余弦定理とは?公式の覚え方や証明、計算問題の解き方

この記事では、「余弦定理」の公式の覚え方や証明方法をできるだけわかりやすく解説していきます。

余弦定理の計算問題の解き方も詳しく説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

余弦定理とは?【公式】

余弦定理とは、三角形の \(\bf{3}\) 辺の長さと内角の余弦 \((\cos)\) の間に成り立つ関係を示した定理です。

余弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、頂点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\) とすると、以下の \(3\) つの等式が成り立つ。

  • \(\color{red}{a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}}\)
  • \(\color{red}{b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}}\)
  • \(\color{red}{c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{C}}\)

 

また、角度を求める問題では、余弦定理を変形した以下の公式を覚えておくと便利です。

余弦定理(変形バージョン)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{A} = \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{B} = \frac{c^2 + a^2 − b^2}{2ca}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{C} = \frac{a^2 + b^2 − c^2}{2ab}}\)

 

Tips

それぞれ式が \(3\) つありますが、すべて覚える必要はありません!

これら \(3\) つの公式は基本的にすべて同じ構造をしていますね。

なので、どれか \(1\) つを覚えれば、あとは \(a\), \(b\), \(c\) と \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) を回転させるだけですべての式が導かれますよ。

 

余弦定理の証明

ここでは、余弦定理がどうして成り立つのかを説明します。

余弦定理のうち、次の等式が成り立つことを示していきます。

証明

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\) が成り立つことを示せ。

 

余弦定理は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) のある頂点から対応する辺に垂線を下ろすことで証明できます。

\(\angle \mathrm{A}\) が「(i) 鋭角」「(ii) 直角」「(iii) 鈍角」の \(3\) つの場合に場合分けして、等式が成り立つかを確認しましょう。

証明

 

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\) …(*)とおく。

 

(i) \(\angle \mathrm{A} < 90^\circ\) のとき

直線 \(\mathrm{AB}\) と垂直に交わる線分を \(\mathrm{CD}\) とする。

 

直角三角形 \(\mathrm{ACD}\) に注目すると、三角比から

\(\mathrm{CD} = \mathrm{AC} \sin \mathrm{A} = b \sin \mathrm{A}\)

\(\mathrm{AD} = \mathrm{AC} \cos \mathrm{A} = b \cos \mathrm{A}\)

 

 

次に、直角三角形 \(\mathrm{BCD}\) において三平方の定理より

\(\mathrm{BC}^2 = \mathrm{CD}^2 + \mathrm{DB}^2\)

 

\(\mathrm{BC} = a\), \(\mathrm{CD} = b \sin \mathrm{A}\), \(\mathrm{DB} = c − b \cos \mathrm{A}\) より、

\(a^2 = (b \sin \mathrm{A})^2 + (c − b \cos \mathrm{A})^2\)

展開すると、

\(\begin{align}a^2 &= b^2 \sin^2 \mathrm{A} + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A} + b^2 \cos^2 \mathrm{A} \\&= b^2(\sin^2 \mathrm{A} + \cos^2 \mathrm{A}) + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\end{align}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

\(\sin^2 \mathrm{A} + \cos^2 \mathrm{A} = 1\) より、

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\)

 

したがって、(*)が成り立つ。

 

 

(ii) \(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) のとき

\(\triangle \mathrm{ABC}\) は直角三角形であるから、三平方の定理より、

\(a^2 = b^2 + c^2\)

 

ここで、

\(\cos \mathrm{A} = \cos 90^\circ = 0\)

であるから、

\(\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A} \\ &= b^2 + c^2 − 2bc \cdot 0 \\ &= b^2 + c^2 \end{align}\)

 

したがって、(*)が成り立つ。

 

 

(iii) \(\angle \mathrm{A} > 90^\circ\) のとき

 

直線 \(\mathrm{AB}\) と垂直に交わる線分を \(\mathrm{CD}\) とする。

直角三角形 \(\mathrm{ACD}\) に注目すると、三角比から

\(\mathrm{CD} = b \sin \mathrm{A}\)

\(\mathrm{DA} = b \cos(180^\circ − \mathrm{A})\)

 

また、

\(\mathrm{DB} = \mathrm{AB} + \mathrm{DA}\) より

\(\begin{align}\mathrm{DB} &= c + b \cos(180^\circ − \mathrm{A}) \\&= c − b \cos \mathrm{A}\end{align}\)

 

 

次に、直角三角形 \(\mathrm{BCD}\) に注目すると、

三平方の定理より

\(\mathrm{BC}^2 = \mathrm{CD}^2 + \mathrm{DB}^2\)

