三次関数とは?グラフや解き方、接線・極値の求め方(微分)

この記事では、「三次関数」のグラフの書き方や問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

微分による接線や極値の求め方も詳しく説明していくので、ぜひマスターしてくださいね!

 

三次関数とは?

三次関数とは、\(y\) が \(x\) の三次式で表せる関数のことです。

一般的に、任意の定数 \(a, b, c, d\) を使って「\(\color{red}{y = ax^3 + bx^2 + cx + d}\)」と表せます。(ただし、\(a \neq 0\))

 

三次関数の特徴

三次関数のグラフは、最大 \(1\) 個ずつの山と谷をもち、両端が正負逆方向に伸びる曲線です(山・谷をもたない場合もあり)。

グラフの向きは、\(x^3\) の係数 \(a\) の正負によって決まります。

\(a > 0\) なら右肩上がりのグラフ、\(a < 0\) なら右肩下がりのグラフになります。

 

軸との交点

\(x\) 軸、\(y\) 軸との交点は次のように求められます。

  • \(y\) 軸との交点(切片)
    \(x = 0\) のときの \(y\) の値、すなわち定数項 \(d\) の値
  • \(x\) 軸との交点
    \(y = 0\) のときの \(x\) の値、すなわち \(\text{(左辺)} = 0\) の解

\(x\) 軸との交点を求めるときは、左辺が因数分解できるとわかりやすいですね。

補足

三次関数の因数分解には、さまざまな知識が必要です。

もし忘れていたら、ここで復習しておきましょう。

因数分解とは?公式や計算のやり方、問題の解き方 因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

極値(極大値・極小値)

グラフの山の点を「極大」、谷の点を「極小」と呼び、その点における関数の値を「極値」といいます。

正確には、次の条件を満たす点が極大・極小です。

関数の極大・極小

関数 \(f(x)\) において、\(f'(x)\) の符号が

  • \(x = p\) の前後で正から負に変わるとき
    \(f(x)\) は \(x = p\) で極大になるといい、\(f(p)\) を「極大値」という。
  • \(x = p\) の前後で負から正に変わるとき
    \(f(x)\) は \(x = p\) で極小になるといい、\(f(p)\) を「極小値」という。

極大値と極小値をまとめて「極値」という。

\(f'(x)\) は、\(f(x)\) を微分した値でしたね。

グラフ上において \(f'(p)\) は、\(x = p\) における曲線の接線の傾きを意味します。

接線の傾きが \(+\) から \(0\) を経て \(−\) に転じる点が「極大」、\(−\) から \(0\) を経て \(+\) に転じる点が「極小」ということですね。

 

ある関数が極大・極小をもつ条件をまとめると、以下のようになります。

関数が極大・極小をもつ条件

関数 \(y = f(x)\) において、\(f'(x) = 0\) の判別式を \(D\) とおくと

 

  • \(\color{red}{D > 0}\) のとき
    (\(f'(x) = 0\) が \(2\) つの実数解をもつとき)
    極値(極大・極小)をもつ
  • \(\color{red}{D \leq 0}\) のとき
    (\(f'(x) = 0\) が重解をもつか、実数解をもたないとき)
    極値をもたない

 

\(D = 0\) のときは極値(山)にはならないものの、曲線の接線の傾きが \(0\) になる点が存在します。

一方、\(D < 0\) のときは曲線の接線の傾きが \(0\) になることはなく、傾きは単調に増加または単調に減少します。

 

変曲点

曲線上において、接線の傾き \(f'(x)\) が単調に増加するところから単調に減少するのに切り替わる点を「変曲点」と呼びます。

数学的には、関数 \(f(x)\) を \(2\) 回微分した \(f’’(x)\) の符号が切り替わる点が変曲点です。

関数の変曲点

関数 \(y = f(x)\) において、\(f’’(x)\) の符号によってグラフの傾きは次のように変化する。

 

  • \(\color{red}{f’’(x) > 0}\) のとき
    接線の傾きが単調に増加する
  • \(\color{red}{f’’(x) = 0}\) のとき
    接線の傾きの符号が切り替わる変曲点
  • \(\color{red}{f’’(x) < 0}\) のとき
    接線の傾きが単調に減少する

 

 

また、三次関数の変曲点には以下の性質が成り立ちます。

三次関数の変曲点の性質
  • 三次関数における変曲点はただ \(1\) つ
  • 三次関数のグラフは変曲点に関して点対称
  • 点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\) が等間隔に並ぶ(\(4\) 等分の法則)

 

三次関数のグラフの書き方

ここでは、例題を通して三次関数のグラフの書き方を説明します。

例題

次の関数のグラフを書け。

\(y = 2x^3 − 3x^2 + 1\)

