三次方程式とは?解き方(因数分解など)や公式・グラフを解説!

この記事では「三次方程式」について、因数分解や因数定理による計算問題の解き方を解説していきます。

また、三次方程式の解と係数の関係や、判別式とグラフの関係なども説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

三次方程式とは?

三次方程式とは、三次式を含む方程式です。

三次方程式の一般形は \(\color{red}{ax^3 + bx^2 + cx + d = 0}\) (\(a, b, c, d\) は定数、\(a \neq 0\))と表すことができます。

 

三次方程式の解

一般に、係数が実数である三次方程式は次の \(3\) 解をもちます。

  • \(3\) つの異なる実数解
  • \(3\) つの実数解のうち、少なくとも \(1\) 組が重解
  • \(1\) つの実数解と \(2\) つの虚数解

学校では、三次方程式の前に複素数(虚数を含む数体系)を習うので、虚数解も解に含めることが一般的です。

補足

「複素数」については、以下の記事で説明しています。

複素数とは?公式や i の 2 乗の意味、計算問題の解き方

 

三次方程式の解き方

三次方程式を解くためには、基本的に因数分解が必要となります。

この因数分解のやり方には、次の \(2\) 通りの方法があります。

  • 因数分解の公式を利用する
  • 因数定理を利用する

それぞれ、順番に紹介していきます。

 

【解き方①】因数分解の公式を利用する

まずは三次式の因数分解の公式を利用する方法です。

三次式の因数分解の公式は以下の通りです。

三次式の因数分解
  • \(\color{red}{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)}\)
  • \(\color{red}{a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)}\)
  • \(\color{red}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3}\)
  • \(\color{red}{a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3 = (a − b)^3}\)

 

それでは実際にこれらの公式を使って、例題を解いてみましょう。

例題

\(x^3 − 8 = 0\) を解きなさい。

 

三次方程式を解く問題では、まず因数分解の公式に当てはまらないかを確認します。

この問題は「\(a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)\)」で因数分解できそうですね。

解答

 

\(\begin{align}x^3 − 8 &= x^3 − 2^3\\&= (x − 2)(x^2 + 2x + 2^2)\\&= (x − 2)(x^2 + 2x + 4)\end{align}\)

より、

\((x − 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\)

 

よって

\(x = \color{red}{2}\), \(x^2 + 2x + 4 = 0\)

となり、\(1\) つの解が求まりましたね。

\(x^2 + 2x + 4 = 0\) は因数分解できなそうなので、二次方程式の解の公式を利用しましょう。

(解答続き)

 

\(x^2 + 2x + 4 = 0\) について、解の公式より

 

\(\begin{align} x &= \frac{−1 \pm \sqrt{1 − 1 \cdot 4}}{1} \\ &= −1 \pm \sqrt{1 − 4} \\ &= − 1 \pm \sqrt{−3} \\ &= \color{red}{−1 \pm \sqrt{3} i} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{x = 2, −1 \pm \sqrt{3} i}\) 

(二次方程式の)解の公式

二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解 \(x\) は

\begin{align}x = \displaystyle \frac{− b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}\end{align}

二次方程式とは?解き方(因数分解、解の公式など)や計算問題

 

【解き方②】因数定理を利用する

次に、因数定理を利用する方法です。

因数定理があれば、因数分解の公式が使えない場合でも因数を見つけられます。

因数定理

整式 \(P(x)\) が \((x − a)\) を因数にもつ \(\iff P(a) = 0\)

 

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

それでは、因数定理を利用して例題を解いてみましょう!

