微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

この記事では、「微分」とは何かをわかりやすく解説していきます。

微分の公式を使った計算方法を豊富な例題で解説していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

微分とは?

微分とは、ある関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) を求める演算のことです。

 

さて、では導関数って何?と思いますよね。

導関数とは、関数 \(y = f(x)\) のある点における瞬間の変化率(すなわち接線の傾き)を求められる関数で、次のように定義されます。

導関数の定義

関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}}\end{align}

補足

「導関数」については、以下の記事で詳しく説明しています。

この記事を学習する前に理解しておくことをオススメします!

導関数と微分係数の違いとは?それぞれの定義・公式・求め方

 

微分の記号

微分することは、元の関数に「\(\bf{{}’}\)」をつけて表すことが多いです。

微分の記号①

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について微分することを次のように表す。

\(\color{red}{f'(x)}\) または \(\color{red}{y’}\)

(例)

  • \(y = x^2 + 2x + 3\) を微分
    → \((x^2 + 2x + 3)\color{salmon}{{}’}\) または \(y\color{salmon}{{}’}\)
  • \(y = 3x^3 + 1\) を微分
    → \((3x^3 + 1)\color{salmon}{{}’}\) または \(y\color{salmon}{{}’}\)

ただし、「\({}’\)」で表すと、関数を何で微分するのかがあいまいになってしまいます。

 

そこで、対象を明確にした次のような表記を使うこともあります。

微分の記号②

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について微分することを次のように表す。

\(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}\) または \(\color{red}{\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)}\)

分数のようなかたちで、「分子の関数を分母の変数で微分する」ことを表しているのですね。

これで、何についての微分なのかが簡単に表現できます。

(例)

  • \(y = g(x)\) を \(x\) について微分
    → \(\color{salmon}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}\) または \(\color{salmon}{\displaystyle \frac{d}{dx} g(x)}\)
  • \(x = 2t^2 + t − 1\) を \(t\) について微分
    → \(\color{salmon}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}\)

問題の中で微分する対象が明確な場合は「\({}’\)」による表記で大丈夫です!

 

例題「導関数の定義に従って関数を微分する」

それでは、関数を微分する問題を解いてみましょう。

例題

次の関数を微分せよ。

\(y = x^2 − 3x + 9\)

 

さて、「微分する」=「導関数を求める」ことでした。

ということは、導関数の定義式に当てはめて \(y’\) を求めればよいですね。

解答

 

\(y = f(x)\) とおくと、

\(\displaystyle y’ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)

 

\(f(x + h) − f(x)\)

\(= \{(x + h)^2 − 3(x + h) + 9\} \) \(− \ (x^2 − 3x + 9)\)

\(= (x^2 + 2hx + h^2 − 3x − 3h + 9) \) \(− \ x^2 + 3x − 9\)

\(= 2hx + h^2 − 3h\)

\(= h(2x + h − 3)\)

 

よって、

\(\begin{align}\displaystyle y’ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h − 3)}{h} \\&= \lim_{h \to 0} (2x + h − 3) \\&= 2x − 3\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y’ = 2x − 3}\)

これが、導関数の定義に従った微分のやり方です。

関数を微分するとき、毎回定義どおりの計算を行うのは大変ですよね。

 

そこで、微分の法則性をまとめた公式を使うことで、計算を省略することができます。

先ほどの例題を公式を使って解くと、一瞬で答えにたどり着けます。

別解

 

\(\begin{align} y’ &= (x^2 − 3x + 9)’ \\ &= \color{red}{2x − 3} \end{align}\)

次の章から、公式を勉強していきましょう。

 

微分の基本公式一覧(数II)

ここでは、主に数IIで習う微分公式を解説していきます。

補足

以降、\(f(x)\), \(g(x)\) を \(x\) の関数とし、\(\alpha\), \(\beta\) を定数として公式を示していきます。

 

定数倍の微分

関数に定数倍の係数がかかっている場合は、係数を微分の外に出すことができます。

定数倍の微分

\begin{align}\color{red}{(\alpha \, f(x))’ = \alpha \, f’(x)}\end{align}

例えば、以下のようにできます。

(例)

  • \((3x^2)’ = 3(x^2)’\)
  • \(\displaystyle \left\{ \frac{1}{2} (x^3 + 5x − 1) \right\}’ \) \(= \displaystyle \frac{1}{2} (x^3 + 5x − 1)’\)

 

