合成関数とは?微分・積分の公式や証明、問題の解き方

この記事では、「合成関数」についてわかりやすく解説していきます。

微分・積分の計算や公式の証明、三角関数を含む合成関数なども説明しますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

合成関数とは?【公式】

合成関数とは、ある関数に別の関数を組み込んだ(合成した)関数のことです。

合成関数の定義

\(2\) つの関数 \(y = f(x)\), \(z = g(y)\) があり、\(f(x)\) の値域が \(g(y)\) の定義域に含まれているとき、\(g(y)\) に \(y = f(x)\) を代入して得られる関数 \(\color{red}{z = g(f(x))}\) を「\(f(x)\) と \(g(y)\) の合成関数」といい、\(\color{red}{(g \circ f)(x)}\) と表す。

すなわち

\begin{align} \color{red}{(g \circ f)(x) = g(f(x)) }\end{align}

関数の合成は、変数を入れる箱に別の関数を代入するイメージですね。

このとき、変数の文字に神経質になる必要はありません。

とにかく、ある関数の変数の部分に別の関数を組み込むんだ、と理解しておきましょう。

 

関数を合成する【例題】

合成関数の例を見てみましょう。

例題①

\(f(x) = x + 2\), \(g(x) = x^2 + 2x − 1\) のとき、\((g \circ f)(x)\) を求めよ。

 

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\) なので、\(g(\color{salmon}{x})\) の変数 \(\color{salmon}{x}\) の部分に \(f(x)\) を代入します。

解答

 

\(\begin{align} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= (f(x))^2 + 2(f(x)) − 1 \\ &= (x + 2)^2 + 2(x + 2) − 1 \\ &= x^2 + 4x + 4 + 4x + 4 − 1 \\ &= x^2 + 8x + 7\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{(g \circ f)(x) = x^2 + 8x + 7}\)

 

もう \(1\) 問見てみましょう。

例題②

\(f(x) = 3^x\), \(g(x) = \log_9 x\) のとき、\((f \circ g)(x)\) を求めよ。

 

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\) なので、\(f(\color{salmon}{x})\) の変数 \(\color{salmon}{x}\) の部分に \(g(x)\) を代入します。

解答

 

\(\begin{align} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= 3^{g(x)} \\ &= 3^{\log_9 x} \\ &= 3^{\frac{\log_3 x}{\log_3 9}} \\ &= 3^{\frac{1}{2} \log_3 x} \\ &= 3^{\log_3 \sqrt{x}} \\ &= \sqrt{x} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{(f \circ g)(x) = \sqrt{x}}\)

コツをつかめば難しくないですね!

関数の合成を知っていると、複雑な関数を簡単な関数同士を合成したものと見ることができ、便利な場面が出てきます。

次の章から、合成関数の性質や微分積分を学んでいきましょう。

 

合成関数の性質

合成関数には、重要な性質が存在します。

合成関数の性質

関数の合成について、次のことが言える。

  1. 交換法則は一般には成り立たない。
    \begin{align}\color{red}{ (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) }\end{align}
  1. 結合法則は成り立つ。
    \begin{align}\color{red}{ (h \circ (g \circ f))(x) = ((h \circ g) \circ f)(x) }\end{align}
  1. 関数 \(f\) が逆関数 \(f^{−1}\) をもつとき、それらを合成した関数は恒等関数(※)となる。
    \begin{align}\color{red}{ (f^{−1} \circ f)(x) = (f \circ f^{−1})(x) = x }\end{align}
    ※ 変数 \(x\) に \(x\) 自身を対応させる関数。
  1. 合成関数の逆関数は、それぞれの逆関数を逆向きに合成した関数に等しい。
    関数 \(f, g\) がそれぞれ逆関数 \(f^{−1}\), \(g^{−1}\) をもつとき、次が成り立つ。
    \begin{align}\color{red}{ (g \circ f)^{−1}(x) = (f^{−1} \circ g^{−1})(x) }\end{align}
補足

「逆関数」を忘れている方は、以下の記事で復習しておきましょう!

