正四面体とは?高さ・体積・表面積の公式や求め方

この記事では、「正四面体」の公式(高さ・体積・表面積)や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、内接球・外接球の半径や角度の公式も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

正四面体とは?

正四面体とは、\(\bf{4}\) 枚の合同な正三角形を面にもつ四面体です。

まずは正四面体のかたちとルールを確認してみましょう。

正四面体は \(4\) つの面をもち、\(6\) つの辺と \(4\) つの頂点から構成されます。

\(4\) つの合同な正三角形でできているため、辺の長さはすべて等しくなります。

補足

三角形 \(4\) 枚でできた錐状の立体は「三角錐」といいます。

正四面体も三角錐の一種です。

三角錐とは?体積・表面積の公式や求め方

 

正四面体の高さ・体積の公式

正四面体の高さおよび体積を求める公式は次のとおりです。

正四面体の高さ・体積の公式

\(1\) 辺の長さが \(a\) の正四面体について、

 

高さ \(\color{red}{h = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a}\)

 

体積  \(\displaystyle \color{red}{V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3}\)

 

\(1\) 辺の長ささえわかれば、高さも体積もすぐにわかりますね。

公式をそのまま覚えてもよいですが、公式を導出する方法も知っておくとよいでしょう。

 

高さ・体積の証明【求め方】

実際に正四面体の高さ・体積の公式を導出してみましょう。

正四面体の高さ・体積の証明

\(1\) 辺の長さが \(a\) の正四面体の高さおよび体積を求めよ。

 

まずは、頂点 \(\mathrm{O}\) から正三角形 \(\mathrm{ABC}\) に下ろした垂線の足の位置を考えてみましょう。

高さを求める際は平面を取り出してみるとわかりやすいです。

また、正四面体の体積は三角錐と同様、\(\displaystyle \frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ)\) で求められます。

証明

 

正三角形 \(\mathrm{ABC}\) を底面とし、頂点 \(\mathrm{O}\) から下ろした垂線との交点を \(\mathrm{H}\) とする。

 

正三角形 \(\mathrm{ABC}\) を真上から見ると、\(\mathrm{H}\) と \(\mathrm{O}\) は \(1\) 点に重なる。

 

正三角形の対称性により、\(\mathrm{AH}\) と \(\mathrm{BC}\) の交点 \(\mathrm{M}\) は \(\mathrm{BC}\) の中点となる。

つまり、\(\mathrm{BM} = \mathrm{CM}\)

 

同様に、\(\mathrm{BH}\) の延長線は \(\mathrm{AC}\) の中点、\(\mathrm{CH}\) の延長線は \(\mathrm{AB}\) の中点と交わるから、点 \(\mathrm{H}\) は正三角形 \(\mathrm{ABC}\) の重心である

 

\(\triangle \mathrm{ABM}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{AM}^2 &= \mathrm{AB}^2 − \mathrm{BM}^2 \\ &= a^2 − \left( \frac{a}{2} \right)^2 \\ &= a^2 − \frac{a^2}{4} \\ &= \frac{3}{4}a^2 \end{align}\)

 

\(\mathrm{AM} > 0\) なので、\(\displaystyle \mathrm{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)

 

重心は中線の長さを \(2 : 1\) に内分するので、

\(\mathrm{AH} : \mathrm{HM} = 2 : 1\)

よって

\(\begin{align} \mathrm{AH} &= \frac{2}{3} \mathrm{AM} \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a\\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}a \end{align}\)

 

\(\mathrm{OH}\) の長さを求める。

 

\(\triangle \mathrm{OAH}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{OH}^2 &= \mathrm{OA}^2 − \mathrm{AH}^2 \\ &= a^2 − \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 \\ &= a^2 − \frac{1}{3}a^2 \\ &=  \frac{2}{3}a^2\end{align}\)

\(\mathrm{OH} > 0\) より、

\(\mathrm{OH} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a = \color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a \ (高さ)}\)

 

底面積 \(\triangle \mathrm{ABC}\) は

\(\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AM} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{align}\)

 

よって、正四面体 \(\mathrm{O-ABC}\) の体積は、

\(\begin{align} \frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{ABC} \cdot \mathrm{OH} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a \\&= \color{red}{\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \ (体積)} \end{align}\)

 

(証明終わり)