和と差の微分

複数の関数の和や差で表された式は、個々の関数に分けて微分できます。

和と差の微分
  • \(\color{red}{(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)}\)
  • \(\color{red}{(f(x) − g(x))’ = f'(x) − g'(x)}\)
  • \(\color{red}{(\alpha \, f(x) + \beta \, g(x))’ = \alpha \, f'(x) + \beta \, g'(x)}\)
  • \(\color{red}{(\alpha \, f(x) − \beta \, g(x))’ = \alpha \, f'(x) − \beta \, g'(x)}\)

つまり、多項式を微分する場合は項ごとに微分できるということですね。

(例)

  • \((x^3 + 5)’ = (x^3)’ + (5)’\)
  • \((2x^3 + 5x − 3)’ \) \(= 2(x^3)’ + 5(x)’ − (3)’\)

 

べき乗の微分

べき乗 \(x^n\) の関数は、次のように微分できます。

べき乗の微分公式

\(n\) が自然数のとき、

\(\color{red}{(x^n)’ = nx^{n − 1}}\)

 

※ なお、\(p\) が有理数であっても、

\(\color{red}{(x^p)’ = px^{p − 1}}\)

が成り立つ。

べき乗の項を微分するときは、指数を係数として前に下ろし、指数は \(1\) を引けばよいのですね。

補足

※ で示したように、指数が分数や負の数であってもこの公式は成り立ちます。

 

定数の微分

一方、定数項を微分すると必ず \(0\) となります。

定数の微分公式

\(k\) が実数のとき、

\(\color{red}{(k)’ = 0}\)

 

計算問題「基本公式を使って微分する」

それでは、ここまでに示した公式の使い方を確認しましょう。

計算問題

次の関数を微分せよ。

(1) \(y = 4x^3 − 5x^2 − 3x − 6\)

(2) \(y = x^{−3} + x^{\frac{1}{2}} + 1\)

 

まずは、個々の項に分けて考えます。

べき乗の微分は、慣れるまでていねいに計算しましょう。

解答

 

(1)

\(\begin{align}y’ &= (4x^3 − 5x^2 − 3x − 6)’\\&= 4(x^3)’ − 5(x^2)’ − 3(x)’ − (6)’\\&= 4 \cdot 3x^2 − 5 \cdot 2x^1 − 3 \cdot 1x^0 − 0\\&= 12x^2 − 10x − 3\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{12x^2 − 10x − 3}\)

 

 

(2)

\(\begin{align}y’ &= (x^{−3} + x^{\frac{1}{2}} + 1)’\\&= (x^{−3})’ + (x^{\frac{1}{2}})’ + (1)’\\&\displaystyle = −3x^{−4} + \frac{1}{2} x^{−\frac{1}{2}} + 0\\&\displaystyle= −3x^{−4} + \frac{1}{2} x^{−\frac{1}{2}}\\&\displaystyle = −\frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−\displaystyle \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}}\)

以上が、微分の基本公式でした。

数IIまで勉強する方は、ここまで理解できていれば大丈夫です!

 

微分の応用公式一覧(数III)

続いて、数IIIで習う微分の応用公式を紹介していきます。

これらの公式を使うと、より複雑な関数の微分が可能になります。

三角関数の微分

まずは三角関数の微分公式です。

三角関数の微分
  • \(\color{red}{(\sin x)’ = \cos x}\)
  • \(\color{red}{(\cos x)’ = −\sin x}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}}\)

\(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) の微分の \(3\) 点セットは必ず暗記しておきましょう!

例題「三角関数を微分する」

例題

次の関数を微分せよ。

\(y = \sin x + \cos x − \tan x\)

 

\(\cos x\) の微分だけ符号が変わることに注意します。

解答

 

\(\begin{align}y’ &= (\sin x)’ + (\cos x)’ − (\tan x)’\\&\displaystyle = \cos x − \sin x − \frac{1}{\cos^2 x}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\cos x − \sin x − \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}}\)

 

指数関数の微分

続いて、指数関数の微分公式です。

指数関数の微分

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

  • \(\color{red}{(e^x)’ = e^x}\)
  • \(\color{red}{(a^x)’ = a^x \log a}\)

\(e^x\) は微分しても式が変わらないことを覚えておきましょう。

 

対数関数の微分

対数関数の微分公式は次の通りです。

対数関数の微分

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

  • \(\color{red}{\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle (\log |x|)’ = \frac{1}{x}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle(\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}}\)

特に \((\displaystyle \log x)’ = \frac{1}{x}\) はよく使うので必ず覚えておきましょう!

