法線、法線ベクトルとは?方程式、2 直線のなす角の求め方

この記事では、「法線」および「法線ベクトル」についてわかりやすく解説します。

平面における法線の方程式や直線同士のなす角の求め方も説明していきますので、ぜひマスターしてくださいね!

 

法線/法線ベクトルとは?

法線とは、ある直線と垂直に交わる直線です。

法線・法線ベクトルの定義

曲線上のある点における接線に垂直な直線を「法線」といい、その方向を「法線方向」という。

また、法線に平行なベクトルを「法線ベクトル」といい、\(\color{red}{\vec{n}}\) と表す。

 

補足

ちなみに、空間(\(3\) 次元)における法線は、あるに垂直な直線です。

 

なお、法線で重要なのはその向き(= 接線に垂直であること)だけなので、向きと大きさをもつ法線ベクトル \(\vec{n}\) は無数に存在します(向きが合っていれば大きさはなんでもOK)。

そのうち、大きさが \(1\) である法線ベクトルを「単位法線ベクトル」といいます。

なお、単位法線ベクトルは必ず \(\bf{2}\) つ存在します。

補足

「接線」については以下の記事で説明しています。

接線、接線の方程式とは?公式や微分による傾きの求め方

 

法線の性質

ここでは、法線に関する \(2\) つの性質を説明します。

\(1\) つ目は、直線とその法線の傾きの関係です。

性質① 直線と法線の傾き

傾きがそれぞれ \(m\), \(m’\) の直線は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle mm’ = −1 \iff m’ = −\frac{1}{m}}\end{align}

のとき垂直に交わる。

すなわち、ある直線の傾きを \(m\)、その法線の傾きを \(m’\) とすると、上記が必ず成り立つ

直線の傾きがわかれば法線の傾きはすぐにわかるということですね。

ただし、この性質は \(x\) 軸や \(y\) 軸に平行な直線(傾き \(\infty\) な直線)では使えないことに注意しておきましょう。

 

続いて、直線と法線の対応に関する性質です。

性質② 直線と法線の対応

直線 \(l\) の法線が直線 \(l’\) であるとき、直線 \(l’\) は直線 \(l\) の法線である。

また、直線 \(l\) に平行な直線であれば、直線 \(l’\) を法線にもつ。

直線と法線は「\(1\) 対 \(1\)」の対応ではなく、「多 対 多」の対応ということですね。

互いに垂直な直線同士ですから、当たり前といえば当たり前です。

ふとこの対称性を見落とすことも多いので、しっかり理解しておきましょう!

 

法線の方程式

法線の方程式は、曲線上の「接点の座標」と「接線の傾き」から求められます。

法線の方程式

ある曲線 \(y = f(x)\) 上の点 \(\mathrm{A}(a, f(a))\) における接線の傾きは \(f’(a)\) であるから、その法線の方程式は

\begin{align}\color{red}{y − f(a) = −\frac{1}{f’(a)} (x − a)}\end{align}

曲線のある点における接線の傾き \(f'(a)\) は、微分で求められましたね。

先ほど確認したように、法線の傾きは直線の傾きとかけて \(−1\) になる値なので、「\(− \displaystyle \frac{1}{f’(a)}\)」となります。

補足

「微分係数」と「曲線の傾き」の関係を忘れている人は、以下の記事で復習しておきましょう!

