場合の数と確率を総まとめ!各種公式【重要記事一覧】

場合の数と確率に関するさまざまな公式をまとめていきます。

詳細記事へのリンクも載せていますので、気になる問題や解き方があればぜひ参考にしてくださいね!

 

【準備】集合とその要素の個数

場合の数と確率を考えるには、「集合」への理解が必要です。

詳しくは以下の記事で説明しています。

集合とは?数学記号の読み方や意味、計算問題の解き方

 

場合の数の数え方

場合の数を数えるときは、抜け漏れ・重複なく数えることが重要です。

場合の数の数え方
  • 辞書式配列法
    アルファベット順、あいうえお順など、辞書のように場合を並べる方法。
  • 樹形図
    各場合を、枝分かれの図で書き表す方法。

 

和の法則・積の法則

和の法則・積の法則については、以下の記事で詳しく説明しています。

積の法則・和の法則とは?違いや問題の解き方をわかりやすく解説

和の法則

和の法則

\(2\) つの事象 \(A\), \(B\) が同時に起こらないとする。

事象 \(A\) の起こり方が \(m\) 通り、事象 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、事象 \(A\) または事象 \(B\) のどちらかが起こる場合の数は、\(m + n\) 通りである。

このように、\(2\) つの事象の少なくともどちらか一方が起こる事象を「和事象」といいます。

事象 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) の和事象は「\(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}\)」と表すことができます。

 

積の法則

積の法則

事象 \(A\) の起こり方が \(m\) 通り、そのそれぞれに対して事象 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、事象 \(A\) と事象 \(B\) が両方起こる場合の数は、\(m \times n\) 通りである。

このように、\(2\) つの事象の両方が起こる事象を「積事象」といいます。

事象 \(A\), \(B\) の積事象は「\(A \cap B\)」と表すことができます。

 

余事象の計算

余事象については以下の記事で説明しています。

余事象とは?記号・意味・公式や、余事象の確率の問題
余事象の定義

事象 \(A\) に対して、\(A\) が起こらない事象を \(A\) の余事象といい、「\(\bar{A}\)」 で表す。

余事象の計算
  • 場合の数
    全事象 \(U\) のうち、事象 \(A\) が起こる場合の数を \(n(A)\) とすると、余事象 \(\bar{A}\) が起こる場合の数 \(n(\bar{A})\) は
    \begin{align}n(\bar{A}) = n(U) − n(A)\end{align}
  • 確率
    ある事象 \(A\) の確率を \(P(A)\)、その余事象の確率を \(P(\bar{A})\) とすると、
    \begin{align}P(\bar{A}) = 1 − P(A)\end{align}

 

順列・組み合わせ

順列と組み合わせの違いについては、以下の記事で詳しく説明しています。

順列と組み合わせの違いと見分け方!公式や練習問題

 

順列

順列 P とは?公式や計算問題の解き方(重複ありなど)

順列の公式

順列

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出して順番に並べる場合の数を \({}_n \mathrm{P}_r\) と表し、「順列」という。

\begin{align}{}_n \mathrm{P}_r &= \displaystyle \frac{n!}{(n − r)!}\\&= n(n − 1)(n − 2) \cdots (n – r + 1)\end{align}

 

円順列の公式

円順列

異なる \(n\) 個のものの円順列の総数は、

\begin{align}(n − 1)!\end{align}

 

じゅず順列の公式

じゅず順列

異なる \(n\) 個のもののじゅず順列の総数は、

\begin{align}\displaystyle \frac{(n − 1)!}{2}\end{align}

 

重複順列の公式

重複順列

異なる \(n\) 個のものの中から重複した \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる場合の数は、

\begin{align}n^r\end{align}

 

組み合わせ

組み合わせ C とは?公式や計算方法(◯◯は何通り?)

組み合わせの公式

組み合わせ

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出す場合の数を \({}_n \mathrm{C}_r\) と表し、「組み合わせ」という。

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_r &= \displaystyle \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!}\\&= \displaystyle \frac{n!}{r!(n − r)!}\\&= \displaystyle \frac{n(n − 1)(n − 2) \cdots (n − r + 1)}{r(r − 1)(r − 2) \cdots 1}\end{align}

 

同じものを含む順列の公式

同じものを含む順列

同じものが \(p\) 個、\(q\) 個、\(r\) 個、…ずつ含まれ、全部で \(n\) 個あるとする。

この \(n\) 個のものすべてを並べる順列の総数は、

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_p \times {}_{n − p} \mathrm{C}_q \times {}_{n − p − q} \mathrm{C}_r \times \cdots = \displaystyle \frac{n!}{p!q!r! \cdots}\end{align}

ただし、\(p + q + r + \cdots = n\)

 

重複組み合わせの公式

重複組み合わせ

異なる \(n\) 個のものから重複を許して \(r\) 個を選ぶ組み合わせの総数は、

\begin{align}{}_n \mathrm{H}_r = {}_{n + r – 1} \mathrm{C}_r\end{align}

 

