不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など)

この記事では、「不定積分」の公式や具体的な問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

分数を含む場合の計算問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

不定積分とは?

積分とは、微分したら \(f(x)\) となるある式 \(F(x)\) を、微分後の式 \(f(x)\) から求める計算のことでしたね。

まさに、微分の反対です。

このとき、「微分したら \(f(x)\) となるある式 \(F(x)\)」のことを「\(\color{red}{f(x)}\) の不定積分」といいます。

 

「不定」の意味

なぜわざわざ「不定」という言葉をつけるのかというと、微分したら \(f(x)\) となるある式 \(F(x)\) は \(1\) つには定まらないからです。

例として、微分したら \(2x\) となる式を考えてみましょう。

一番シンプルなのは、\(x^2\) ですね。

\((x^2)’ = \color{salmon}{2x}\)

では、\(x^2\) の後ろに何かがついた式を微分してみるといかがでしょうか。

\((x^2 + 3)’ = \color{salmon}{2x}\)

\((x^2 − 1)’ = \color{salmon}{2x}\)

これらの式も微分すると \(2x\) になるので、同じく \(2x\) の積分の結果といえますね。

このように、ある式を微分すると定数項の部分は消えるため、微分すると \(2x\) になる元の式は無数に存在するのです。

ある式 \(F(x)\) を微分した式 \(f(x)\) は必ず \(1\) つに定まる一方、ある式 \(f(x)\) を積分した式 \(F(x)\) には無限の答えがあるのですね。

 

このため、微分したら \(f(x)\) となる式(関数)をまとめて「不定積分」と呼び、以下のように表します。

不定積分の定義

不定積分の定義

微分すると \(f(x)\) となる関数を不定積分といい、以下のように表す。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C}\end{align}

(ただし、\(C\) は積分定数)

 

また、微分すると \(f(x)\) となる関数を求めること自体も「不定積分」と呼ぶ。

定数部分はなんでもよいので、まとめて「\(C\)」と表し、「積分定数」と呼びます。

また、微分したら \(f(x)\) となる個々の関数は「原始関数」と呼ばれます。

つまり、無数に存在する原始関数の総称が「不定積分」というわけですね。

 

不定積分の公式一覧

不定積分には、積分される式の種類(べき乗関数、指数関数など)に応じて公式が存在します。

ここでは、代表的な不定積分の公式を紹介します。

補足

なお、これらの公式(積分時の式変形)は定積分でも利用します。

「定積分」については、次の記事を参考にしてください。

定積分とは?公式や面積の計算、絶対値を含む問題の解き方

 

定数の積分

一般に、定数項(変数をもたない項)の積分は次のようになります。

関数の定数倍の積分

\(k\) を定数とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int k \, dx = kx + C}\end{align}

(\(C\) は積分定数)

Tips

なお、「\(\displaystyle \int 1 \, dx\)」は \(1\) を省略して「\(\displaystyle \int \, dx\)」と表すことがあります。

 

定数倍の積分

係数がついた項の場合、係数部分は微分・積分の影響を受けないので、積分の外に出すことができます

関数の定数倍の積分

\(k\) を定数とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx}\end{align}

 

多項式の積分

多項式は単項式(項)の集まりなので、多項式に含まれる個々の項を積分すると考えます。

関数の和・差の積分

関数 \(f(x)\)、\(g(x)\) について、以下が成り立つ。

\(\color{red}{\displaystyle \int \{f(x) \pm g(x)\} \, dx }\) \(\color{red}{= \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx}\)

 

また、\(m\)、\(n\) を定数とすると、以下も成り立つ。

\(\color{red}{\displaystyle \int \{m f(x) \pm n g(x)\}\, dx }\) \(\color{red}{= m \int f(x) \, dx \pm n \int g(x) \, dx}\)

 

べき乗の積分公式

べき乗 \(x^n\) の積分は次のように行います。

べき乗の積分

\(x^n\) の不定積分について、積分定数を \(C\) とおくと

  • \(n \neq −1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C}\end{align}
    特に、\begin{align}\color{red}{\int x^0 \, dx = \int 1 \, dx = x + C}\end{align}
  • \(n = −1\) のとき
    \begin{align} \color{red}{\int x^{−1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \log|x| + C}\end{align}