上記のように、手計算で正四面体の高さや体積を求めるには複数のステップが必要です。

面倒な場合は、公式を覚えてしまってもいいかもしれませんね。

補足

蛍光線を引いた部分からわかるように、正四面体の頂点から下ろした垂線の足は底面の正三角形の重心となります。

「三角形の重心」の性質については、以下の記事で詳しく説明しています。

五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)とは?求め方や性質

 

正四面体の表面積の公式

次に、正四面体の表面積を求める公式を確認しましょう。

正四面体の表面積の公式

\(1\) 辺の長さが \(a\) の正四面体の表面積 \(S\) は、

\begin{align}\color{red}{S = \sqrt{3} a^2}\end{align}

 

表面積の証明【求め方】

上記の公式を実際に導いてみましょう。

どの \(4\) 面も辺の長さが同じ正三角形なので、正三角形の面積を \(4\) 倍すればよいことになります。

証明

 

一辺の長さが \(a\) の正三角形の面積は、

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)

 

\(4\) 倍すると、正四面体の表面積 \(S\) は

\(\displaystyle S = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \color{red}{\sqrt{3} a^2}\)

 

(証明終わり)

シンプルですね!

補足

表面積を求めるときなどに、展開図が書けると便利です。

以下の記事で展開図の作り方を説明しているので、参考にしてくださいね。

正四面体の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説

 

正四面体の内接球・外接球の半径の公式

次に、正四面体の内接球および外接球の半径の公式を示します。

正四面体の内接球および外接球の半径

\(1\) 辺の長さが \(a\) の正四面体について、

 

内接球の半径 \(\displaystyle \color{red}{r = \frac{\sqrt{6}}{12} a}\)

 

外接球の半径 \(\displaystyle \color{red}{R = \frac{\sqrt{6}}{4} a}\)

 

それぞれの意味と導出方法を説明していきます。

 

内接球の半径の証明

内接球とは、立体図形の内部にあり、すべての面に接する球のことです。

正四面体の内接球は次のようになります。

正四面体の各面との接点から内接球の中心(内心)への距離が「内接球の半径」です。

ここでは、この球の半径 \(r\) を求めてみましょう。

証明

 

内接球の内心を \(\mathrm{I}\) とおくと、\(\mathrm{I}\) から \(4\) 面の三角形に下ろした垂線の長さは内接球の半径 \(r\) に一致する。

よって、正四面体の体積 \(V\) は \(\mathrm{I}\) を頂点とする \(4\) つの合同な三角錐の体積の和で表される。

\(\begin{align} V &= \frac{1}{3} r \triangle \mathrm{ABC} \times 4 \\ &= \frac{4r}{3} \triangle \mathrm{ABC} \end{align}\)

より、

\(\displaystyle r = \frac{3V}{4 \triangle \mathrm{ABC}}\)

 

ここで、\(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\)、\(\displaystyle \triangle \mathrm{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) より

\(\begin{align} r &= \frac{3V}{4 \triangle \mathrm{ABC}} \\&= \displaystyle \frac{3 \frac{\sqrt{2}}{12} a^3}{4 \frac{\sqrt{3}}{4} a^2} \\&= \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} a^3}{\sqrt{3} a^2} \\&= \frac{\sqrt{2}}{4} a^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} a^2} \\&= \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} a \\&= \color{red}{\frac{\sqrt{6}}{12} a} \end{align}\)

 

(証明終わり)

したがって、\(\color{red}{\displaystyle r = \frac{\sqrt{6}}{12} a}\) と表せますね。

 

外接球の半径の証明

外接球とは、立体図形の外側にあり、すべての頂点を通る球のことです。

正四面体の外接球は次のようになります。

正四面体の各頂点から外接球の中心(外心)への距離が「外接球の半径」です。

ここでは、この球の半径 \(R\) を求めてみましょう。

証明

 

外接球の外心を \(\mathrm{J}\) とおく。

頂点 \(\mathrm{O}\) 側から球を見下ろすと、\(3\) 点 \(\mathrm{O}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{H}\) は一点に重なる。

 

ここで三角形 \(\mathrm{AOM}\) が面となるように立体を切り出すと、次のようになる。

 

\(\mathrm{OJ}\)、\(\mathrm{AJ}\) は外接球の半径なので \(\mathrm{OJ} = \mathrm{AJ} = R\)

点 \(\mathrm{H}\) は正三角形の重心なので \(\displaystyle \mathrm{AH} = \frac{\sqrt{3}}{3} a\)

\(\mathrm{OH}\) は正四面体の高さなので \(\mathrm{OH} = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} a\)