補足

底が \(e\) の自然対数「\(\log_e x\)」は、 \(e\) を省略して「\(\log x\)」と書くことが多いです。

例題「指数関数・対数関数を微分する」

例題

次の関数を微分せよ。

\(y = 3 \log |x| + 3^x\)

 

解答

 

\(\begin{align} y &= 3(\log|x|)’ + (3^x)’ \\ &= \frac{3}{x} + 3^x \log 3 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{3}{x} + 3^x \log 3}\)

指数関数や対数関数の微分は数IIIではかなりの頻度で登場するので、しっかり押さえておきましょう。

 

積の微分

\(2\) つの関数のかけ算で表された関数は、交互に微分して足し合わせてあげます。

積の微分

\begin{align}\color{red}{(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)}\end{align}

例題「べき乗関数と対数関数の積を微分する」

例題

\(y = x^3 \log x\) を微分せよ。

 

\(x^3\) という関数と \(\log x\) という関数がかけ算された積の微分ですね。

解答

 

\(\begin{align}y’ &= (x^3)’ \log x + x^3 (\log x)’\\&\displaystyle = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x}\\&= 3x^2 \log x + x^2\\&= x^2(3 \log x + 1)\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{x^2(3 \log x + 1)}\)

 

商の微分

関数同士の割り算で表された関数は、分母を \(2\) 乗し、分子に「\(\displaystyle (\text{分子の微分})(\text{分母}) − (\text{分子})(\text{分母の微分})\)」をもってきます。

商の微分

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}}\end{align}

 

特に \(f(x) = 1\) のとき

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2}}\end{align}

少し覚えづらいですが、問題をたくさん解く中で頭に叩き込みましょう!

例題「分数関数を微分する」

例題

\(\displaystyle y = \frac{x^2 + x − 1}{x^2 + 1}\) を微分せよ。

 

関数が関数で割られているので、商の微分が使えますね。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle y’\)

\(\displaystyle = \frac{(x^2 + x − 1)’(x^2 + 1) − (x^2 + x − 1)(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{(2x + 1)(x^2 + 1) − (x^2 + x − 1)2x}{(x^2 + 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{(2x^3 + 2x + x^2 + 1) − (2x^3 + 2x^2 − 2x)}{(x^2 + 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{−x^2 + 4x + 1}{(x^2 + 1)^2}\)

\(\displaystyle = −\frac{x^2 − 4x − 1}{(x^2 + 1)^2}\)

 

答え: \(\displaystyle \color{red}{−\frac{x^2 − 4x − 1}{(x^2 + 1)^2}}\)

 

合成関数の微分

続いて、\(2\) つの関数が合成された関数の微分方法です。

合成関数の微分

\(y\) が \(u\) の関数で、\(u\) が \(x\) の関数であるとき、\(y\) を \(x\) について微分すると

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}\end{align}

 

\(y = f(u)\), \(u = g(x)\) とおくと

\begin{align}\color{red}{\{f(g(x))\}’ = f’(g(x)) g’(x)}\end{align}

\(u = g(x)\) をとみて、「\((\text{全体を箱について微分}) \times (\text{箱の中身を微分})\)」をすると覚えておきましょう。

例題①「因数分解された関数を微分する」

例題①

\(y = (x^2 − 2)^3\) を微分せよ。

 

このまま解こうと思うと、右辺を展開する必要があります。

ここで、括弧の中身 \(x^2 − 2\) を \(1\) つの箱 \(□\) と見ると、

  • \(y = □^3\)
  • \(□ = x^2 − 2\)

という \(2\) つの関数が合成されていると見ることができます。

これを \(x\) について微分すると、

\(y’ = (□^3)’ □’\)

と計算できます。

実際にやってみましょう。

解答

 

\(y = (x^2 − 2)^3\) を微分すると、

 

\(\begin{align} y’ &= 3(x^2 − 2)^2 \cdot (x^2 − 2)’ \\&= 3(x^2 − 2)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2 − 2)^2 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{6x(x^2 − 2)^2}\)

Tips

全体を \(□\) について微分するときは、\(□\) を単なる変数と見ることがポイントです。

 

例題②「3 つの関数が合成された関数を微分する」

もう \(1\) 問、合成関数の問題を見てみましょう。

例題②

\(y = \log(\sin^2 x)\)

 

今度は、対数関数 \(\log □\) と三角関数 \(□ = \sin^2 x\) が合成されていますね。

また、\(\sin^2 x\) も \(□ = △^2\) と \(△ = \sin x\) が合成されているので、二重に合成されていることに注意しましょう。

\(y’ = (\log □)’□’ = (\log □)’ 2△ △’\)

それでは解答です。

解答

 

\(y = \log(\sin^2 x)\)

 

\(\begin{align} y’ &= \frac{1}{\sin^2 x} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ &= \frac{2 \cos x}{\sin x}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{2 \cos x}{\sin x}}\)

いかがでしたか?

