導関数と微分係数の違いとは?それぞれの定義・公式・求め方

この記事では、「導関数」と「微分係数」の違いをわかりやすく解説していきます。

それぞれの定義(公式)や求め方、計算問題も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

導関数、微分係数とは?

導関数とは、ある関数のある点(瞬間)における変化率を表す関数です。

一方、微分係数とは、ある関数の特定の点(瞬間)における変化率の値です。

導関数と微分係数の違いを一言で言えば、「関数か定数か」です。

 

これだけでは、わかるようでなんだかよくわからないですよね。

それぞれの定義や公式を確認しながら、理解を深めていきましょう。

 

【準備】平均変化率と変化率

それぞれの定義に入る前に、少し知識を整理しておきます。

導関数と微分係数は「変化率」と説明しましたが、「変化率」とはなんでしょうか?

 

変化率を理解するために、まずは「平均変化率」を押さえましょう。

関数における平均変化率とは、\(x\) の変化量に対する \(y\) の変化量の割合のことです。

平均変化率

関数 \(y = f(x)\) において、\(x\) の変化量 \(b − a\) に対する \(y\) の変化量 \(f(b) − f(a)\) の割合を、\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの「平均変化率」と呼ぶ。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \text{(平均変化率)} = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}}\end{align}

グラフ上で見れば、\(2\) 点間を結ぶ直線の傾きということですね。

Tips

実は、中学で習った「変化の割合」は平均変化率そのものです!

\begin{align}\color{red}{(\text{平均変化率})} \ &\color{red}{= (\text{変化の割合})} \\&\color{red}{= (\text{2 点間の傾き})}\end{align}

ということをインプットしておきましょう。

 

「平均」という言葉がつくのは、まさしく変化率の平均値を求めているからです。

本来の変化率は、\(x\) の位置によって刻々と変化しています。

グラフ上で見れば、ある点における接線の傾きがその点(瞬間)における変化率を表しているのです。

 

この接線の傾き(変化率)を求めるにはどうしたらよいでしょうか。

そこで、「平均変化率における \(x\) の変化量を限りなく \(0\) に近づけよう!」と考えることになりました。

これを数式で表すことができれば、変化率を表せますね。

そのために、「極限値」という考え方を利用します。

極限値

関数 \(f(x)\) において、\(x\) が \(a\) と異なる値をとりながら \(a\) に限りなく近づくとき、\(f(x)\) がある一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づく場合、この \(\alpha\) を「\(f(x)\) の極限値」といい、以下のように表す。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha}\end{align}

または

 

\(\color{red}{x \to a}\) のとき \(\color{red}{f(x) \to \alpha}\)

極限(limit)に近づくことを記号「\(\bf{\lim}\)」で表せるのですね。

 

これで準備が整いました。

いよいよ、微分係数と導関数の定義に入っていきましょう。

 

微分係数の定義(公式)

関数 \(y = f(x)\) において、特定の点 \((a, f(a))\) における瞬間の変化率(すなわち接線の傾き)のことを「微分係数」といい、「\(\color{red}{f’(a)}\)」と表します。

微分係数は、平均変化率の式において \(x\) の変化量を限りなく \(0\) に近づけることで求めることができます。

微分係数の定義(公式)

関数 \(f(x)\) の \(x = a\) における微分係数は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle f’(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b) − f(a)}{b − a}}\end{align}

 

 

また、\(x\) の変化量を \(h\) とおくと、微分係数は以下のようにも表せる。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}}\end{align}

座標の表し方によって、\(2\) 通りの書き方ができるのですね。

 

微分係数は、個々の点における接線の傾きなので、点の位置によってどんどん変化するものです。

いろんな点における微分係数を求めようと思うと、各点において上記の式を作る必要があり大変です。

そこで、微分係数の式を一般化することにしました。それが「導関数」です。

 

導関数の定義(公式)

関数 \(y = f(x)\) において、ある点における瞬間の変化率(すなわち接線の傾き)を求められる関数を「導関数」といい、「\(\color{red}{f’(x)}\)」と表します。

点の \(x\) 座標さえ代入すれば微分係数を求められる、マシーンのようなものです。

導関数の定義(公式)

関数 \(f(x)\) の導関数 \(f’(x)\) の定義は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}}\end{align}

 

そして、関数 \(f(x)\) から導関数 \(f’(x)\) を求めることを「\(f(x)\) を微分する」という。

導関数の定義式をよく見ると、微分係数の定義式で \(x\) に特定の値を入れずに一般化しただけですね。

導関数を求める = 微分する」ということは、必ず押さえておきましょう。

 

【参考】n 次導関数とは?

