三角錐とは?体積・表面積の公式や求め方をわかりやすく解説

この記事では、「三角錐」の公式(体積・表面積)や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

三角錐とは?

三角錐とは、底面が三角形で錐状の立体図形です。

錐状(すいじょう)

底面からある一点に向かって線分が伸びるようなかたち。

まずは三角錐のかたちとルールを確認してみましょう。

底面の三角形 \(1\) 枚、側面の三角形 \(3\) 枚を組み立ててできた立体図形ですね。

 

錐状で、すべての面が三角形でできているのが三角錐の特徴です。

補足

ちなみに、立体をなす平面の数に注目すると、三角錐は「四面体」と呼ぶこともできます(計 \(4\) 面で構成されているため)。

 

特殊な三角錐:「正三角錐」と「正四面体」

底面が正三角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形で作られた三角錐を「正三角錐」といいます。

また、すべての面が合同な正三角形で作られた三角錐を「正四面体」といいます。\(4\) つの面すべてが同じかたちなので、「正四面体」と呼ぶのですね。

これらも立派な三角錐なのでよく覚えておきましょう。

 

三角錐の体積の公式

三角錐の体積を求める公式は次のとおりです。

三角錐の体積の公式

底面の三角形の面積が \(S\)、高さが \(h\) の三角錐の体積 \(V\) は、次の式で求められる。

\begin{align}\color{red}{V = \displaystyle \frac{1}{3}Sh}\end{align}

(体積) = \(\displaystyle \frac{1}{3}\) × (底面積) × (高さ)

 

補足

三角錐に限らず、錐体の体積は「\(\displaystyle \frac{1}{3}\) × (底面積) × (高さ)」で求められます。

 

三角錐の体積の求め方

次の例題で、三角錐の体積を求める手順を説明します。

例題

次の三角錐の体積を求めよ。

 

STEP.1
底面積を求める

まずは三角錐の底面積 \(S\) を求めます。

底面積を \(S\) とおくと、直角をはさむ辺の長さが \(4\) , \(5\) の直角三角形であるから

\(S = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10\)

 

STEP.2
底面積と高さを体積公式に当てはめる

高さが \(6\) とわかっているので、あとは三角錐の体積の公式に当てはめるだけです。

三角錐の高さは \(h = 6\) なので、体積 \(V\) は

\(\begin{align}V &= \displaystyle \frac{1}{3}Sh\\&= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 6\\&= \color{red}{20}\end{align}\)

くれぐれも、\(\displaystyle \frac{1}{3}\) をかけ忘れないように気をつけましょう!

 

完了

 

三角錐の表面積の公式

次に、三角錐の表面積を求める公式を確認しましょう。

三角錐の表面積の公式

底面の三角形の面積が \(S_1\)、三角錐の側面積が \(S_2, S_3, S_4\) であるとき、三角錐の表面積 \(S_S\) は、次の式で求められる。

\begin{align}\color{red}{S_S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4}\end{align}

(表面積) = (底面積) + (側面積)

 

側面積が合同な三角形の場合には \(S_2 = S_3 = S_4\) とまとめられて、

\(\color{red}{S_S = S_1 + 3S_2}\) となります。

 

三角錐の表面積の求め方

次の例題を通して、三角錐の表面積を求める手順を説明します。

例題

次の三角錐の表面積を求めよ。

 

STEP.1
各面の面積を求める

三角錐をなす \(4\) つの平面の面積を計算します。

\(4\) つの面を取り出して、それぞれの情報を整理するとわかりやすいです。

(1) の三角形から順に計算していくと、

(1) \(S_1 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\)

 

(2) \(S_2 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \displaystyle \frac{15}{2}\)

 

(3) \(S_3 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\)

 

(4) \(S_4 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \displaystyle \frac{35}{2}\)

 