逆関数とは?逆関数の求め方や微分・積分の公式、計算問題

 

それぞれ詳しく見ていきましょう。

【性質1】交換法則の不成立

一般に、合成の順序を入れ替えると異なる関数になってしまいます。

(例)

\(f(x) = x + 2\), \(g(x) = 2x − 1\)

 

\(\begin{align}(g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\&= 2(x + 2) − 1 \\&= 2x + 3\end{align}\)

\(\begin{align}(f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\&= (2x − 1) + 2 \\&= 2x + 1\end{align}\)

 

よって \((g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)\)

そのため、合成関数を求めるときは合成する関数とされる関数の関係性に常に注意を払いましょう。

 

【性質2】結合法則の成立

\(3\) つ以上の関数を合成することもでき、合成する方とされる方の関係性さえ守れていれば、どの部分から合成しても構いません。

(例)

\(f(x) = x + 2\), \(g(x) = 2x − 1\), \(h(x) = −x^2\)

 

\((g \circ f)(x) = 2x + 3\) より、

\((h \circ (g \circ f))(x) = −(2x + 3)^2\)

 

また、\((h \circ g)(x) = −(2x − 1)^2\) より、

\(\begin{align}((h \circ g) \circ f)(x) &= −\{2(x + 2) − 1\}^2 \\&= −(2x + 3)^2\end{align}\)

 

よって

\((h \circ (g \circ f))(x) = ((h \circ g) \circ f)(x)\)

補足

結合法則が成り立つことから、内側の括弧を省略して \(\color{red}{(h \circ g \circ f)(x)}\) と表すこともできます。

 

【性質3】関数と逆関数の合成関数

ある関数 \(f\) とその逆関数 \(f^{−1}\) を合成すると、恒等関数(ある変数を入れると、それ自身を返す関数)になります。

この性質が成り立つ理由は以下の通りです。

\(y = f(x) \iff x = f^{−1}(y)\) より

\((f^{−1} \circ f)(x) = f^{−1}(f(x)) = f^{−1}(y) = x\)

 

同様に、

\((f \circ f^{−1})(y) = f(f^{−1}(y)) = f(x) = y\)

\(y\) を \(x\) に置き換えると \((f \circ f^{−1})(x) = x\)

 

よって

\((f^{−1} \circ f)(x) = (f \circ f^{−1})(x) = x\)

 

【性質4】合成関数の逆関数

合成関数の逆関数は、個々の逆関数を逆向きに合成した関数に等しくなります。

合成の順序が逆になることに注意しましょう。

(例)

\(f(x) = x − 3\), \(g(x) = \sqrt{x}\)

 

\((g \circ f)(x) = \sqrt{x − 3}\) より

\((g \circ f)^{−1}(x) = x^2 + 3\)

 

また、

\(f^{−1}(x) = x + 3\)

\(g^{−1}(x) = x^2\)

より

\((f^{−1} \circ g^{−1})(x) = (x^2) + 3 = x^2 + 3\)

 

よって、

\((g \circ f)^{−1}(x) = (f^{−1} \circ g^{−1})(x)\)

 

合成関数の微分【公式】

合成関数を微分する際は、以下の公式を用います。

合成関数の微分

\(y\) が \(u\) の関数で、\(u\) が \(x\) の関数であるとき、\(y\) を \(x\) について微分すると

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}\end{align}

 

\(y = f(u)\), \(u = g(x)\) とおくと

\begin{align}\color{red}{\{f(g(x))\}’ = f’(g(x)) g’(x)}\end{align}

\(u = g(x)\) を箱とみて、\(\bf{(\text{全体を箱について微分}) \times (\text{箱の中身を微分})}\) をすると覚えておきましょう。

合成関数の微分公式を覚えるのはそれほど難しくありませんが、どのような関数が合成関数なのかを判断する力が必要です。

 

合成関数の微分の証明

合成関数の微分公式の証明については以下の記事で説明しています。

微分公式の証明一覧!

 

合成関数を微分する【例題】

いくつかの例題を通して、合成関数を見抜く練習をしましょう。

例題①

関数 \(y = (x − 3)^3\) を微分せよ。

 

式を展開すればそのまま通常の微分ができますが、三次式の展開は少し面倒です。

一方で、べき乗の中身を \(1\) つの箱と見ると、

  • \(y = □^3\)
  • \(□ = x − 3\)

という \(2\) つの関数が合成されていると考えられます

解答

 

\(y = (x − 3)^3\) より、

\(\begin{align} y’ &= 3(x − 3)^2 \cdot (x − 3)’ \\ &= 3(x − 3)^2 \cdot 1 \\ &= 3(x − 3)^2 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y’ = 3(x − 3)^2}\)

 

別の問題も見てみます。

例題②

関数 \(y = \sqrt{x^2 + 2}\) を微分せよ。

 

次は、根号(\(\sqrt{ }\))の関数に多項式の関数 \(x^2 + 2\) が合成されていますね。

解答

 

\(y = \sqrt{x^2 + 2} = (x^2 + 2)^{\frac{1}{2}}\) より、

\(\begin{align} y’ &= \frac{1}{2} (x^2 + 2)^{−\frac{1}{2}} \cdot (x^2 + 2)’ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot 2x \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y’ = \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}}\)

 

もう \(1\) 問見てみましょう。

例題③

関数 \(y = \cos(2x^2 − 1)\) を微分せよ。

 

次は、三角関数 \(\cos\) に多項式の関数 \(2x^2 − 1\) が合成されています。

解答

 

\(\begin{align} y’ &= −\sin(2x^2 − 1) \cdot (2x^2 − 1)’ \\ &= −4x \sin(2x^2 − 1)\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y’ = −4x \sin(2x^2 − 1)}\)

合成関数の微分には慣れてきましたか?