また、

\(\begin{align} \mathrm{JH} &= \mathrm{OH} − \mathrm{OJ} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{3} a − R \end{align}\)

 

ここで、直角三角形 \(\mathrm{AJH}\) について三平方の定理より

\(\mathrm{AJ}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{JH}^2\)

\(\begin{align}\displaystyle R^2 &= \left( \frac{\sqrt{3}}{3} a \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{3} a − R \right)^2\\&= \frac{1}{3} a^2 + \frac{2}{3} a^2 − \frac{2\sqrt{6}}{3} aR + R^2\end{align}\)

\(\displaystyle 0 = a^2 − \frac{2\sqrt{6}}{3} aR\)

\(\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3} aR = a^2\)

 

よって

\(\begin{align} R &= \frac{3a}{2\sqrt{6}} \\ &= \frac{3\sqrt{6}a}{12} \\ &= \color{red}{\frac{\sqrt{6}}{4} a} \end{align}\)

 

(証明終わり)

このように、\(\color{red}{R = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4} a}\) と求められましたね!

 

正四面体の 2 面の角度の公式

正四面体では、どの \(2\) 面のなす角度も等しくなります。

正四面体の 2 面の角度

正四面体の任意の \(2\) 面の角度を \(\theta\) としたとき、\(\theta\) について次の式が成り立つ。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}}\end{align}

 

2 面の角度の証明

上記の公式を実際に求めてみましょう。

ここでは、具体的に \(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{OBC}\) のなす角度 \(\theta\) について考えます。

証明

 

\(\triangle \mathrm{OMH}\) について、

 

\(\displaystyle \mathrm{MO} = \frac{\sqrt{3}}{2} a\)

 

\(\begin{align} \mathrm{MH} &= \frac{1}{3} \mathrm{AM} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} a \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{OMH}\) は直角三角形であるから、

\(\begin{align} \cos \theta &= \frac{\mathrm{MH}}{\mathrm{MO}} \\&= \displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{6} a}{\frac{\sqrt{3}}{2} a} \\&= \color{red}{\frac{1}{3}} \end{align}\)

 

(証明終わり)

したがって、\(2\) 面のなす角の余弦は \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\) であることがわかりました。

補足

ちなみに、この角度を度数法で表すと \(\theta ≒ 70.52^\circ\) となります。

 

正四面体の計算問題

最後に、正四面体の計算問題に挑戦してみましょう。

計算問題「1 辺が 2√3 の正四面体」

計算問題

\(1\) 辺の長さが \(2\sqrt{3} \ \mathrm{cm}\) の正四面体について、次の大きさを求めなさい。

(1) 表面積

(2) 体積

(3) \(2\) つの面のなす角 \(\theta\) の \(\sin\) の値

(4) 内接球の半径

(5) 外接球の直径

 

正四面体に関係するいろいろな値を求めさせる問題です。

これまでに紹介した公式を使えば、あっという間に求められますね。

解答

 

(1)

正四面体の表面積 \(S = \sqrt{3} a^2\) より、

\(\sqrt{3} (2\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3}\)

 

答え: \(12\sqrt{3} \, \mathrm{cm^2}\)

 

 

(2)

正四面体の体積 \(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\) より、

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} (2\sqrt{3})^3 = 2\sqrt{6}\)

 

答え: \(2\sqrt{6} \, \mathrm{cm^3}\)

 

 

(3) 正四面体の \(2\) 面のなす角 \(\theta\) について、

\(\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}\) \((0^\circ < \theta < 90^\circ)\)

が成り立つ。

 

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より、

\(\begin{align} \sin^2 \theta &= 1 − \cos^2 \theta \\ &= 1 − \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\ &= \frac{8}{9} \end{align}\)

\(\sin \theta > 0\) より、\(\displaystyle \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

 

(4)

内接球の半径 \(\displaystyle r = \frac{\sqrt{6}}{12} a\) より、

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}\)

 

 

(5)

外接円の半径 \(\displaystyle R = \frac{\sqrt{6}}{4} a\) より、

外接球の直径は

\(\displaystyle 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2}\)

 

答え: \(3\sqrt{2} \, \mathrm{cm}\)

以上で問題も終わりです!

 

正四面体の問題は、公式を丸暗記しておけば楽ではありますが、そんなに頻出するテーマでもありません。

公式を覚えるのが苦手な方は、それぞれの値の導き方を理解しておきましょう!

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