積分定数 \(C\) を書き忘れないようにしましょう。

\(n = −1\) のときのみ、積分後の式に絶対値 \(|x|\) の対数が含まれた特殊なかたちになることを頭に留めておきましょう。

 

一次式のべき乗の積分公式

べき乗の中身が一次式 \(ax + b\) で表せる場合には、式を展開しなくても積分できる公式があります。

一次式のべき乗の積分

\(a\), \(b\) を定数 \((a ≠ 0)\)、\(C\) を積分定数とおくと、

  • \(n \neq −1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n + 1}}{a(n + 1)} + C}\end{align}
  • \(n = −1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \int (ax + b)^{− 1} \, dx = \frac{\log|ax + b|}{a} + C}\end{align}

式の展開の手間を省くために、覚えておくと便利ですよ。

 

補足

以降の積分公式は数学Ⅲ以降で学ぶ発展的な内容なので、必要のある方だけ覚えましょう!

指数関数の積分公式

指数関数の積分公式です。

指数関数の積分

積分定数を \(C\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C}\end{align}

 

また、定数 \(a\) について、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C}\end{align}

(ただし、\(a > 0\), \(a \neq 1\))

ネイピア数 \(e\) のべき乗は、微分・積分してもかたちが変わらないのですね。

 

対数関数の積分公式

続いて、対数関数の積分の公式です。

対数関数の積分

積分定数を \(C\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int \log x \, dx = x \log x − x + C}\end{align}

省略されていますが、上記の対数関数の底は \(e\) です。

底が \(e\) 以外の対数では、底の変換公式で底を \(e\) に直してから積分することになります。

補足

「底の変換公式」については以下の記事で説明しています。

指数と対数の関係とは?変換公式やグラフの比較、計算問題

 

三角関数の積分公式

三角関数の積分公式のうち、以下の \(5\) つは丸暗記してしまった方が早いでしょう。

三角関数の積分

積分定数を \(C\) とおくと、

  • \(\color{red}{\displaystyle \int \sin x \, dx = −\cos x + C}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \int \tan x \, dx = −\log |\cos x| + C}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \int \frac{1}{(\cos x)^2} \, dx = \tan x + C}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \int \frac{1}{(\sin x)^2} \, dx = −\frac{1}{\tan x} + C}\)

これらの公式は右辺の微分から導くことができますが、成り立ちまで覚えようと思うとなかなか大変です。

このほかにも、さまざまなかたちの三角関数を積分できますが、この先は公式を丸暗記するのではなく、公式を導く過程の理解も必要です。

上記 \(4\) つ以外の公式について知りたい人は、より詳しい参考書などを学習するようにしましょう。

補足

指数関数、対数関数、三角関数の積分においては、「置換積分法」および「部分積分法」の知識も必要になります。

詳しくは、以下の記事を参考にしてください。

置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど) 部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり)

 

不定積分のやり方【例題】

では、これまでに紹介した公式や性質を使って、実際に不定積分を解く方法を説明します。

例題

以下の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \frac{(x − 1)(x + 2)}{x^2} \, dx\)

 

分数式になっており、そのまま当てはめられる公式がありませんね。

このようなときは、分子を展開していくことからはじめましょう。

\(\displaystyle \int \frac{(x − 1)(x + 2)}{x^2} \, dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{x^2 + x − 2}{x^2} \, dx\)

 

分母を分配して項を分離すれば、多項式の積分としてあつかうことができます。

\(\begin{align} & \int \frac{x^2 + x − 2}{x^2} \, dx \\ &= \int \left( 1 + \frac{1}{x} − \frac{2}{x^2} \right) \, dx \\ &= \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx − 2 \int \frac{1}{x^2} \, dx \\ &= \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx − 2 \int x^{−2} \, dx \end{align}\)

 

ここで、個々の項に不定積分の公式を当てはめましょう。

最後に積分定数 \(C\) をつけ忘れないように気をつけます。

\(\begin{align} & \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx − 2 \int x^{−2} \, dx \\ &= x + \log |x| − 2(−x^{−1}) + C \\ &= x + \log |x| + 2 \cdot \frac{1}{x} + C \\ &= \color{red}{x + \log |x| + \frac{2}{x} + C} \end{align}\)

