定積分とは?公式や面積の計算、絶対値を含む問題の解き方

この記事では、「定積分」の意味や公式をわかりやすく解説していきます。

面積の計算方法や絶対値を含む問題の解き方も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

定積分とは?

定積分とは、ある関数の範囲を限って積分し、その値を求めることです。

定積分の定義を確認しましょう。

定積分の定義

関数 \(f(x)\) の原始関数(不定積分の \(1\) つ)を \(F(x)\) とするとき、\(F(b) − F(a)\) を関数 \(f(x)\) の \(a\) から \(b\) までの「定積分」といい、次のように表すことができる。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)}\end{align}

このとき、定積分を求める区間 \(\color{red}{a \leq x \leq b}\) を「積分区間」と呼ぶ。

微分すると \(f(x)\) になる元の関数 \(F(x)\) は「不定積分(または原始関数)」と呼ばれます。

補足

「不定積分」については、以下の記事で説明しています。

不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など)

定積分は、「不定積分に積分区間の終点を代入した値から、始点を代入した値を引く」という計算です。

ここで疑問なのが、\(f(x)\) の不定積分は無限に存在するはずなのに、どうして定積分では関数を特定できるのでしょうか。

 

これは、不定積分の積分定数 \(C\) をつけた状態で定積分をしてみるとよくわかります。

\(\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx &= [F(x) + C]_a^b \\ &= \{F(b) \color{salmon}{+ C}\} \color{salmon}{−} \{F(a) \color{salmon}{+ C}\} \\ &= F(b) − F(a) \end{align}\)

このように、積分定数 \(C\) の部分は引き算で相殺されるため、定積分の結果は \(C\) の値に関係なく決まります。

よって、積分する「関数」と「積分区間」さえ決まれば、定積分の値は決まるのです。

 

定積分の公式

定積分には、計算上のさまざまな性質があります。

これらは公式として覚えておきましょう。

定積分の定義

まず、定積分の定義は以下のとおりでしたね。

定積分の定義

関数 \(f(x)\) の不定積分の \(1\) つを \(F(x)\) とするとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)}\end{align}

これが定積分の計算の基本になります。

 

積分記号の性質

続いて、定積分・不定積分どちらにも当てはまる積分記号の性質です。

積分記号の性質

\(k\), \(l\) を定数とすると、関数 \(f(x)\)、\(g(x)\) について、以下が成り立つ。

(見切れる場合は横へスクロール)

  1. 定数倍は積分の外に出せる
    \(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b k f(x) \ dx = k \int_a^b f(x) \ dx}\end{align}\)
  2. 関数の和や差の積分では、関数を分割して積分できる
    \(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b \{f(x) \pm g(x)\} \ dx \displaystyle = \int_a^b f(x) \ dx \pm \int_a^b g(x) \ dx}\end{align}\)
  3. 積分の線形性(1 と 2 の組み合わせ)
    \(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b \{k f(x) \pm l g(x)\} \ dx = k \int_a^b f(x) \ dx \pm l \int_a^b g(x) \ dx}\end{align}\)

 

積分区間の性質

続いて、定積分の積分区間に関する性質です。

積分区間の性質

(見切れる場合は横へスクロール)

  1. 区間差がなければ値は \(0\) になる
    \(\color{red}{\displaystyle \int_a^a f(x) \ dx = 0}\)
  2. 積分区間を逆転すると値の符号が逆転する
    \(\color{red}{\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = −\int_b^a  f(x) \ dx}\)
  3. 積分区間は分割または合体できる
    \(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^c f(x) \ dx + \int_c^b f(x) \ dx}\end{align}\)

これらの性質は、定積分の計算で必ず利用します。

しっかりと理解しておきましょう!

補足

関数の種類(べき乗、指数関数、三角関数など)に応じた積分公式については、以下の記事にまとめています。

不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など)

 

定積分の計算問題

それでは、練習問題を通して定積分の計算に慣れていきましょう。

計算問題①「基本的な定積分」

計算問題①

次の定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int_0^3 (x^2 − 2x − 1) \ dx\)

 

基本的な定積分の問題ですね。

定積分の公式に当てはめて、ていねいに計算しましょう。

解答

 

\(\displaystyle \int_0^3 (x^2 − 2x − 1) \ dx\)

 

\(\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x^3 − x^2 − x \right]_0^3\)

 