STEP.2
すべての平面の面積を足す

\(S_1\) 〜 \(S_4\) をすべてを足せば、表面積 \(S_S\) が求まります。

求める三角錐の表面積 \(S_S\) は、

\(\begin{align}S_S &= S_1 + S_2 + S_3 + S_4\\&= 6 + \displaystyle \frac{15}{2} + 12 + \displaystyle \frac{35}{2}\\&= \color{red}{43}\end{align}\)

よって答えは \(\color{red}{43}\) になります。

 

完了

 

三角錐の計算問題

最後に、三角錐の計算問題に挑戦してみましょう。

計算問題①「三角錐の体積と表面積を求める」

計算問題①

図のように \(1\) 辺の長さが \(10 \ \mathrm{cm}\) の正方形 \(\mathrm{ABCD}\) の辺 \(\mathrm{BC}\)、辺 \(\mathrm{CD}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とし、線分 \(\mathrm{AE}\)、線分 \(\mathrm{AF}\)、線分 \(\mathrm{EF}\) を折り目として三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) を作るとき、次の問いに答えなさい。

(1) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の体積を求めなさい。

(2) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の表面積を求めなさい。

 

自分で展開図を組み立てて体積、表面積を求める問題ですね。

体積を求める問題では、高さがどこになるかを見つけられるかがカギになります。

表面積を求める問題は、展開図のまま計算した方が簡単に解けますね。

解答

 

(1) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の立体図形は次のようになる。

 

\(\mathrm{∠ACD} = \mathrm{∠ACF} = \mathrm{∠ ECF} = 90^\circ\) であるから、三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の高さは \(\mathrm{AB} = 10\) である。

 

底面 \(\mathrm{ECF}\) の面積は

\(△\mathrm{ECF} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \displaystyle \frac{25}{2}\)

であるから、

 

三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の体積 \(V\) は

\(\begin{align}V &= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot △\mathrm{ECF} \cdot \mathrm{AB}\\&= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{25}{2} \cdot 10\\&= \displaystyle \frac{125}{3}\end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{125}{3} \ \mathrm{cm^3}\)

 

 

(2) 三角錐 \(\mathrm{A−ECF}\) の展開図は \(1\) 辺の長さが \(10 \ \mathrm{cm}\) の正方形であるから、

求める表面積 \(S_S\) は

\(S_S = 10 \cdot 10 = 100\)

 

答え: \(100 \ \mathrm{cm^2}\)

 

計算問題②「ひもが最短になる長さを求める」

計算問題②

各辺の長さが \(4 \ \mathrm{cm}\) の正四面体 \(\mathrm{A−BCD}\) がある。

点 \(\mathrm{B}\) から辺 \(\mathrm{AD}\) を通り、点 \(\mathrm{C}\) まで通るひもがあるとき、このひもが最短になる長さを求めよ。

 

このような問題では、展開図を書けばひもの最短を簡単に考えることができます。

ただし、ひもは辺 \(\mathrm{AD}\) を通るため、辺 \(\mathrm{AD}\) が展開図の中央にくる必要があります。

必要な部分だけを取り出した展開図を書くのもアリですね。

合わせて読みたい

三角錐の展開図の書き方については、次の記事で説明しています。

三角錐の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説
解答

 

展開図において点 \(\mathrm{B}\) と \(\mathrm{C}\) を直線で結び、点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{AD}\) の中点になるとき、ひもの長さは最短になる。

したがって、ひもの長さは正三角形 \(\mathrm{ACD}\) の高さの \(2\) 倍となる。

 

正三角形 \(\mathrm{ACD}\) において、高さを \(x\) と置くと

三平方の定理より

\(x^2 + 2^2 = 4^2\)

\(x^2 + 4 = 16\)

\(x^2 = 12\)

\(x > 0\) より \(x = 2\sqrt{3}\)

 

 

したがって、ひもの長さは \(4\sqrt{3} \ \mathrm{cm}\)

 

答え: \(4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}\)

以上で問題も終わりです!

 

立体図形はできるだけシンプルに考えることが大切です。

三角錐への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようにしてくださいね。

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