例題

\(x^3 − x^2 − 4x + 4 = 0\) を解きなさい。

 

定数項が \(+4\) のため何かの \(3\) 乗とは考えにくく、因数分解の公式には当てはまらなそうです。

このような場合に因数定理を利用します。

 

\(P(x) = x^3 − x^2 − 4x + 4\) とおき、\(P(x) = 0\) になる \(x\) の値を考えていきます。

試しに、\(x\) に \(1\) を代入してみましょう。

解答

 

\(P(x) = x^3 − x^2 − 4x + 4\) とおく。

\(\begin{align} P(1) &= 1^3 − 1^2 − 4 \cdot 1 + 4 \\ &= 1 − 1 − 4 + 4 \\ &= 0 \end{align}\)

となり、\(P(x)\) は \((x − 1)\) を因数にもつことがわかりました。

わかった因数で \(P(x)\) をくくって、さらに因数分解を進めましょう。

(解答続き)

 

\(P(x)\) を \((x − 1)\) でくくると、

\(\begin{align} P(x) &= (x − 1)(x^2 − 4) \\ &= (x − 1)(x + 2)(x − 2) \end{align}\)

 

\((x − 1)(x + 2)(x − 2) = 0\) より

\(x = −2, 1, 2\)

 

答え: \(\color{red}{x = −2, 1, 2}\)

このように、答えが求められました!

補足

整式の割り算で「組立除法」を利用しましたが、もちろん筆算で割り算しても構いません。

「組立除法」のやり方については、以下の記事で詳しく説明しています。

組立除法とは?やり方や原理をわかりやすく解説!

 

三次方程式の解と係数の関係

三次方程式の解と係数との間には、以下の関係が成り立ちます。

三次方程式の解と係数の関係

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) \((a \neq 0)\) の \(3\) つの解が \(‪\alpha‬\), \(\beta\), \(\gamma\) であるとき、以下が成り立つ。

\begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \alpha‬ + \beta + \gamma = −\frac{b}{a}\\ \displaystyle \alpha‬\beta + \beta\gamma + \gamma‪\alpha‬ = \frac{c}{a}\\ \displaystyle \alpha‬\beta\gamma = −\frac{d}{a}\end{array}\right.}\end{align}

\(3\) 解の和\(2\) 解の積の和\(3\) 解の積は、三次方程式の係数を使って計算できるのですね。

補足

「解と係数の関係」がなぜ成り立つのかは、以下の記事で詳しく説明しています。

解と係数の関係とは?公式やその逆、証明、応用問題

 

それでは、例題で解と係数の関係を使ってみましょう。

例題「‪\(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\) を求める」

例題

\(2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 = 0\) の \(3\) つの解を \(‪\alpha\)‬, \(\beta\), \(\gamma\) とする。

このとき、‪\(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\) の値を求めなさい。

 

まずは、求める値 \(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\) を解と係数の関係の式で表せるように変形してみましょう。

解答

 

\((‪\alpha + ‬\beta + \gamma)^2 \\ = \alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2 + ‪2\alpha‬\beta + 2\beta\gamma + 2\gamma‪\alpha\)

より、

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

\(=(\alpha + \beta + \gamma)^2 − 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\) …(*)

「\(‪\alpha + ‬\beta + \gamma\)」と「\(‪\alpha‬\beta + \beta\gamma + \gamma‪\alpha\)」で表せるようですね。

それでは、解と係数の関係でそれぞれの値を求めてみましょう。あとは、それらを (*) に代入するだけです。

(解答続き)

 

解と係数の関係より、

\(‪\displaystyle \alpha‬ + \beta + \gamma = −\frac{3}{2}\)

‪\(\displaystyle \alpha‬\beta + \beta\gamma + \gamma‪\alpha‬ = \frac{4}{2} = 2\)

 

(*) に代入して

\(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

\(= (‪\alpha + ‬\beta + \gamma)^2 − 2(‪\alpha‬\beta + \beta\gamma +\gamma‪\alpha‬)\)

\(\displaystyle = \left(‪−\frac{3}{2} \right)^2 − 2 \cdot 2\)

\(\displaystyle = \frac{9}{4} − 4\)

\(\displaystyle = −\frac{7}{4}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle −\frac{7}{4}}\)

 