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{3} \cdot 3^3 − 3^2 − 3 \right) − (0 − 0 − 0)\)

 

\(= 9 − 9 − 3\)

 

\(= −3\)

 

 

答え: \(\color{red}{−3}\)

このように、定積分では関数そのものを積分したあと、積分区間の終点と始点の値を代入します。

この代入計算が楽になるように、状況に応じて積分記号や積分区間の性質をうまく活用するのがポイントです。

 

計算問題②「積分区間の逆転と結合」

計算問題②

次の定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int_{−3}^1 (2x − 1)(x − 1) \ dx + \int_0^1 (2x − 1)(1 − x) \ dx\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

前半と後半の関数がとても似ています。

後半部分について積分区間を逆転すると、符号が入れ替わり前半とまったく同じ関数になります。

また、積分区間に注目すると、前半部分の終点 \(1\) と後半部分の始点 \(1\) が同じなので、積分区間を合体できますね。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle \int_{−3}^1 (2x − 1)(x − 1) \ dx + \color{salmon}{\int_0^1} (2x − 1)\color{salmon}{(1 − x)} \ dx\)

 

\(\displaystyle = \int_{−3}^\underline{1} (2x − 1)(x − 1) \ dx + \color{salmon}{\int_\underline{1}^0} (2x − 1)\color{salmon}{(x − 1)} \ dx\)

 

\(\displaystyle = \color{salmon}{\int_{−3}^0} (2x − 1)(x − 1) \ dx\)

 

\(\displaystyle = \int_{−3}^0 (2x^2 − 3x + 1) \ dx\)

 

\(\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} x^3 − \frac{3}{2} x^2 + x \right]_{−3}^0\)

 

\(\displaystyle = 0 − \left\{ \frac{2}{3} (−3)^3 − \frac{3}{2} (−3)^2 + (−3) \right\}\)

 

\(\displaystyle = −\left( −18 − \frac{27}{2} − 3 \right)\)

 

\(\displaystyle = 21 + \frac{27}{2}\)

 

\(\displaystyle = \frac{69}{2}\)

 

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{69}{2}}\)

前半と後半の関数を別物として扱うよりも、楽に計算できましたね。

 

補足

より複雑な関数を積分するときには、「置換積分法」や「部分積分法」といった計算テクニックを使います。

それらについては以下の記事で説明しています。

置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど) 部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり)

 

定積分と面積

ある関数の定積分をグラフに図示すると、なんと面積を求めていることになります。

 

定積分と面積の公式

定積分と面積は、関数の特徴に応じて次のように対応します。

定積分と面積

以下のような部分の面積は、それぞれ次のように定積分で表される。

  1. 曲線と \(\bf{x}\) 軸の間の面積①(\(\bf{x}\) 軸より上)
    区間 \(a \leq x \leq b\) において \(f(x) \geq 0\) のとき、曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x = a\), \(x = b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle S =\int_a^b f(x) \ dx}\end{align}
  2. 曲線と \(\bf{x}\) 軸の間の面積②(\(\bf{x}\) 軸より下)
    区間 \(a \leq x \leq b\) において \(g(x) \leq 0\) のとき、曲線 \(y = g(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x = a\), \(x = b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle S = −\int_a^b g(x) \ dx}\end{align}
  3. \(\bf{2}\) 曲線の間の面積
    区間 \(a \leq x \leq b\) において \(f(x) \geq g(x)\) のとき、曲線 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) と \(2\) 直線 \(x = a\), \(x = b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \int_a^b \{f(x) − g(x)\} \ dx}\end{align}

それぞれ別の公式のように見えますが、すべて「上の線 − 下の線」を積分する計算です。

公式 1 では下の線が \(x\) 軸 \((y = 0)\)、公式 2 では上の線が \(x\) 軸 \((y = 0)\) だから、\(0\) が省略されているのですね。

公式 1
\(\displaystyle S = \int_a^b \{f(x) \color{salmon}{− 0}\} \ dx = \int_a^b f(x) \ dx\)

 

公式 2
\(\displaystyle S = \int_a^b \{\color{salmon}{0} − g(x)\} \ dx = −\int_a^b g(x) \ dx\)

 

1/6 公式

積分区間の両端が上下の線の交点となる場合に、以下の公式でとても楽に代入計算できます。

1/6 公式

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_\alpha^\beta (x − \alpha)(x − \beta) \ dx = −\frac{1}{6} (\beta − \alpha)^3}\end{align}