とてもよく登場するので、必ず理解しておきましょう!

 

合成関数の積分【公式】

合成関数を積分する際は、以下の公式を用います。

合成関数の積分

関数 \(f\) の原始関数の \(1\) つを \(F\) とすると、

\begin{align}\color{red}{ \int f(g(x)) g’(x) \ dx = F(g(x)) + C }\end{align}

(\(C\) は積分定数)

 

 

特に、関数 \(f\) がべき乗関数の場合 (\(f(u) = u^{\alpha}\))、

  • \(\alpha \neq −1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \int \{g(x)\}^{\alpha} g’(x) \ dx = \frac{\{g(x)\}^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C }\end{align}
  • \(\alpha = −1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{ \int \{g(x)\}^{−1} g’(x) \ dx} & \color{red}{= \int \frac{g’(x)}{g(x)} \ dx} \\&\color{red}{= \log|g(x)| + C }\end{align}

 

また、合成されている中身が一次式程度の簡単な関数であれば、中身の微分を無理やり作り出して積分することができます。

f(ax + b) の積分

関数 \(f\) の原始関数の \(1\) つを \(F\) とすると、\(a \neq 0\) のとき

\(\displaystyle \int f(ax + b) \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{(ax + b)’} \int f(ax + b) \cdot (ax + b)’ \ dx\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{a} F(ax + b) + C}\)

 

合成関数の積分のしくみ

合成関数の積分は、合成関数の微分を逆向きにやればよいということになります。

つまり、積分したい関数を合成関数と見たときに、合成された中身の微分がいれば、全体を積分できます。

補足

なぜこのように積分できるかは、「置換積分法」の考え方で説明できます。

詳しくは以下の記事で説明しているので参考にしてみてください!

置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど)

 

合成関数を積分する【例題】

合成関数の積分では、中身の微分を見つけるのがカギです。

例題を通して練習しましょう。

例題①

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \frac{6x + 1}{3x^2 + x − 5} \ dx\)

 

多項式が含まれる関数では、次数が \(\bf{1}\) ずつ下がったかたまりがいないか確認します。

この問題では、関数 \((3x^2 + x − 5)\) の微分 \((3x^2 + x − 5)’ = 6x + 1\) が分子にありますね。

解答

 

\(\displaystyle \int \frac{6x + 1}{3x^2 + x − 5} \ dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{(3x^2 + x − 5)’}{3x^2 + x − 5} \ dx\)

\(= \log|3x^2 + x − 5| + C\)

 

答え: \(\color{red}{\log|3x^2 + x − 5| + C}\)(\(C\) は不定積分)

補足

\(\displaystyle \frac{\text{(多項式)}}{\text{(多項式)}}\) の形をしている関数は「分数関数」と呼ばれます。

「分数関数の微分・積分」がしっくりこないなぁと感じる人は、以下の記事も参考にしてみてくださいね!

分数関数とは?グラフや微分・積分、不等式の解き方

 

例題②

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \ dx\)

 

\((\sin x)’ = \cos x\) なので、\(f(u) = u^3\) に \(g(x) = \sin x\) を合成した関数の積分と見ることができますね。

解答

 

\(\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \ dx\)

\(\displaystyle = \int (\sin x)^3 \cdot (\sin x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} \sin^4 x + C\)

 

答え: \(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{4} \sin^4 x + C}\)(\(C\) は不定積分)

 

もう \(1\) 問解いてみましょう。

例題③

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \sqrt{2x − 3} \ dx\)

 

\(f(u) = \sqrt{u}\) に \(g(x) = 2x − 3\) が合成されていますが、式中に \(g’(x)\) がありません。

\(g(x)\) が一次式の場合は、無理やり微分形 \(g’(x)\) を作り出しましょう

解答

 

\(\displaystyle \int \sqrt{2x − 3} \ dx\)

\(\displaystyle = \color{salmon}{\frac{1}{2}} \int \sqrt{2x − 3} \cdot \color{salmon}{2}\, dx\)

\(\displaystyle = \color{salmon}{\frac{1}{2}} \int (2x − 3)^{\frac{1}{2}} \cdot \color{salmon}{(2x − 3)’} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x − 3)^{\frac{3}{2}} + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{3} (2x − 3)\sqrt{2x − 3} + C\)

 

答え: \(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{3} (2x − 3)\sqrt{2x − 3} + C}\)(\(C\) は不定積分)

補足

根号(\(\sqrt{ }\))の中に文字を含む式は無理式と呼ばれ、関数の場合は「無理関数」と呼ばれます。

「無理関数の微分・積分」が苦手…と感じる人は、以下の記事も参考にしてみてくださいね!