【参考】三次方程式の解の公式

二次方程式に解の公式があるように、実は三次方程式にも解の公式があります。

しかし、とても長くて複雑です。

複雑すぎて実用的ではないので、利用する必要も覚える必要もありません

三次方程式の解の公式

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) \((a ≠ 0)\) の \(3\) つの解を \(‪\alpha‬\), \(\beta\), \(\gamma\) とすると

\begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l} ‪\alpha = S + T − \displaystyle \frac{b}{3a}\\ \beta = − \displaystyle \frac{S + T}{2} − \frac{b}{3a} + \frac{\sqrt{3}i}{2}(S − T)\\ \gamma = − \displaystyle \frac{S + T}{2} − \frac{b}{3a} − \frac{\sqrt{3}i}{2}(S − T)\end{array}\right.}\end{align}

 

ただし、

\begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l} S = \sqrt[3]{R + \sqrt{Q^3 + R^2}}\\ T = \sqrt[3]{R − \sqrt{Q^3 + R^2}}\end{array}\right.}\end{align}

 

\begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l} Q = \displaystyle \frac{3ac − b^2}{9a^2}\\ R = \displaystyle \frac{9abc − 27a^2d − 2b^3}{54a^3}\end{array}\right.}\end{align}

この公式は別名「カルダノの公式」と呼ばれています。

文字を置き換えず、元の係数 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) で表すと余計に複雑な式になってしまいますね。

 

【参考】三次方程式の判別式

最後に、三次方程式の判別式について参考程度に説明していきます。

三次方程式の判別式

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) \((a ≠ 0)\) の \(3\) つの解を \(‪\alpha‬\), \(\beta\), \(\gamma\) とすると、判別式 \(D\) は以下のように表される。

\begin{align}\color{red}{D = a^4(‪\alpha‬ − \beta)^2(\beta − \gamma)^2(\gamma − ‪\alpha‬)^2}\end{align}

 

また、係数のみで判別式を表すと、

\begin{align}\color{red}{D = −4ac^3 − 27a^2d^2 + b^2c^2 + 18abcd − 4b^3d}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(D\) の値の範囲と解の個数の関係は、

  • \(D > 0\) のとき
    異なる \(3\) つの実数解をもつ
  • \(D = 0\) のとき
    \(3\) つの実数解のうち、少なくとも \(1\) 組の重解をもつ
  • \(D < 0\) のとき
    \(1\) つの実数解と \(2\) つの虚数解をもつ

解がわかっていれば判別式を使う必要があまりないので、使うとすれば \(2\) つ目の係数で表した式です。

しかし、この複雑な判別式を利用することはオススメしません

覚えにくいのはもちろん、学校では習わないからです。

 

三次方程式の解の個数の求め方

三次方程式の解の個数や存在範囲を求める問題では、判別式の代わりにグラフと \(x\) 軸の共有点の個数の関係に落とし込みましょう。

三次方程式の解と三次関数のグラフ

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) の実数解の個数は、三次関数 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) との共有点の個数に等しい。

したがって、「\(y = (\text{三次方程式の左辺})\)」のグラフを書いて、\(x\) 軸との交点の数を求めればよいことになります。

補足

「三次関数のグラフの書き方」については、以下の記事を参考にしてくださいね!

三次関数とは?グラフや解き方、接線・極値の求め方(微分)

 

三次方程式の計算問題

それでは、三次方程式の計算問題を解いていきましょう!