 

この公式をより一般化すると、次のようになります。

1/6 公式(一般化)
  • 放物線と直線
    放物線 \(y = f(x) = ax^2 + bx + c\) と直線 \(y = g(x)\) との交点の \(x\) 座標を \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\) とすると、これらに囲まれた部分の面積 \(S\) は
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{|a|}{6} (\beta − \alpha)^3}\end{align}
    (\(x = \alpha, \beta\) は \(f(x) − g(x) = 0\) の解であるから、\(f(x) − g(x) = a(x − \alpha)(x − \beta)\) と表せるため)
  • 放物線と放物線
    放物線 \(y = f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1\) と放物線 \(y = g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2\) との交点の \(x\) 座標を \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\) とすると、\(2\) つの放物線に囲まれた部分の面積 \(S\) は
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{|a_1 − a_2|}{6} (\beta − \alpha)^3}\end{align}
    (\(x = \alpha, \beta\) は \(f(x) − g(x) = 0\) の解であるから、\(f(x) − g(x) = (a_1 − a_2)(x − \alpha)(x − \beta)\) と表せるため)

\(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式に使い慣れると、地道に代入計算するよりもかなり早く答えにたどり着けるので覚えておいて損はないですよ!

 

例題①「曲線と直線で囲まれた面積を求める」

それでは、実際に面積を求める練習をしましょう。

例題①

次の曲線、直線、および \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。

\(y = x^2 − 4x − 5\), \(x = −2\), \(x = 4\)

 

まずは、求めたい部分のかたちを知るためにグラフを書きます。

このとき何よりも重要なのは、曲線と \(x\) 軸との交点を調べることです。

通常放物線のグラフを書くときに必要な軸や頂点の座標は求める必要はありません

解答

 

曲線と \(x\) 軸の交点の \(x\) 座標は

\(x^2 − 4x − 5 = 0\)

\((x + 1)(x − 5) = 0\) より

\(x = −1, 5\)

曲線と \(x\) 軸との交点がわかったので、グラフを書いてみましょう。

関係する曲線、直線をすべて書き込み、囲まれる部分を特定します。

(解答続き)

 

求める面積 \(S\) は次のように図示できる。

求める面積は、①と②を足した面積であることがわかりましたね。

あとは、それぞれの積分区間、上の線と下の線の関係に注意して、定積分の計算をしましょう。

(解答続き)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

図から、求める面積は

\(\begin{align}S &= \int_{−2}^{−1} (x^2 − 4x − 5) \ dx − \int_{−1}^4 (x^2 − 4x − 5) \ dx \\\\&= \left[ \frac{x^3}{3} − 2x^2 − 5x \right]_{−2}^{−1} − \left[ \frac{x^3}{3} − 2x^2 − 5x \right]_{−1}^4\\\\&= \left\{\left(−\frac{1}{3} − 2 + 5 \right) − \left( −\frac{8}{3} − 8 + 10 \right) \right\} − \left\{ \left( \frac{64}{3} − 32 − 20 \right) − \left( −\frac{1}{3} − 2 + 5 \right) \right\}\\\\&= \left(−\frac{1}{3} + 3 + \frac{8}{3} − 2\right) − \left( \frac{64}{3} − 52 + \frac{1}{3} − 3 \right)\\\\&= \frac{7}{3} + 1 − \frac{65}{3} + 55\\\\&= 56 − \frac{58}{3}\\\\&= \frac{168 − 58}{3}\\\\&= \frac{110}{3}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{S = \displaystyle \frac{110}{3}}\)

 

例題②「2 曲線に囲まれた面積を求める」

もう \(1\) 問チャレンジです。

例題②

次の \(2\) 曲線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。

\(y = x^2 − 3x + 2\), \(y = −x^2 + 2x + 5\)

 

まずは、\(2\) 曲線がどこで交わるかを特定しましょう。

解答

 

\(2\) 曲線の交点の \(x\) 座標は

\(x^2 − 3x + 2 = −x^2 + 2x + 5\)

\(2x^2 − 5x − 3 = 0\)

\((2x + 1)(x − 3) = 0\)

\(\displaystyle x = −\frac{1}{2}, 3\)

そして、簡単なグラフを書いてみます。

\(2\) 曲線に囲まれた面積を求めるときは、「グラフの上下関係」と「交点の \(\bf{x}\) 座標」だけがわかれば十分です。

(解答続き)

