)}\end{align}
  • 弧度(ラジアン) → 度数
    \begin{align}\theta \ \text{(rad)} = \theta \times \displaystyle \frac{180}{\pi} \ (^\circ)\end{align}

 

角度の変換公式

三角関数の値の求め方や角度の変換公式については、以下の記事で詳しく説明しています。

三角関数の角度の求め方や変換公式!計算問題も徹底解説
90° − θ の公式
  • 度数
    \begin{align}\sin (90^\circ − \theta) &= \cos \theta \\ \cos (90^\circ − \theta) &= \sin \theta \\ \tan (90^\circ − \theta) &= \frac{1}{\tan \theta}\end{align}
  • 弧度 (ラジアン)
    \begin{align}\sin \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \cos \theta \\ \cos \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \sin \theta \\ \tan \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \frac{1}{\tan \theta}\end{align}
90° + θ の公式
  • 度数
    \begin{align}\sin (90^\circ + \theta) &= \cos \theta \\ \cos (90^\circ + \theta) &= −\sin \theta \\ \tan (90^\circ + \theta) &= −\frac{1}{\tan \theta}\end{align}
  • 弧度 (ラジアン)
    \begin{align}\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= \cos \theta \\ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= −\sin \theta \\ \tan \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= −\frac{1}{\tan \theta}\end{align}
180° − θ の公式
  • 度数
    \begin{align}\sin (180^\circ − \theta) &= \sin \theta \\ \cos (180^\circ − \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (180^\circ − \theta) &= −\tan \theta\end{align}
  • 弧度 (ラジアン)
    \begin{align}\sin (\pi − \theta) &= \sin \theta \\ \cos (\pi − \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (\pi − \theta) &= −\tan \theta\end{align}
180° + θ の公式
  • 度数
    \begin{align}\sin (180^\circ + \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (180^\circ + \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (180^\circ + \theta) &= \tan \theta\end{align}
  • 弧度 (ラジアン)
    \begin{align}\sin (\pi + \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (\pi + \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (\pi + \theta) &= \tan \theta\end{align}
− θ の公式
  • 度数
    \begin{align}\sin (− \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (− \theta) &= \cos \theta \\ \tan (− \theta) &= −\tan \theta\end{align}
  • 弧度 (ラジアン)
    \begin{align}\sin (− \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (− \theta) &= \cos \theta \\ \tan (− \theta) &= −\tan \theta\end{align}

 

正弦定理・余弦定理

正弦定理と余弦定理の使い分けについては、以下の記事で説明しています。

正弦定理と余弦定理はどう使い分ける?練習問題で徹底解説!

 

正弦定理

正弦定理とは?公式や証明、計算問題をわかりやすく解説
正弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と、その外接円(半径 \(r\))について、

\begin{align}\frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R\end{align}

 

余弦定理

余弦定理とは?公式の覚え方や証明、計算問題の解き方
余弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) について、

\begin{align}a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\end{align}

\begin{align}b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}\end{align}

\begin{align}c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{C}\end{align}

 

正弦定理・余弦定理の利用

正弦定理や余弦定理が関係する図形の性質が存在します。

外接円とは?半径の公式や求め方、性質、書き方 内接円とは?内接円の半径の公式や求め方、性質、書き方 ヘロンの公式とは?証明や、四角形版(ブラーマグプタの公式)も

 

加法定理

三角関数の計算において最重要な定理です。

加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題
加法定理
  • \(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\)
  • \(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\)
  • \(\displaystyle \tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

(複合同順)

 

倍角の公式

\(n\theta\) の三角関数を \(\theta\) の三角関数で表せる公式を「\(n\) 倍角の公式」といいます。

二倍角の公式

二倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題での使い方
二倍角の公式
  • \(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
  • \(\begin{align} \cos2\theta &= \cos^2\theta − \sin^2\theta \\ &= 1 − 2\sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta − 1 \end{align}\)
  • \(\displaystyle \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}\)

 

三倍角の公式

三倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題の解き方
三倍角の公式
  • \(\sin3\theta = 3\sin\theta − 4\sin^3\theta\)
  • \(\cos3\theta = −3\cos\theta + 4\cos^3\theta\)

 

半角の公式

半角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や証明、問題での使い方
半角の公式
  • \(\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{2}\)
  • \(\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)
  • \(\displaystyle \tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{1 + \cos\theta}\)

 

積和・和積の公式

三角関数の積を和に、和を積に変換する公式があります。

和積の公式・積和の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や証明方法

積和の公式

積和の公式
  • \(\displaystyle \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha − \beta)\}\)
  • \(\displaystyle \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) − \sin(\alpha − \beta)\}\)
  • \(\displaystyle \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha − \beta)\}\)
  • \(\displaystyle \sin\alpha\sin\beta = −\frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) − \cos(\alpha − \beta)\}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

和積の公式

和積の公式
  • \(\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}\)
  • \(\displaystyle \sin A − \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}\)
  • \(\displaystyle \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}\)
  • \(\displaystyle \cos A − \cos B = −2\sin\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

三角関数の合成

\(\sin\) と \(\cos\) の和は、\(\sin\) だけ、または \(\cos\) だけの式に合成することができます。

三角関数の合成とは?公式、証明、最大最小や範囲の問題
三角関数の合成

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) のとき、

\begin{align}a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\end{align}

ただし、

\begin{align}\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}

 

三角関数のグラフ

三角関数のグラフの書き方については、以下の記事で詳しく説明しています。

三角関数のグラフの書き方を徹底解説!周期や平行移動の問題も

 

三角関数の微分・積分

微分・積分の公式については、以下の記事で詳しく説明しています。

微分積分とは?高校で習う公式一覧、基本定理や記号の意味も!

三角関数の微分公式

三角関数の微分
  • \((\sin x)’ = \cos x\)
  • \((\cos x)’ = −\sin x\)
  • \(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\)
  • \(\displaystyle \left(\frac{1}{\tan x}\right)’ = −\frac{1}{\sin^2 x}\)

 

三角関数の積分公式

三角関数の積分

積分定数を \(C\) とする。

  • \(\displaystyle \int \sin x \ dx = −\cos x + C\)
  • \(\displaystyle \int \cos x \ dx = \sin x + C\)
  • \(\displaystyle \int \tan x \ dx = −\log |\cos x| + C\)
  • \(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx = \tan x + C\)
  • \(\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \ dx = −\frac{1}{\tan x} + C\)

 

以上が三角比・三角関数の公式一覧でした!

詳しい内容については、それぞれの関連記事を確認してみてくださいね。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です