ある関数 \(f(x)\) の導関数は「一次導関数」、さらにその導関数は「二次導関数」、さらにその導関数は「三次導関数」…と呼んでいきます。

これらを総称して、「高次導関数(\(n\) 次導関数)」といいます。

高次導関数

関数 \(y = f(x)\) に対して、\(n\) 回微分してできる関数を「\(n\) 次導関数」といい、

\begin{align}\color{red}{y^{(n)} = f^{(n)}(x)}\end{align}

と表すことができる。

補足

微分の回数を「階」で表すこともあり、その場合「\(n\) 階導関数」と呼びます。

 

なお、\(n\) が小さいときは

  • \(y^{(1)} → \color{red}{y^{\prime}}\) または \(\color{red}{f^{\prime}(x)}\)
  • \(y^{(2)} → \color{red}{y^{\prime\prime}}\) または \(\color{red}{f^{\prime\prime}(x)}\)
  • \(y^{(3)} → \color{red}{y^{\prime\prime\prime}}\) または \(\color{red}{f^{\prime\prime\prime}(x)}\)

などと簡略化してダッシュ記号で表すことが多いです。

 

導関数の求め方【例題】

導関数は、問題での聞かれ方によって次の \(2\) 通りの求め方があります。

Tips
  • 問題文に「導関数の定義にしたがって」とある場合
    導関数の定義式を使って求める
  • 問題文に特に指示がない場合
    微分公式を使って求める

問題文に指示があれば、導関数の定義式をしっかりと書く必要があります。

単に「微分せよ」「導関数を求めよ」となっている場合は、微分公式を利用して楽に導関数を求めることができます。

補足

「微分公式」については、以下の記事で説明しています。

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

 

ここでは、導関数の定義にしたがった求め方を例題で確認しましょう。

例題

導関数の定義にしたがって、次の関数の導関数を求めよ。

\(y = x^2 − 3x + 9\)

 

まず、\(y = f(x)\) とおきましょう。

\(f(x) = x^2 − 3x + 9\) とする。

そうすると、導関数 \(f’(x)\) を求めればよいですね。

補足

単純に \(y\) の導関数を \(y’\) と表すこともできます。

ですが、導関数の定義から考えるときは \(y = f(x)\) とおいた方が考えやすいです。

導関数はある点(瞬間)における変化率ですから、\(x\) をちょっと(\(h\))だけ動かしたときの \(y\) の変化の割合、その移動量 \(h\) を極限まで \(0\) に近づけるから…と考え、式を立ててみましょう。

\(\displaystyle f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)

これが、導関数の定義式でしたね。

 

それでは、実際の関数を代入していきます。

まずは、分子の \(f(x + h) − f(x)\) を求めてみましょう。

(見切れる場合は横へスクロール)

\(f(x + h) − f(x)\)

\(= (x + h)^2 − 3(x + h) + 9 − (x^2 − 3x + 9)\)

\(= x^2 + 2hx + h^2 − 3x − 3h + 9 − x^2 + 3x − 9\)

\(= 2hx + h^2 − 3h\)

\(= h(2x + h − 3)\)

分子が求められたら、導関数の式に戻りましょう。

\(\begin{align} f’(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h − 3)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h − 3) \end{align}\)

中身がこれ以上簡単にできなくなったら、極限 (\(\lim\)) を考えます。

中身の部分 \((2x + h − 3)\) において、 \(h\) を限りなく \(0\) に近づける(つまり、\(0\) で近似する)と…

\(\begin{align} f’(x) &= \lim_{h \to 0} (2x + h − 3) \\ &= 2x − 3 \end{align}\)

となり、導関数 \(\color{red}{f’(x) = 2x − 3}\) と求められましたね!

これが導関数の定義にしたがった求め方になります。

補足

「極限」の考え方がよくわからない場合は、以下の記事を確認しましょう。

極限とは?公式一覧や極限計算のポイントをわかりやすく解説!

 

微分係数の求め方【例題】

微分係数も、状況によって次の \(2\) 通りの求め方があります。

Tips
  • 問題文に「微分係数の定義にしたがって」とある場合
    微分係数の定義から求める
  • 事前に導関数がわかっている or 求めてある場合
    導関数に \(x\) の値を代入する

 

それでは、具体的な例題で微分係数を求めてみましょう。

例題

微分係数の定義にしたがって、次の関数の \(x = 1\) における微分係数を求めよ。

\(f(x) = x^2 − 3x + 9\)

 

「微分係数の定義にしたがって」とあるので、定義どおり計算していきます。

移動前の \(x\) を \(1\)、ちょっとの移動量を \(h\) として、変化の割合(平均変化率)を求める式を立てましょう。

関数 \(f(x)\) の \(x = 1\) における微分係数は

\(\displaystyle f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) − f(1)}{h}\)