 

ここまでに見てきたように、三次関数の形には \(f'(x)\) や \(f’’(x)\) の値が大きく関わっています。

  • \(f'(x)\):極値、関数の増減がわかる
  • \(f’’(x)\):変曲点、関数の凹凸(傾きの増減)がわかる

これらを効率的に求めるには、増減表を書くのがオススメです。

それでは、グラフを書く手順を確認しましょう。

STEP.1
極値の有無を調べる

\(f'(x) = 0\) を満たす \(x\) を求めることで、極値をもつかを調べます。

\(y’ = 6x^2 − 6x = 6x(x − 1)\)

\(y’ = 0\) のとき、\(x = 0, 1\)

 

STEP.2
増減表を用意する

次のような増減表を用意します。

極値の \(x\), \(y’\), \(y\) は埋めておきましょう。

\(x = 0\) のとき \(y = 1\)

\(x = 1\) のとき \(y = 2 − 3 + 1 = 0\)

 

STEP.3
f’(x) の符号を調べ、増減表を埋める

符号を調べるときは、適当な \(x\) の値を代入してみます。

\(x = −1\) のとき \(y’ = 6(−1)(−1 − 1) = 12 > 0\)

 

\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) のとき \(\displaystyle y’ = 6 \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} − 1 \right) = −\frac{3}{2} < 0\)

 

\(x = 2\) のとき \(y’ = 6 \cdot 2(2 − 1) = 12 > 0\)

\(f’(x)\) がなら \(2\) 行目に「\(\bf{+}\)」、\(3\) 行目に「\(\bf{\nearrow}\)」を書きます。

\(f’(x)\) がなら \(2\) 行目に「\(\bf{−}\)」、\(3\) 行目に「\(\bf{\searrow}\)」を書きます。

山の矢印にはさまれたのが「極大」、谷の矢印にはさまれたのが「極小」です。

 

STEP.4
x 軸、y 軸との交点を求める

\(x\) 軸との交点は \(f(x) = 0\) の解から求められます。

\(f(x)\) が因数分解できるとスムーズですね。

今回の関数は極小で点 \((1, 0)\) を通ることがわかっているので、\((x − 1)\) を因数にもつことを利用して求めましょう。

\(\begin{align} y &= 2x^3 − 3x^2 + 1 \\ &= (x − 1)(2x^2 − x − 1) \\ &= (x − 1)^2(2x + 1) \end{align}\)

より、

\(y = 0\) のとき \(\displaystyle x = −\frac{1}{2}, 1\)

よって \(x\) 軸との交点は \(\displaystyle \left( −\frac{1}{2}, 0 \right)\), \((1, 0)\) とわかります。

 

一方、切片の \(y\) 座標は定数項 \(1\) なので、\(y\) 軸との交点は \((0, 1)\) ですね。

 

STEP.5
点を打つ

準備が整ったので、いよいよグラフを書きます。

軸を用意したら、わかっている点を打っていきます。

  • 極大 \((0, 1)\)
  • 極小 \((1, 0)\)
  • \(x\) 軸の交点 \(\displaystyle \left( −\frac{1}{2}, 0 \right)\), \((1, 0)\)
  • \(y\) 軸との交点 \((0, 1)\)

STEP.6
曲線を引く

あとは打った点を通る曲線を引くだけですね。

増減表の矢印の向きを守りましょう。

これでグラフの完成です!関数名も忘れずに入れておいてくださいね。

 

完了

 

通常、ただ「グラフを書け」と言われた場合には \(f’’(x)\) まで調べる必要はありません。

変曲点を調べて」「凹凸も調べて」などと指定された場合にだけ、\(f’’(x)\) を調べましょう。

ちなみに、\(f’’(x)\) まで調べると次のような増減表になります。

補足

「増減表の書き方」についてもっと詳しく学習したい方は、以下の記事を参考にしてください。

増減表とは?書き方や符号の調べ方、2 回微分の意味

 

三次関数の接線の方程式

ここでは、三次関数の接線の方程式の求め方を説明していきます。

\(f'(x)\) が接線の傾きを示すので、一般的に、接線の方程式は次のように与えられます。

接線の方程式

曲線 \(y = f(x)\) 上の点 \((a, f(a))\) における接線の方程式は

\begin{align}\color{red}{y − f(a) = f’(a)(x − a)}\end{align}

(傾き \(f’(a)\) で、点 \((a, f(a))\) を通る直線)

補足

「接線」については、以下の記事でより詳しく説明しています。

接線、接線の方程式とは?公式や微分による傾きの求め方

 

