三角比・三角関数を総まとめ！定義・定理・公式一覧

$\angle \mathrm{C} = 90^\circ$ の直角三角形 $\triangle{\mathrm{ABC}}$ において、

• $\sin \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$
• $\cos \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$
• $\tan \theta = \displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$x$ 軸の正の部分を始線とした一般角 $\theta$ の動径と、単位円との交点を $\mathrm{P} = (x, y)$ とすると、

• $\sin \theta = y$
• $\cos \theta = x$
• $\tan \theta = \displaystyle \frac{y}{x}$

• $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• $\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $\displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

• 度数 → 弧度（ラジアン）
  $$\begin{align}\theta \ (^\circ) = \theta \times \displaystyle \frac{\pi}{180} \ \text{(rad)}\end{align}$$
• 弧度（ラジアン） → 度数
  $$\begin{align}\theta \ \text{(rad)} = \theta \times \displaystyle \frac{180}{\pi} \ (^\circ)\end{align}$$

• 度数
  $$\begin{align}\sin (90^\circ − \theta) &= \cos \theta \\ \cos (90^\circ − \theta) &= \sin \theta \\ \tan (90^\circ − \theta) &= \frac{1}{\tan \theta}\end{align}$$
• 弧度 (ラジアン)
  $$\begin{align}\sin \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \cos \theta \\ \cos \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \sin \theta \\ \tan \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) &= \frac{1}{\tan \theta}\end{align}$$

• 度数
  $$\begin{align}\sin (90^\circ + \theta) &= \cos \theta \\ \cos (90^\circ + \theta) &= −\sin \theta \\ \tan (90^\circ + \theta) &= −\frac{1}{\tan \theta}\end{align}$$
• 弧度 (ラジアン)
  $$\begin{align}\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= \cos \theta \\ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= −\sin \theta \\ \tan \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) &= −\frac{1}{\tan \theta}\end{align}$$

• 度数
  $$\begin{align}\sin (180^\circ − \theta) &= \sin \theta \\ \cos (180^\circ − \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (180^\circ − \theta) &= −\tan \theta\end{align}$$
• 弧度 (ラジアン)
  $$\begin{align}\sin (\pi − \theta) &= \sin \theta \\ \cos (\pi − \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (\pi − \theta) &= −\tan \theta\end{align}$$

• 度数
  $$\begin{align}\sin (180^\circ + \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (180^\circ + \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (180^\circ + \theta) &= \tan \theta\end{align}$$
• 弧度 (ラジアン)
  $$\begin{align}\sin (\pi + \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (\pi + \theta) &= −\cos \theta \\ \tan (\pi + \theta) &= \tan \theta\end{align}$$

• 度数
  $$\begin{align}\sin (− \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (− \theta) &= \cos \theta \\ \tan (− \theta) &= −\tan \theta\end{align}$$
• 弧度 (ラジアン)
  $$\begin{align}\sin (− \theta) &= −\sin \theta \\ \cos (− \theta) &= \cos \theta \\ \tan (− \theta) &= −\tan \theta\end{align}$$

$\triangle \mathrm{ABC}$ と、その外接円（半径 $r$）について、

$$\begin{align}\frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R\end{align}$$

$\triangle \mathrm{ABC}$ について、

$$\begin{align}a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\end{align}$$

$$\begin{align}b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}\end{align}$$

$$\begin{align}c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{C}\end{align}$$

三角形の $2$ 辺の長さを $a$, $b$、その間の角を $\theta$ とおくと、三角形の面積 $S$ は

$$\begin{align}\displaystyle S = \frac{1}{2} ab \sin \theta\end{align}$$

三角形の $3$ 辺をそれぞれ $a$, $b$, $c$、三角形の面積を $S$ とすると、

$$\begin{align}S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\end{align}$$

ただし、$\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $a$, $b$, $c$、面積を $S$、その外接円の半径を $R$ とすると、

1. $\displaystyle R = \frac{a}{2\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{2\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{2\sin \mathrm{C}}$（正弦定理）
2. $\displaystyle R = \frac{abc}{4S}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さを $a$, $b$, $c$、面積を $S$、その内接円の半径を $r$ とすると、

$$\begin{align}\displaystyle r = \frac{2S}{a + b + c}\end{align}$$

• $\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\displaystyle \tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

（複合同順）

• $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\begin{align} \cos2\theta &= \cos^2\theta − \sin^2\theta \\ &= 1 − 2\sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta − 1 \end{align}$
• $\displaystyle \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}$

• $\sin3\theta = 3\sin\theta − 4\sin^3\theta$
• $\cos3\theta = −3\cos\theta + 4\cos^3\theta$

• $\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{2}$
• $\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$
• $\displaystyle \tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{1 + \cos\theta}$

（見切れる場合は横へスクロール）

（見切れる場合は横へスクロール）

$a \neq 0$, $b \neq 0$ のとき、

$$\begin{align}a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\end{align}$$

ただし、

$$\begin{align}\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}$$

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\cos x)’ = −\sin x$
• $\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $\displaystyle \left(\frac{1}{\tan x}\right)’ = −\frac{1}{\sin^2 x}$

積分定数を $C$ とする。

• $\displaystyle \int \sin x \ dx = −\cos x + C$
• $\displaystyle \int \cos x \ dx = \sin x + C$
• $\displaystyle \int \tan x \ dx = −\log |\cos x| + C$
• $\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx = \tan x + C$
• $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \ dx = −\frac{1}{\tan x} + C$

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

（ただし、角 $x$ の単位は弧度法）