このように求められました。

公式に当てはまるかたちができるまでは、焦らず式変形するように心掛けましょう。

 

不定積分の計算問題

不定積分は公式が多く覚えるのが大変ですが、実践的に身につけるのが一番です。

それでは、練習として計算問題を \(4\) 題、頑張って解いてみましょう。

計算問題①「分数式の不定積分」

計算問題①

以下の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \frac{1 − y − y^2}{y^2} \, dy\)

 

例題と同じように、展開して多項式を \(1\) 項ずつ切り離し、それぞれに積分公式を適用していきます。

解答

 

\(\begin{align} & \int \frac{1 − y − y^2}{y^2} \, dy \\ &= \int \left( \frac{1}{y^2} − \frac{1}{y} − 1 \right) \, dy \\ &= \int \frac{1}{y^2} \, dy − \int \frac{1}{y} \, dy − \int 1 \, dy \\ &= −\frac{1}{y} − \log |y| − y + C \end{align}\)

(\(C\) は積分定数)

 

答え:

\(\displaystyle −\frac{1}{y} − \log |y| − y + C\)(\(C\) は積分定数)

 

計算問題②「tan x の不定積分」

計算問題②

以下の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \tan x \, dx\)

 

\(\tan\) の積分公式を覚えていれば、そのまま書きます。

覚えていない場合も、三角比の相互関係を利用して、\(\tan x\) を \(\sin x\) と \(\cos x\) で表すと不定積分が導けます(ただし、部分積分法の考え方を利用します)。

今回は、後者の解答を示します。

補足

「部分積分法」については、以下の記事で詳しく説明しています。

部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり)
解答

 

\(\begin{align} & \int \tan x \, dx \\ &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \\ &= −\int \frac{(\cos x)’}{\cos x} \, dx \\ &= −\log |\cos x| + C \end{align}\)

(\(C\) は積分定数)

 

答え:

\(−\log |\cos x| + C\)(\(C\) は積分定数)

 

計算問題③「指数関数の不定積分」

計算問題③

以下の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int (3^x − 2e^x) \, dx\)

 

指数関数の積分公式を利用しましょう。

ネイピア数 \(e\) に指数 \(x\) がついている場合と、その他の定数に指数 \(x\) がついている場合とで公式が異なることに注意します。

解答

 

\(\begin{align} & \int (3^x − 2e^x) \, dx \\ &= \int 3^x \, dx − 2 \int e^x \, dx \\ &= \frac{3^x}{\log 3} − 2e^x + C \end{align}\)

(\(C\) は積分定数)

 

答え:

\(\displaystyle \frac{3^x}{\log 3} − 2e^x + C\)(\(C\) は積分定数)

 

計算問題④「ルートを含む不定積分」

計算問題④

以下の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x^3} + \log x\)

 

ルートの公式なんて習ってないぞ!とあわててしまいますね。

ルートが出てきた場合は、指数のかたちに変形してべき乗の積分公式に当てはめましょう。

解答

 

\(\displaystyle \int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x^3} + \log x \right) \, dx \)

\(\displaystyle = \int \left( \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{3}{2}} + \log x \right) \, dx \)

\(\displaystyle = \int (x^{−\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + \log x) \, dx \)

\(\displaystyle = \int x^{−\frac{1}{2}} \, dx + \int x^{\frac{3}{2}} \, dx + \int \log x \, dx \)

\(\displaystyle  = \frac{1}{−\frac{1}{2} + 1} x^{−\frac{1}{2} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} x^{\frac{3}{2} + 1} \) \(+ \, x \log x − x + C \)

\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x \log x − x + C \)

\(\displaystyle = 2\sqrt{x} + \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + x \log x − x + C \)

(\(C\) は積分定数)

 

答え:

\(\displaystyle 2\sqrt{x} + \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + x \log x − x + C\)

(\(C\) は積分定数)

以上で計算問題も終わりです。

 

不定積分は計算が複雑になりがちなので、混乱してしまったときは、微分で検算するとよいです。

さまざまな問題に触れて公式の使い方に慣れ、不定積分をマスターしていきましょう!

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