導関数と微分係数の違いとは?それぞれの定義・公式・求め方

 

法線の方程式の求め方【例題】

実際に、例題を解いてみましょう。

例題

曲線 \(y = 2x^2 − 3x + 1\) 上の点 \(\mathrm{P}(3, 10)\) における法線の方程式を求めよ。

 

まずは、点 \(\mathrm{P}\) における接線の傾きを求めます。

あとは、法線の方程式の公式に当てはめるだけです。

解答

 

\(y =  f(x)\) とおくと、

\(\begin{align} f’(x) &= (2x^2 − 3x + 1)’ \\ &= 4x − 3 \end{align}\)

よって

\(f’(3) = 4 \cdot 3 − 3 = 9\)

 

求める法線の方程式は

\(\displaystyle y − 10 = −\frac{1}{9} (x − 3)\)

すなわち

\(\displaystyle y = −\frac{1}{9} x + \frac{31}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{1}{9} x + \frac{31}{3}}\)

 

法線ベクトルと直線の方程式

次に、法線ベクトルと対応する直線の方程式について説明していきます。

直線の方程式 → 法線ベクトル

法線ベクトルは、直線の方程式から簡単に求められます。

直線の方程式と法線ベクトル

直線 \(ax + by + c = 0\) \((a \neq 0, b \neq 0)\) の法線ベクトルは

\begin{align}\color{red}{t(a, b)\,\, (t \neq 0)}\end{align}

直線の方程式を整理すると \(\displaystyle y = −\frac{a}{b} x − \frac{c}{b}\) となるので、傾きは \(\displaystyle −\frac{a}{b}\) です。

法線ベクトルはそれに垂直な傾き \(\displaystyle \frac{b}{a}\) をもつベクトルなので、\(x\) 成分と \(y\) 成分の比が \(a : b\) であればいいのですね。

例題

直線 \(3x + 2y − 8 = 0\) の法線ベクトルを求めよ。

 

公式から、一瞬で法線ベクトルがわかります。

解答

 

法線ベクトルは

\(\color{red}{t(3, 2)}\)   (\(t\) は \(0\) でない定数)

 

法線ベクトル → 直線の方程式

反対に、法線ベクトルから直線の方程式を求めることもできます。

法線ベクトルと直線の方程式

ベクトル \(\vec{n} = (a, b)\) に垂直で、点\((x_1, y_1)\) を通る直線の方程式は

\begin{align}\color{red}{y − y_1 = −\frac{a}{b} (x − x_1)}\end{align}

ただし、\(a \neq 0\), \(b \neq 0\)

成分から法線の傾きは \(\displaystyle \frac{b}{a}\) とわかるので、逆数をとって \(−1\) をかければ直線の傾きは \(\displaystyle −\frac{a}{b}\) となりますね。

 

また、内積を利用した直線のベクトル方程式もあります。

内積による直線のベクトル方程式

定点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、ベクトル \(\vec{n}\) \((\neq \vec{0})\) に垂直な直線 \(g\) 上の任意の点を \(\mathrm{P}(\vec{p})\) とすると、直線 \(g\) のベクトル方程式は

\begin{align}\color{red}{\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0}\end{align}

垂直な \(2\) つのベクトルの内積が \(0\) になることを利用した式ですね。

補足

直線のベクトル方程式は、上記のほかにも複数存在します。

「ベクトル方程式」の詳しい内容については、以下の記事を確認してください。

ベクトル方程式とは?図形別の公式(直線・円)や問題の解き方

 

例題

点 \(\mathrm{A}(−2 , 2)\) を通り、\(\vec{n} = (1, 5)\) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。

 

\(\vec{n}\) の成分から、法線の傾きは \(\displaystyle \frac{5}{1} = 5\) とわかりますね。

解答

 

求める方程式は

\(\displaystyle y − 2 = −\frac{1}{5} (x + 2)\)

すなわち

\(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{1}{5} x + \frac{8}{5}}\)

 

法線ベクトルと平面の方程式(3 次元)

今度は、\(3\) 次元空間における法線ベクトルと平面の方程式について説明していきます。

平面の方程式 → 法線ベクトル

\(3\) 次元においても、法線ベクトルは平面の方程式から簡単に求められます。

平面の方程式と法線ベクトル

平面 \(ax + by + cz + d = 0\) \((a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0)\) の法線ベクトルは

\begin{align}\color{red}{t(a, b, c)\,\, (t \neq 0)}\end{align}

\(2\) 次元の場合と同じく、平面の方程式の \(x\), \(y\), \(z\) の係数の比が法線ベクトルの各成分になります。

例題

平面 \(3x + 4y − 8z + 1 = 0\) の法線ベクトルを求めよ。

 