無理関数とは?グラフや微分・積分、不等式の解き方

 

合成関数の練習問題

最後に、合成関数の練習問題を解いてみましょう!

練習問題①「関数の合成」

練習問題①

次の関数 \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\) について、以下の問いに答えよ。

\(f(x) = x − 1\), \(g(x) = \log_2 x\), \(h(x) = \sin x\)

 

(1) 合成関数 \((g \circ f)(x)\)、およびその定義域と値域を求めよ。

(2) 合成関数 \(((h \circ g) \circ f)(x)\) を求めよ。

(3) 合成関数 \((f^{−1} \circ g^{−1})(x)\) を求めよ。

 

合成関数の性質に注目すると、(1) の結果を (2)(3) にうまく生かすことができます。

解答

 

(1)

\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = \log_2 (x − 1)\)

真数は常に正であるから

\(x − 1 > 0\) すなわち \(1 < x\)

また、対数 \(\log_2 (x − 1)\) の値域は実数全体である。

 

答え: 

\(\color{red}{(g \circ f)(x) = \log_2 (x − 1)}\)

定義域は \(\color{red}{1 < x}\)、値域は実数全体

 

 

(2)

(1) より、

\(\begin{align}((h \circ g) \circ f)(x) &= (h \circ (g \circ f))(x) \\&= \sin(\log_2 (x − 1))\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{((h \circ g) \circ f)(x) = \sin(\log_2 (x − 1))}\)

 

 

(3)

\((f^{−1} \circ g^{−1})(x) = (g \circ f)^{−1}(x)\)

 

(1) より

\((g \circ f)(x) = \log_2 (x − 1)\) であるから

\(y = \log_2 (x − 1)\) とおくと

\(2^y = x − 1\)

\(x = 2^y + 1\)

よって \((g \circ f)^{−1}(x) = 2^x + 1\)

 

したがって、

\((f^{−1} \circ g^{−1})(x) = (g \circ f)^{−1}(x) = 2^x + 1\)

 

答え: \(\color{red}{(f^{−1} \circ g^{−1})(x) = 2^x + 1}\)

 

練習問題②「3 種類の合成関数の微分」

練習問題②

関数 \(y = \log(\sin(e^x + 2))\) を微分せよ。

 

対数関数 \(\log\)、三角関数 \(\sin\)、指数関数 \(e^x\) の \(3\) つの関数が合成されています。

この場合も考え方は同じで、全体の微分、\(1\) つ中身の微分、さらに \(1\) つ中身の微分を順番にかけ合わせましょう。

解答

 

\(\begin{align} y’ &= \frac{1}{\sin(e^x + 2)} \cdot \cos(e^x + 2) \cdot e^x \\ &= \frac{e^x \cos(e^x + 2)}{\sin(e^x + 2)} \\ &= \frac{e^x}{\tan(e^x + 2)} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y’ = \frac{e^x}{\tan(e^x + 2)}}\)

 

練習問題③「合成関数の積分」

練習問題③

次の不定積分を求めよ。

(1) \(\displaystyle \int \cos \left( \frac{2}{3} x − 1 \right) \ dx\)

(2) \(\displaystyle \int xe^{−\frac{x^2}{2}} \ dx\)

 

どちらも置換積分法なしで解ける合成関数の積分です。

(2) では、中身の微分が隠れていないか探してみましょう。

解答

 

(1)

\(\displaystyle \int \cos \left( \frac{2}{3} x − 1 \right) \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{2}{3} x − 1 \right) + C\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \frac{3}{2} \sin \left( \frac{2}{3} x − 1 \right) + C}\)\(\color{red}{C}\) は積分定数)

 

 

(2)

\(\displaystyle \left( −\frac{x^2}{2} \right)’ = −x\) より、

\(\displaystyle \int xe^{−\frac{x^2}{2}} dx\)

\(\displaystyle = −\int (−x) e^{−\frac{x^2}{2}} dx\)

\(\displaystyle = −\int \left( −\frac{x^2}{2} \right)’ \cdot e^{−\frac{x^2}{2}} dx\)

\(\displaystyle= −e^{−\frac{x^2}{2}} + C\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle −e^{−\frac{x^2}{2}} + C}\)\(\color{red}{C}\) は積分定数)

以上で問題も終わりです!

 

合成関数の意味や性質は理解できましたか?

特に、微分・積分の問題では合成関数を見逃さないようにしましょう!

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