三角錐とは?体積・表面積の公式や求め方

この記事では「三角錐」の公式(体積・表面積)や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

三角錐とは?

三角錐とは、底面が三角形で錐状の立体図形です。

錐状(すいじょう)

底面からある一点に向かって線分が伸びるようなかたち。

 

まずは三角錐のかたちとルールを確認してみましょう。

底面の三角形 \(1\) 枚、側面の三角形 \(3\) 枚を組み立ててできた立体図形ですね。

 

錐状で、すべての面が三角形でできているのが三角錐の特徴です。

 

底面が正三角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形で作られた三角錐を「正三角錐」といいます。

また、すべての面が合同な正三角形で作られた三角錐を「正四面体」といいます。

\(4\) つの面すべてが同じかたちなので、正「四面体」と呼ぶのですね。

これも立派な三角錐なのでよく覚えておきましょう。

補足

「正四面体」については以下の記事で詳しく説明しています。

正四面体とは?高さ・体積・表面積の公式や求め方

 

三角錐の体積の公式

三角錐の体積を求める公式は次のとおりです。

三角錐の体積の公式

底面の三角形の面積が \(S\)、高さが \(h\) の三角錐の体積 \(V\) は、次の式で求められる。

\begin{align}\color{red}{V = \displaystyle \frac{1}{3}Sh}\end{align}

(体積) = \(\displaystyle \frac{1}{3}\) × (底面積) × (高さ)

 

三角錐に限らず、錐体の体積は「\(\displaystyle \frac{1}{3}\) × (底面積) × (高さ)」で求められます。

 

三角錐の体積の求め方

次の問題で、三角錐の体積を求める練習をしましょう。

例題

次の三角錐の体積を求めよ。

 

まずは三角錐の底面積 \(S\) を求めます。

\(S = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10\)

 

高さが \(6\) とわかっているので、あとは三角錐の体積の公式に当てはめるだけです。

三角錐の高さ \(h = 6\) なので、体積 \(V\) は

\(\begin{align}V &= \displaystyle \frac{1}{3}Sh\\&= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 6\\&= \color{red}{20}\end{align}\)

くれぐれも、\(\displaystyle \frac{1}{3}\) をかけ忘れないように気をつけましょう!

 

三角錐の表面積の公式

次に、三角錐の表面積を求める公式を確認しましょう。

三角錐の表面積の公式

底面の三角形の面積が \(S_1\)、三角錐の側面積が \(S_2, S_3, S_4\) であるとき、三角錐の表面積 \(S_S\) は、次の式で求められる。

\begin{align}\color{red}{S_S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4}\end{align}

(表面積) = (底面積) + (側面積)

 

側面積が合同な三角形の場合には \(S_2 = S_3 = S_4\) とまとめられて、

\(\color{red}{S_S = S_1 + 3S_2}\) となります。

 

三角錐の表面積の求め方

例題を通して表面積の求め方を確認しましょう。

例題

次の三角錐の表面積を求めよ。

 

この三角錐を \(4\) つの面に分けると、以下のようになります。

(1) の三角形から順に計算していくと、

(1) \(S_1 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\)

 

(2) \(S_2 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \displaystyle \frac{15}{2}\)

 

(3) \(S_3 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\)

 

(4) \(S_4 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \displaystyle \frac{35}{2}\)

これらをすべてを足せば、表面積 \(S_S\) が求まります。

\(\begin{align}S_S &= S_1 + S_2 + S_3 + S_4\\&= 6 + \displaystyle \frac{15}{2} + 12 + \displaystyle \frac{35}{2}\\&= \color{red}{43}\end{align}\)

よって答えは \(\color{red}{43}\) になります。

 

三角錐の練習問題

最後に、三角錐の練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題①「三角錐の体積と表面積を求める」

練習問題①

図のように \(1\) 辺の長さが \(10 \ \mathrm{cm}\) の正方形 \(\mathrm{ABCD}\) の辺 \(\mathrm{BC}\)、辺 \(\mathrm{CD}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とし、線分 \(\mathrm{AE}\)、線分 \(\mathrm{AF}\)、線分 \(\mathrm{EF}\) を折り目として三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) を作るとき、次の問いに答えなさい。

(1) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の体積を求めなさい。

(2) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の表面積を求めなさい。

 

自分で展開図を組み立てて体積、表面積を求める問題ですね。

体積を求める問題では、高さがどこになるかを見つけられるかがカギになります。

表面積を求める問題は、展開図のまま計算した方が簡単に解けますね。

解答

 

(1) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の立体図形は次のようになる。

 

\(\mathrm{∠ACD} = \mathrm{∠ACF} = \mathrm{∠ ECF} = 90^\circ\) であるから、三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の高さは \(\mathrm{AB} = 10\) である。

 

底面 \(\mathrm{ECF}\) の面積は

\(△\mathrm{ECF} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \displaystyle \frac{25}{2}\)

であるから、

 

三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の体積 \(V\) は

\(\begin{align}V &= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot △\mathrm{ECF} \cdot \mathrm{AB}\\&= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{25}{2} \cdot 10\\&= \displaystyle \frac{125}{3}\end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{125}{3} \ \mathrm{cm^3}\)

 

 

(2) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の展開図は \(1\) 辺の長さが \(10 \ \mathrm{cm}\) の正方形であるから、

求める表面積 \(S_S\) は

\(S_S = 10 \cdot 10 = 100\)

 

答え: \(100 \ \mathrm{cm^2}\)

 

練習問題②「ひもが最短になる長さを求める」

練習問題②

各辺の長さが \(4 \ \mathrm{cm}\) の正四面体 \(\mathrm{A−BCD}\) がある。

点 \(\mathrm{B}\) から辺 \(\mathrm{AD}\) を通り、点 \(\mathrm{C}\) まで通るひもがあるとき、このひもが最短になる長さを求めよ。

 

このような問題では、展開図を書けばひもの最短を簡単に考えることができます。

ただし、ひもは辺 \(\mathrm{AD}\) を通るため、辺 \(\mathrm{AD}\) が展開図の中央にくる必要があります。

必要な部分だけを取り出した展開図を書くのもアリですね。

補足

三角錐の展開図の書き方については、次の記事で説明しています。

三角錐の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説
解答

 

展開図において点 \(\mathrm{B}\) と \(\mathrm{C}\) を直線で結び、点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{AD}\) の中点になるとき、ひもの長さは最短になる。

したがって、ひもの長さは正三角形 \(\mathrm{ACD}\) の高さの \(2\) 倍となる。

 

正三角形 \(\mathrm{ACD}\) において、高さを \(x\) と置くと

三平方の定理より

\(x^2 + 2^2 = 4^2\)

\(x^2 + 4 = 16\)

\(x^2 = 12\)

\(x > 0\) より \(x = 2\sqrt{3}\)

 

 

したがって、ひもの長さは \(4\sqrt{3} \ \mathrm{cm}\)

 

答え: \(4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}\)

以上で問題も終わりです!

 

立体図形はできるだけシンプルに考えることが大切です。

三角錐への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようにしてくださいね。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です