公式から、一瞬で法線ベクトルがわかります。

解答

 

法線ベクトルは

\(\color{red}{t(3, 4, −8)}\)(\(t\) は \(0\) でない定数)

 

法線ベクトル → 平面の方程式

反対に、法線ベクトルから平面の方程式を求めることもできます。

法線ベクトルと平面の方程式

ベクトル \(\vec{n} = (a, b, c)\) に垂直で、点\((x_1, y_1, z_1)\) を通る平面の方程式は

\begin{align}\color{red}{a(x − x_1) + b(y − y_1) + c(z − z_1) = 0}\end{align}

ただし、\(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0\)

 

また、内積を利用した平面のベクトル方程式もあります。

内積による直線のベクトル方程式

点 \(\mathrm{P}(x_1, y_1, z_1)\) を通り、法線ベクトル \(\vec{n}\) \((\neq \vec{0})\) に垂直な平面のベクトル方程式は

\begin{align}\color{red}{\vec{n} \cdot (\vec{x} − \vec{x_1}) = 0}\end{align}

 

例題

点 \(\mathrm{A}(−1 , 5, 2)\) を通り、\(\vec{n} = (3, 4, −3)\) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。

 

公式を覚えてしまえば簡単ですね。

解答

 

求める方程式は

\(\displaystyle 3(x + 1) + 4(y − 5) − 3(z − 2) = 0\)

すなわち

\(\color{red}{\displaystyle 3x + 4y − 3z − 11 = 0}\)

 

2 直線のなす角と法線ベクトル

ある \(2\) 直線のなす角は、それぞれの法線ベクトルがなす角に必ず等しくなります

この性質を利用して、法線ベクトルから \(2\) 直線のなす角を求められます。

2 直線のなす角と法線ベクトル

\(2\) 直線 \(ax + by + c = 0\)、\(a’x + b’y + c’ = 0\) の法線ベクトルの \(1\) つはそれぞれ

\(\vec{n} = (a, b)\)、\(\vec{n}’ = (a’, b’)\) であるから、

 

\(2\) 直線のなす角 \(\theta\) は

\begin{align} \cos\theta &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{n}’}{|\vec{n}||\vec{n}’|} \\ &= \frac{aa’ + bb’}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a’^2 + b’^2}}\end{align}

を満たす。

(ただし、\(a \neq 0\), \(a’ \neq 0\), \(b \neq 0\), \(b’ \neq 0\))

なぜわざわざ法線ベクトルを使うかというと、\(2\) 直線そのものの方向ベクトルを求めるよりも法線ベクトルを求める方が簡単だからです。

 

補足

\(2\) つのベクトルのなす角は「内積」から簡単に求められるのでしたね。

\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) とおくと

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \end{align}

より

\begin{align} \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \end{align}

 

「内積」について忘れている人は、以下の記事で復習しておきましょう!

ベクトルの内積とは?意味・公式や求め方、計算問題

 

2 直線のなす角の求め方【例題】

実際に例題を解いてみましょう。

例題

次の \(2\) 直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ\) とする。

\(5x − y − 3 = 0\), \(3x + 2y + 4 = 0\)

 

\(2\) 直線の法線ベクトルを求めて、内積の式を立てればよいですね。

解答

 

\(2\) 直線の法線ベクトルの \(1\) つをそれぞれ

\(\vec{n}\), \(\vec{n}’\) とおくと、

\(\vec{n} = (5, −1)\), \(\vec{n}’ = (3, 2)\) より、

\(\begin{align}\displaystyle \cos\theta &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{n}’}{|\vec{n}||\vec{n}’|}\\&= \frac{5 \cdot 3 + (−1) \cdot 2}{\sqrt{25 + 1} \sqrt{9 + 4}}\\&= \frac{13}{\sqrt{26} \sqrt{13}}\\&= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}\)