二項定理

組み合わせの考え方を使って多項式を展開でき、二項のべき乗で成り立つものを「二項定理」、複数の項のべき乗で成り立つものを「多項定理」といいます。

二項定理とは?証明や応用問題の解き方をわかりやすく解説!
二項定理

\((a + b)^n \\= {}_n \mathrm{C}_0 a^n + {}_n \mathrm{C}_1 a^{n − 1} b + {}_n \mathrm{C}_{n − 2} a^{n − 2} b^2 + \cdots\\ \,\, + {}_n \mathrm{C}_r a^r b^{n − r} + \cdots + {}_n \mathrm{C}_{n − 1} a^{n − 1} b + {}_n \mathrm{C}_n b^n\)

 

一般項(第 \(r + 1\) 項)は \({}_n \mathrm{C}_r a^r b^{n − r}\)

多項定理

\((a + b + c)^n\) の一般項は

\begin{align}\displaystyle \frac{n!}{p! q! r!}a^p b^q c^r\end{align}

ただし、\(p\), \(q\), \(r\) は整数で以下を満たす。

\begin{align}p + q + r = n, p \geq 0, q \geq 0, r \geq 0\end{align}

 

確率の定義と性質

確率については、以下の記事で詳しく説明しています。

確率とは?公式、計算式の立て方と確率の求め方
確率の定義

ある試行において、すべての事象の起こる確率が同様に確からしいとき、起こりうるすべての事象を \(U\)、ある事象を \(A\) とすると、 \(A\) が起こる確率 \(P(A)\) は次のように表せる。

\begin{align}P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)}\end{align}

  • \(n(A)\):\(A\) の場合の数
  • \(n(U)\):\(U\) の場合の数
確率の性質

ある事象 \(A\)、全事象 \(U\)、空事象 \(\emptyset\) について、

  • \(0 \leq P(A) \leq 1\)
  • \(P(\emptyset) = 0\)
  • \(P(U) = 1\)

 

排反事象

複数の事象について考えるときは、それらが「排反」かどうかを調べます。

排反事象

\(2\) つの事象 \(A, B\) が同時に起こることがないとき(\(A \cap B = \emptyset\))、「\(A\) と \(B\) は互いに排反である」という。

 

和事象の計算

\(2\) つの事象 \(A\), \(B\) が排反かそうではないかによって、和事象(\(A \cup B\))の計算方法が異なります。

 

確率の加法定理

\(2\) つの事象が排反であるとき、それぞれの確率をそのまま足し算でき、「確率の加法定理」といいます。

確率の加法定理

事象 \(A\), \(B\) が互いに排反のとき、

\begin{align}P(A \cup B) = P(A) + P(B)\end{align}

 

和事象の確率

\(2\) つの事象が排反でないときは、「和事象の確率」を求めます。

和事象の確率

事象 \(A\), \(B\) が互いに排反ではないとき、

\begin{align}P(A \cup B) = P(A) + P(B) − P(A \cap B)\end{align}

補足

公式に異なる名前がついていますが、和事象の確率において \(P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0\) のときを「確率の加法定理」と呼んでいるだけですね。

 

独立試行と反復試行

独立試行と反復試行については、以下の記事で詳しく説明しています。

反復試行の確率・独立試行の確率とは?公式や見分け方

独立試行

独立試行の確率

前におこなった試行の結果が次の試行にまったく影響を与えないとき、これらの試行は「互いに独立である」という。

\(2\) つの独立な試行 \(S\), \(T\) において、\(S\) では事象 \(A\) が起こり、\(T\) では事象 \(B\) が起こるという事象を \(C\) とすると、

\begin{align}P(C) = P(A)P(B)\end{align}

 

反復試行

反復試行の確率

同じ試行を何回か繰り返すとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて「反復試行」という。

\(1\) 回の試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\) としたとき、この試行を \(n\) 回行う反復試行の確率で、事象 \(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は、

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_r \times p^r \times (1 − p)^{n − r}\end{align}

 

条件付き確率、乗法定理

条件付き確率については、以下の記事で詳しく説明しています。

条件付き確率とは?公式や問題、ベイズの定理(不良品の例)も!
条件付き確率

ある事象が起きたという条件のもとでもう \(1\) つの事象が起きる確率を「条件付き確率」という。

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率は \(P(B | A)\) または \(P_A(B)\) と表し、以下のように計算される。

\begin{align}P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\end{align}

または

\begin{align}P_A(B) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\end{align}

確率の乗法定理

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率を \(P_A(B)\) とすると、

\begin{align}P(A ∩ B) = P(A)P_A(B)\end{align}

 

期待値の公式

期待値については、以下の記事で詳しく説明しています。

期待値とは?計算公式や求め方をわかりやすく解説!
期待値

ある試行において、確率変数 \(X\) の取り得る値を \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)、\(X\) がその値をとる確率をそれぞれ \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) とすると、\(X\) の期待値は、

\begin{align}E[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n\end{align}

ただし、\(p_1+ p_2 + \cdots + p_n = 1\)

補足

また、宝くじの期待値を計算してみた記事もあるので、気になる方はこちらからどうぞ!

宝くじの当選確率は?当選金額の期待値を計算してみよう!

以上が場合の数と確率の公式一覧でした!

 

詳しい内容については、それぞれの関連記事を確認してみてくださいね。

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