合成関数の微分は間違えやすいので、たくさん練習を積んでコツをつかんでいきましょう。

 

対数微分法

対数微分法とは、両辺の対数をとってから微分する方法で、累乗の積や商で表された関数を微分するときに便利です。

対数微分法

\(y = f(x)\) を対数微分法で微分する手順は次のとおりである。

  1. \(y = f(x)\) の両辺の絶対値の自然対数をとる(ただし、\(y = f(x) \neq 0\) )
    \(\log |y| = \log |f(x)|\)
  1. 両辺を \(x\) で微分する
    合成関数の微分の考え方から
    \(\displaystyle \left( \frac{d}{dy} \log |y| \right) \frac{dy}{dx} \) \(= \displaystyle \left( \frac{d}{df(x)} \log |f(x)| \right) \frac{d}{dx} f(x)\)
    よって、\(\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)} f’(x)\)
  1. 左辺が \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) (求めたい導関数)だけになるように式変形する
    両辺に \(y\) をかけて
    \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{f(x)} f’(x)\)
    \(y = f(x)\) より \(\displaystyle \frac{y}{f(x)} = 1\) であるから、
    \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f’(x)\)
補足

最初に両辺の絶対値の自然対数をとるのは、真数条件(真数 \(> 0\))を満たすためです。

あらかじめ両辺が正の数とわかっている場合は、絶対値は必要ありません。

また、とるのは必ず底が \(e\) の「自然対数」です。

真数条件・底の条件とは?なぜ必要かをわかりやすく解説!

対数微分法が力を発揮する問題例をいくつか示します。

例題①「指数が三角関数のべき乗関数を微分する」

例題①

\(x > 0\) のとき、 \(y = x^{\sin x}\) を微分せよ。

 

指数部分が \(x\) の三角関数になっているため、通常のべき乗の微分では解くことができません。

このようなときに、対数微分法を活用します。

解答

 

\(x > 0\) より、\(y = x^{\sin x} > 0\)

両辺の自然対数をとって、

\(\log y = \log x^{\sin x}\)

\(\log y = \sin x \log x\)

 

両辺を \(x\) で微分して

\(\displaystyle \frac{y’}{y} = (\sin x)’ \log x + \sin x (\log x)’\)

\(\displaystyle \frac{y’}{y} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}\)

 

\(y \neq 0\) より、両辺に \(y\) をかけて、

\(\begin{align} y’ &= \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) y \\ &= \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y’ = \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x}}\)

 

もう \(1\) 問見てみましょう。

例題②「複雑な積や累乗からなる関数を微分する」

例題②

\(y = \sqrt[3]{x^2 (x + 1)}\) を微分せよ。

 

複雑な積や累乗で表された式ですね。

指数に直して微分することもできますが、対数微分法で解いた方が圧倒的に楽です。

解答

 

両辺の絶対値の自然対数をとって、

\(\log |y| = \log |x^2(x + 1)|^{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle \log |y| = \frac{1}{3} (2 \log |x| + \log |x + 1|)\)

 

両辺を \(x\) で微分して、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{y’}{y} &= \frac{1}{3} \left\{ \frac{2x’}{x} + \frac{(x + 1)’}{x + 1} \right\}\\&\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x + 1} \right)\\&\displaystyle = \frac{2(x + 1) + x}{3x(x + 1)}\\&\displaystyle = \frac{3x + 2}{3x(x + 1)}\end{align}\)

 

両辺に \(y\) をかけて

\(\begin{align}y’ &= \frac{3x + 2}{3x(x + 1)} \cdot y \\&= \frac{3x + 2}{3x(x + 1)} \cdot \sqrt[3]{x^2(x + 1)} \\&= \frac{3x + 2}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{x^2(x + 1)}{x^3(x + 1)^3}} \\&= \frac{3x + 2}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x(x + 1)^2}}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y’ = \frac{3x + 2}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x(x + 1)^2}}}\)

補足

対数の積・商・累乗の計算がよくわからない場合は、以下の記事で復習しておきましょう!

対数関数とは?グラフや計算公式、微分積分や方程式・不等式

 

【参考】微分公式の証明

ここまでに紹介した微分の公式は、それぞれ導関数の定義に基づいて証明することができます。

個々の証明は以下の記事に示しているので、気になる方はぜひ参考にしてみてくださいね!

微分公式の証明一覧!

 

以上で、微分の説明は終わりです!

微分は入試でも頻出の単元なので、苦手なままだとかなり痛いです。

とにかくたくさん問題を解いて、公式や解き方をマスターしていきましょう!

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