 

\(0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ\) より、

\(\color{red}{\theta = 45^\circ}\)

 

法線/法線ベクトルの練習問題

それでは最後に、練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「曲線上の点における法線の方程式」

練習問題①

曲線 \(y = x^3 – 2x + 1\) 上の点 \((2, 5)\) における法線の方程式を求めよ。

 

まずは接線の傾きを求めてみましょう。

解答

 

\(f(x) = x^3 – 2x + 1\) とすると

\(f’(x) = 3x^2 − 2\)

\(f’(2) = 10\)

より、点 \((2, 5)\) における接線の傾きは \(10\)

 

よって求める法線の方程式は

\(\displaystyle y − 5 = −\frac{1}{10} (x − 2)\)

\(\displaystyle y = −\frac{1}{10} x + \frac{26}{5}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{1}{10} x + \frac{26}{5}}\)

 

練習問題②「法線ベクトルと直線の方程式」

練習問題②

(1) \(\displaystyle y = −\frac{3}{4} x + 5\) の法線ベクトル \(\vec{n}\) を求めよ。

(2) 点 \((3, 7)\) を通り、\(\vec{n}\) に垂直な直線の方程式を求めよ。

 

直線の方程式から法線ベクトルを、法線ベクトルから直線の方程式を求める問題ですね。

解答

 

(1)

\(\displaystyle y = −\frac{3}{4} x + 5\)

\(\displaystyle \frac{3}{4} x + y − 5 = 0\)

より、

\(\displaystyle \vec{n} = t \left( \frac{3}{4}, 1 \right)\) \((t \neq 0)\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle t \left( \frac{3}{4}, 1 \right) (t \neq 0)}\)

 

 

(2)

\(\vec{n}\) に垂直な直線の方程式は

\(\displaystyle \frac{3}{4} x + y + c = 0\)

と書ける。これが点 \((3, 7)\) を通るとき

\(\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{4} + 7 + c = 0\)

\(\displaystyle c = −\frac{37}{4}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{3}{4} x + y − \frac{37}{4} = 0}\)

 

練習問題③「2 直線のなす角を求める」

練習問題③

\(2\) 直線 \(x + \sqrt{3} y − 5 = 0\), \(\sqrt{3} x − 3y + 1 = 0\) のなす角 \(\theta\) を求めなさい。ただし、\(0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ\) とする。

 

\(2\) 直線のなす角は、法線ベクトルを使うと簡単に求められますね。

なお、なす角には \(\theta\) と \(180^\circ − \theta\) の \(2\) つがあることに注意です。

解答

 

\(2\) 直線の法線ベクトルの \(1\) つとして、それぞれ

\(\vec{n} = (1, \sqrt{3})\), \(\vec{n}’ = (\sqrt{3}, −3)\)

がある。

 

よって、\(2\) 直線のなす角を

\(\alpha\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) とすると

\(\begin{align}\displaystyle \cos\alpha &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{n}’}{|\vec{n}||\vec{n}’|}\\&= \frac{1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (−3)}{\sqrt{1 + 3} \sqrt{3 + 9}}\\&= −\frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2\sqrt{3}}\\&= −\frac{1}{2}\end{align}\)

 

よって \(\alpha = 120^\circ\)

 

すなわち、\(2\) 直線のなす角は \(120^\circ\) または \(60^\circ\) である。

なす角のうち、\(\theta\) は鋭角なので

\(\theta = 60^\circ\)

 

答え: \(\color{red}{60^\circ}\)

以上で法線の解説は終わりです!

 

直線と法線の関係を理解しておけば、法線の問題は怖くありません。

ぜひマスターしてくださいね!

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