例題「三次関数の接線の方程式を求める」

それでは、例題で三次関数の接線の求め方を確認しましょう。

例題

関数 \(y = −x^3 + x + 2\) の点 \((2, −4)\) における接線の方程式を求めよ。

 

まずは傾きを求めます。

求めた傾きと通る点の座標を代入すると、接線の方程式を求められます。

解答

 

\(y = f(x)\) とおく。

\(f’(x) = −3x^2 + 1\) より、

\(f’(2) = −3 \cdot 2^2 + 1 = −11\)

 

傾き \(−11\) で点 \((2, −4)\) を通る直線であるから、接線の方程式は

\(y − (−4) = −11(x − 2)\)

\(\begin{align} y &= −11x +22 − 4 \\ &= −11x + 18 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y = −11x + 18}\)

 

三次関数の練習問題

最後に、三次関数の練習問題を解いていきましょう。

練習問題①「極値を求め、グラフを書く」

練習問題①

関数 \(y = −x^3 + 6x^2 − 12x + 7\) について、次の問いに答えよ。

(1) 極値を求め、グラフを書け。

(2) \(x = 3\) における接線の方程式を求めよ。

 

増減表を利用してグラフを書きましょう。

極値が必ずあるとは限りませんよ。

解答

 

(1)

\(y = f(x)\) とおくと、

\(\begin{align} f’(x) &= −3x^2 + 12x − 12 \\ &= −3(x^2 − 4x + 4) \\ &= −3(x − 2)^2 \end{align}\)

 

\(f’(x) = 0\) のとき \(x = 2\), \(y = −1\)

また、\(x < 2\) および \(x > 2\) で常に \(f’(x) < 0\)

\(y = f(x)\) の増減表は次のようになる。

 

また、\(−x^3 + 6x^2 − 12x + 7 = 0\) を解くと

\(x^3 − 6x^2 + 12x − 7 = 0\)

\((x − 1)(x^2 − 5x + 7) = 0\)

\(x^2 − 5x − 7 = 0\) の判別式を \(D\) とすると

\(D = (−5)^2 − 4 \cdot 1 \cdot 7 = −3 < 0\) より、解なし。

よって \(y = f(x)\) と \(x\) 軸との交点は \((1, 0)\) のみ

 

したがって、\(y = −x^3 + 6x^2 − 12x + 7\) のグラフは次のようになる。

答え:

極値なし

 

 

(2) 

\(\begin{align} f’(3) &= −3(3 − 2)^2 \\&= −3 \cdot 1^2 = −3\end{align}\)

\(\begin{align} f(3) &= −3^3 + 6 \cdot 3^2 − 12 \cdot 3 + 7\\&= −27 + 54 − 36 + 7\\&= −2\end{align}\)

より、\(x = 3\) における接線の方程式は

\(y − f(3) = f'(3)(x − 3)\) より

\(y − (−2) = −3(x − 3)\)

すなわち

\(y = −3x + 7\)

 

答え: \(\color{red}{y = −3x + 7}\)

 

練習問題②「最大値・最小値を求める」

練習問題②

関数 \(y = x^3 − 4x^2 + 4x + 1\) \((0 \leq x \leq 3)\) の最大値と最小値を求めよ。

 

増減表を利用して、グラフの概形を確認しましょう。

極大値・極小値が最大値・最小値となるとは限らないことに注意です。

解答

 

\(\begin{align} y’ &= 3x^2 − 8x + 4 \\ &= (3x − 2)(x − 2) \end{align}\)

\(y’ = 0\) のとき \(\displaystyle x = \frac{2}{3}, 2\)

 

\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\) のとき

\(\begin{align} y &= \frac{8}{27} − \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 1 \\ &= \frac{8 − 48 + 72 + 27}{27} \\ &= \frac{59}{27} \end{align}\)

 

\(x = 2\) のとき

\(\begin{align} y &= 8 − 16 + 8 + 1 \\ &= 1 \end{align}\)

 

また、

\(x = 0\) のとき \(y = 1\)

\(x = 3\) のとき \(y = 27 − 36 + 12 + 1 = 4\)

 

よって、\(0 \leq x \leq 3\) における \(y\) の増減は次のようになる。

 

したがって、

\(x = 3\) で最大値 \(4\)、\(x = 0, 2\) で最小値 \(1\) をとる。

 

答え: 

最大値 \(\color{red}{4 \,\,(x = 3)}\)、最小値 \(\color{red}{1 \,\,(x = 0, 2)}\)

以上で三次関数の解説は終わりです。

 

三次関数の問題では、因数分解、因数定理、微分などさまざまな知識が必要になります。

苦手な部分があったら、その単元まで戻って復習しておきましょう!

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