計算問題①「三次方程式を解く」

計算問題①

\(8x^3 − 12x^2 + 6x − 1 = 0\) を解きなさい。

 

まずは、因数分解の公式が使えないか確認してみましょう。

解答

 

\(8x^3 − 12x^2 + 6x − 1 = 0\)

\((2x)^3 − 3(2x)^2 \cdot 1 + 3(2x) \cdot 1^2 − 1^3 = 0\)

\((2x − 1)^3 = 0\)

 

よって、\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{2}}\)

 

計算問題②「三次方程式を解く 2 」

計算問題②

\(x^3 − 3x^2 − 6x + 8 = 0\) を解きなさい。

 

因数分解の公式が使えそうにないですね。

因数定理を使ってみましょう。

解答

 

\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 6x + 8\) とおくと、

\(\begin{align} f(1) &= 1^3 − 3 \cdot 1^2 − 6 \cdot 1 + 8 \\ &= 1 − 3 − 6 + 8 \\ &= 0 \end{align}\)

 

因数定理より、\(f(x)\) は \((x − 1)\) を因数にもつので、

 

\(\begin{align} f(x) &= (x − 1)(x^2 − 2x − 8) \\ &= (x − 1)(x + 2)(x − 4) \end{align}\)

 

したがって、

\((x − 1)(x + 2)(x − 4) = 0\)

であるから

\(x = −2, 1, 4\)

 

答え: \(\color{red}{x = −2, 1, 4}\)

 

計算問題③「3 解を含む値を求める」

計算問題③

\(3x^3 − 7x + 2 = 0\) の \(3\) つの解を \(‪\alpha\)‬, \(\beta\), \(\gamma\) とする。

このとき、‪以下の値を求めなさい。

(1) \(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

(2) \((‪\alpha‬ − 1)(\beta − 1)(\gamma − 1)\)

(3) \((‪\alpha‬ + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + ‪\alpha‬)\)

 

解と係数の関係を利用します。

そのために、与式をうまく変形してみましょう!

解答

 

解と係数の関係より、

\(\left\{\begin{array}{l} ‪\displaystyle \alpha‬ + \beta + \gamma = −\frac{0}{3} = 0 \\ \displaystyle \alpha‬\beta + \beta\gamma + \gamma‪\alpha‬ = −\frac{7}{3}\\ \displaystyle \alpha‬\beta\gamma = −\frac{2}{3}\end{array}\right.\)

 

(1)

\(\alpha‬^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

\(= (‪\alpha + ‬\beta + \gamma)^2 − 2(‪\alpha‬\beta + \beta\gamma +\gamma‪\alpha‬)\)

\(\displaystyle = 0^2 − 2 \cdot \left( −\frac{‪7}{3} \right)\)

\(\displaystyle = \frac{14}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{14}{3}}\)

 

 

(2)

(見切れる場合は横へスクロール)

与式を展開して整理すると、

\((‪\alpha‬ − 1)(\beta − 1)(\gamma − 1)\)

\(= (\alpha‬\beta − \beta − \alpha‬ + 1)(\gamma − 1)\)

\(= \alpha‬\beta\gamma − \beta\gamma − \gamma\alpha‬ + \gamma − \alpha‬\beta + \beta + \alpha‬ − 1\)

\(= ‪\alpha‬\beta\gamma − (‪\alpha‬\beta + \beta\gamma +\gamma‪\alpha‬) + (‪\alpha + ‬\beta + \gamma) − 1\)

\(\displaystyle = ‪−\frac{2}{3} − \left(−\frac{‪7}{3}\right) + ‪0 − 1\)

\(\displaystyle = \frac{2}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}}\)

 

 

(3)

\(‪\alpha‬ + \beta + \gamma = 0\) より、

\(\left\{\begin{array}{l}‪\alpha‬ + \beta = −\gamma\\\beta + \gamma = −\alpha\\\gamma +‪ \alpha‬ = −\beta\end{array}\right.\)

 

なので、与式は

\((‪\alpha‬ + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + ‪\alpha‬)\)

\(= (−\gamma)(−‪\alpha‬)(−\beta)\)

\(= −‪\alpha‬\beta\gamma\)

\(\displaystyle = \frac{2}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}}\)

以上で計算問題も終わりです!

 

三次方程式について理解が深まりましたか?

因数分解の公式を忘れていた人は、この機会に覚え直しておきましょう。

解き方のパターンを押さえれば、どんな問題でも解けるようになりますよ!

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