 

求める面積 \(S\) は次のように図示できる。

この問題では、上の線と下の線の交点が積分区間の両端になっているので、\(\bf{\displaystyle \frac{1}{6}}\) 公式を使えます。

(解答続き)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

よって、求める面積は

\(\begin{align}S &= \int_{−\frac{1}{2}}^3 \{(−x^2 + 2x + 5) − (x^2 − 3x + 2) \} \ dx\\\\&= \color{salmon}{\frac{|−1 − 1|}{6} \left\{ 3 − \left( −\frac{1}{2} \right) \right\}^3}\\\\&= \frac{2}{6} \left( \frac{7}{2} \right)^3\\\\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{343}{8}\\\\&= \frac{343}{24}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{S = \displaystyle \frac{343}{24}}\)

ちなみに、\(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式を使わないで地道に代入計算すると、次のようになります。

別解

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\begin{align}S &= \int_{−\frac{1}{2}}^3 \{(−x^2 + 2x + 5) − (x^2 − 3x + 2)\} \ dx\\\\&= \int_{−\frac{1}{2}}^3 (−2x^2 + 5x + 3) \ dx\\\\&= \left[ −\frac{2}{3} x^3 + \frac{5}{2} x^2 + 3x \right]_{−\frac{1}{2}}^3\\\\&= \left( −18 + \frac{45}{2} + 9 \right) − \left( \frac{1}{12} + \frac{5}{8} − \frac{3}{2} \right)\\\\&= −9 + \frac{45}{2} − \frac{1}{12} − \frac{5}{8} + \frac{3}{2}\\\\&= −9 + 24 − \frac{2 + 15}{24}\\\\&= 15 − \frac{17}{24}\\\\&= \frac{360 − 17}{24}\\\\&= \color{red}{\frac{343}{24}}\end{align}\)

\(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式を知っているとかなりお得だと実感できますね。

 

絶対値を含む定積分

次に、絶対値を含む関数の定積分の解き方について解説していきます。

関数に絶対値記号がついたままでは積分できないので、場合分けして絶対値記号を外してから積分するのがルールです。

絶対値を含む定積分

\(\displaystyle S = \int_a^b |f(x)| \ dx\) について、

\(|f(x)| = \left\{\begin{array}{l}−f(x) (f(x) \leq \alpha)\\f(x) (f(x) \geq \alpha)\end{array}\right.\)

\(a \leq \alpha \leq b\) のとき、

\begin{align}S &= \int_a^b |f(x)| \ dx \\&=  \int_a^\alpha (−f(x)) \ dx + \int_\alpha^b f(x) \ dx \end{align}

絶対値を含む定積分は、実際にグラフを書いてみるとよりわかりやすいです。

絶対値のついた関数は、\(x\) 軸よりも下にいくことがありませんね

補足

「絶対値」について忘れてしまった人は、以下の記事で復習しておきましょう。

絶対値とは?記号の外し方や計算、方程式や不等式の解き方

 

例題「\(|x^2 – 3x + 2|\) の定積分を求める」

それでは、実際に問題を解いてみましょう。

例題

次の定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int_0^4 |x^2 − 3x + 2| \ dx\)

 

絶対値の中身を調べ、絶対値記号を外してみましょう。

解答

 

\(x^2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)\) より、

 

\(|x^2 − 3x + 2|\)

\(= \left\{\begin{array}{l}x^2 − 3x + 2 (x \leq 1, 2 \leq x)\\−(x^2 − 3x + 2) (1 \leq x \leq 2)\end{array}\right.\)

 

場合分けできたら、積分区間と照らし合わせてグラフを確認します。

面積を求める部分が特定できたら、積分区間を適切に分割して計算しましょう。

(解答続き)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

求める値は以下の塗りつぶした部分の面積に等しい。

 

よって、

\(\displaystyle \int_0^4 |x^2 − 3x + 2| \ dx\)

 

\(\displaystyle = \int_0^1 (x^2 − 3x + 2) \ dx + \int_1^2 \{−(x^2 − 3x + 2)\} \ dx +\int_2^4 (x^2 − 3x + 2) \ dx\)

 

\(\displaystyle = \int_0^1 (x^2 − 3x + 2) \ dx − \int_1^2 (x − 1)(x − 2) \ dx + \int_2^4 (x^2 − 3x + 2) \ dx\)