定義式が立てられましたね。

 

そうしたら、分子 \(f(1 + h) − f(1)\) の部分を計算してみましょう。

\(f(1 + h) − f(1)\)

\(= (1 + h)^2 − 3(1 + h) + 9 − (1 − 3 + 9)\)

\(= 1 + 2h + h^2 − 3 − 3h + 9 − 7\)

\(= h^2 − h\)

\(= h(h − 1)\)

分子が求められたら、微分係数の式に戻りましょう。

\(\begin{align} f’(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) − f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h − 1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (h − 1) \end{align}\)

中身がこれ以上簡単にできなくなったら、極限 (\(\lim\)) を考えます。

中身の部分 \((h − 1)\) において、 \(h\) を限りなく \(0\) に近づける(つまり、\(0\) で近似する)と…

\(\begin{align} f’(x) &= \lim_{h \to 0} (h − 1) \\ &= −1 \end{align}\)

となり、\(x = 1\) における微分係数は \(\color{red}{f’(1) = −1}\) と求められましたね!

これが微分係数の定義にしたがった求め方です。

 

ちなみに、導関数を求めてから微分係数を求める場合は、次のような流れになります。

別解

 

\(f(x) = x^2 − 3x + 9\) において、

\(f’(x) = 2x − 3\) であるから

\(f’(1) = 2 − 3 = \color{red}{−1}\)

 

導関数・微分係数の計算問題

それでは最後に導関数や微分係数の計算問題に挑戦しましょう!

計算問題①「導関数の定義にしたがって微分する」

計算問題①

次の関数を、導関数の定義にしたがって微分しなさい。

\(f(x) = 4x^2 + 1\)

 

「導関数の定義にしたがって」とあるときは、微分の計算公式ではなく、導関数の定義式できちんと微分を行うのでしたね。

解答

 

\(\displaystyle f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)

 

ここで、

\(f(x + h) − f(x)\)

\(= 4(x + h)^2 + 1 − (4x^2 + 1)\)

\(= 4(x^2 + 2hx + h^2) − 4x^2\)

\(= 4x^2 + 8hx + 4h^2 − 4x^2\)

\(= 8hx + 4h^2\)

\(= 4h(x + h)\)

であるから、

 

\(\begin{align} f’(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{4h(x + h)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 4(x + h) \\ &= 4(x + 0) \\ &= 4x \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{f’(x) = 4x}\)

 

計算問題②「微分係数の定義にしたがって求める」

計算問題②

関数 \(f(x) = −2x^2 + 5x + 3\) について、微分係数の定義にしたがって、\(x = −1\) における微分係数を求めよ。

 

微分係数についても、「定義にしたがって」とあれば定義式どおりに計算します。

解答

 

関数 \(f(x)\) の \(x = −1\) における微分係数は

\(\displaystyle f’(−1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(−1 + h) − f(−1)}{h}\)

 

ここで、

\(\displaystyle f(−1 + h) − f(−1)\)

\(= {−2(−1 + h)^2 + 5(−1 + h) + 3} − (−2 − 5 + 3)\)

\(= {−2(1 − 2h + h^2) − 5 + 5h + 3} − (−4)\)

\(= −2 + 4h − 2h^2 − 5 + 5h + 3 + 4\)

\(= −2h^2 + 9h\)

(見切れる場合は横へスクロール)

であるから、

 

\(\begin{align}\displaystyle f’(−1) &= \lim_{h \to 0} \frac{−2h^2 + 9h}{h}\\&= \lim_{h \to 0} (−2h + 9)\\&= 9\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{f’(−1) = 9}\)

 

計算問題③「導関数、微分係数を求める」

計算問題③

関数 \(f(x) = x^2 − 7x + 1\) について、以下の問いに答えよ。

(1) 導関数を求めよ。

(2) \(x = 3\) における微分係数を求めよ。

 

「定義にしたがって」という言葉がなければ、微分公式で導関数を求めて構いません。

微分係数は、求めた導関数に \(x\) の値を代入するだけで簡単に求められますね。

解答

 

(1)

\(\begin{align} f’(x) &= (x^2 − 7x + 1)’ \\ &= (x^2)’ − 7(x)’ + (1)’ \\ &= 2x − 7 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{f’(x) = 2x − 7}\)

 

 

(2)

\(x = 3\) における微分係数 \(f’(3)\) は

\(\begin{align} f’(3) &= 2 \cdot 3 − 7 \\ &= 6 − 7 \\ &= −1 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−1}\)

以上で計算問題も終わりです!

 

導関数と微分係数は急に出てきて覚えにくい言葉ですが、意味と定義をしっかりと理解しておけばなんてことはありません。

計算練習を積んで、理解を深めていきましょう!

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