 

\(\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x^3 − \frac{3}{2} x^2 + 2x \right]_0^1 − \left( −\frac{1}{6} \right) (2 − 1)^3 + \left[ \frac{1}{3} x^3 − \frac{3}{2} x^2 + 2x \right]_2^4\)

 

\(\displaystyle = \left\{ \left( \frac{1}{3} − \frac{3}{2} + 2 \right) − (0 − 0 + 0) \right\} + \frac{1}{6} + \left\{ \left( \frac{64}{3} − 24 + 8 \right) − \left( \frac{8}{3} − 6 + 4 \right) \right\}\)

 

\(\displaystyle = \frac{2 − 9 + 12}{6} + \frac{1}{6} + \left( \frac{56}{3} − 14 \right)\)

 

\(\displaystyle = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{56}{3} − 14\)

 

\(\displaystyle = \frac{56}{3} − 13\)

 

\(\displaystyle = \frac{56 − 39}{3}\)

 

\(\displaystyle = \frac{17}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{17}{3}}\)

 

【参考】なぜ定積分が面積なのか

最後に、なぜ定積分の計算でグラフの面積を求められるのかを証明していきます。

以下に示す微分・積分の定義を用いて手品のように求められるので、よ〜く注意して証明過程を眺めてみてくださいね。

微分(導関数)の定義

\begin{align}\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\end{align}

 

積分の定義

\(\displaystyle \int f(x) \ dx = F(x) + C\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)\)

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

区間 \(a \leq x \leq b\) で常に \(f(x) \geq 0\) である関数 \(y = f(x)\) を考える。

\(y = f(x)\) と \(x\) 軸の間で、\(x\) 座標が \(a\) から \(b\) までの部分の面積を \(S\)、\(a\) から \(x\) までの部分の面積を \(S(x)\) とおく。

 

\(x\) を \(h\) だけ移動させると、\(S(x)\) は

\(S(x + h) − S(x)\)

だけ増加する。

 

ここで、\(S(x + h) − S(x)\) は長方形①より大きく、長方形②よりも小さい。

よって、

\(h f(x) < S(x + h) − S(x) < h f(x + h)\)

 

両辺を \(h\) で割ると

\(\displaystyle f(x) < \frac{S(x + h) − S(x)}{h} < f(x + h)\)

 

ここで、\(x\) の移動量 \(h\) を限りなく \(0\) に近づける(\(h \to 0\) で極限をとる)と、

\(\displaystyle f(x) \leq \lim_{h \to 0} \frac{S(x + h) − S(x)}{h} \leq \lim_{h \to 0} f(x + h)\)

 

\(\displaystyle f(x) \leq \lim_{h \to 0} \frac{S(x + h) − S(x)}{h} \leq f(x)\)

 

はさみうちの原理より、

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{S(x + h) − S(x)}{h} = f(x)\)

 

導関数の定義より

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{S(x + h) − S(x)}{h} = S'(x)\)

であるから、

\(S'(x) = f(x)\)

が成り立ち、\(S(x)\) は関数 \(f(x)\) の原始関数といえる。

 

よって、\(f(x)\) の任意の不定積分を \(F(x)\) とすると、

\(S(x) = F(x) + C\) …(*)

と表せる(\(C\) は積分定数)。

 

(*) に \(x = a\) を代入すると、\(S(a) = 0\) から

\(0 = F(a) + C\)

\(C = −F(a)\)

 

これを (*) に代入すると

\(S(x) = F(x) − F(a)\)

 

ここに \(x = b\) を代入すると \(S\) に等しく、

\(\begin{align} S &= S(b) \\ &= F(b) − F(a) \end{align}\)

 

定積分の定義から、

\(\begin{align} S &= F(b) − F(a) \\ &= [F(x)]_a^b \\ &= \int_a^b f(x) \ dx \end{align}\)

 

以上より、面積 \(S\) は定積分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx\) の値と一致する。

 

(証明終わり)

補足

証明の途中で使った「はさみうちの原理」については以下の記事で詳しく説明しています。

はさみうちの原理とは?極限の問題での使い方を徹底解説!

以上で終わりです!

 

定積分では、積分のあとに代入計算があるため、ぼーっとしていると計算が複雑になってしまうことがあります。

いつも「どうしたら計算が楽になるかな?」と考えながら、問題を解いていくようにしましょう!

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