 

\(\mathrm{BC} = a\)、\(\mathrm{CD} = b \sin \mathrm{A}\)、\(\mathrm{DB} = c − b \cos \mathrm{A}\) より、

\(\begin{align}a^2 &= (b \sin \mathrm{A})^2 + (c − b \cos \mathrm{A})^2 \\&= b^2 \sin^2 \mathrm{A} + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A} + b^2 \cos^2 \mathrm{A} \\&= b^2(\sin^2 \mathrm{A} + \cos^2 \mathrm{A}) + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\end{align}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

\(\sin^2\mathrm{A} + \cos^2\mathrm{A} = 1\) より、

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\)

 

したがって、(*)が成り立つ。

 

 

(i) ~ (iii) より、 \(\angle \mathrm{A}\) の大きさによらず

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

このように余弦定理の \(1\) つを証明できました。

同様の証明手順で、次の \(2\) つの等式も証明できます。

  •  \(b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}\)
  •  \(c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{C}\)

公式への理解が深まるので、時間のある方は一度公式全体を証明してみるとよいでしょう!

 

余弦定理の覚え方

余弦定理を覚えるポイントは、ずばり、「三平方の定理」です。

三平方の定理「\(a^2 = b^2 + c^2\)」をベースに書き出し、「\(2bc \cos \mathrm{A}\)」を引く!と頭に叩き込みましょう。

 

さらに、辺や角の位置関係も覚えるようにすると、理解が深まって覚えやすくなります。

例えば \(a\) を求める場合、使う値は「その他の辺 \(b\), \(c\)」と、「その間の角 \(\mathrm{A}\) の余弦 \(\cos\)」です。

公式そのものは覚えておく必要がありますが、\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) などの記号を丸暗記するのではなく、求めるもの・使うものの位置関係を図で覚えておきましょう。

 

余弦定理と三平方の定理の関係

直角三角形において成り立つ三平方の定理は、実は余弦定理の一種でもあります。

\(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) の \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理を書いてみると

\(\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A} \\ &= b^2 + c^2 − 2bc \cos 90^\circ \\ &= b^2 + c^2 − 2bc \cdot 0 \\ &= b^2 + c^2 \end{align}\)

つまり

\(a^2 = b^2 + c^2\)

となります。

\(\cos 90^\circ = 0\) のため、マイナスの項がなくなるのですね。

 

余弦定理の計算問題

最後に、計算問題を通して余弦定理の使い方をマスターしていきましょう。

余弦定理を使う基本的な問題のパターンは次の \(2\) つです。

Tips

余弦定理が使える場面は…

  • \(2\) 辺と \(1\) 角がわかっているとき、もう \(1\) 辺を求める
  • \(3\) 辺がわかっているとき、\(1\) 角を求める

両パターンの解き方を把握しておきましょう。

 

計算問題①「辺の長さを求める」

計算問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 6\)、\(\angle \mathrm{B} = 60^\circ\)、\(c = 4\) のとき、\(b\) を求めよ。

 

図がない問題では、必ず自分で図を書きましょう。

求めたい辺以外の \(2\) 辺とその間の角がわかっているので、余弦定理が利用できますね。

公式に値を入れて解いていきましょう。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align} b^2 &= c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B} \\ &= 4^2 + 6^2 − 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 16 + 36 − 48 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 52 − 24 \\ &= 28 \end{align}\)

 

\(b > 0\) より、\(b = 2\sqrt{7}\)

 

答え: \(\color{red}{b = 2\sqrt{7}}\)

 

計算問題②「角度を求める」

計算問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 4\sqrt{2}\)、\(b = 2\sqrt{5}\)、\(c = 6\) のとき、\(\cos \mathrm{A}\) を求めよ。

 

先ほど同様、図を書いてみます。

\(3\) 辺がわかっていて、\(1\) 角を求める問題ですね。

この場合は、「\(\cos =\)」で始まる変形バージョンの余弦定理を利用すると、速く計算できますよ。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align} \cos \mathrm{A} &= \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc} \\ &= \frac{(2\sqrt{5})^2 + 6^2 − (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 6} \\ &= \frac{20 + 36 − 32}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 6} \\ &= \frac{24}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 6} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{5} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{A} = \frac{\sqrt{5}}{5}}\)

以上で問題も終わりです!

 

まずは三角形の図とともに、余弦定理の公式をしっかりと覚えましょう。

余裕のある人は、公式の変形バージョンも覚えておくと、スピードアップして解くことができますよ!

補足

なお、余弦定理とごちゃごちゃになってしまいがちなのが、正弦定理ですよね。

「正弦定理」や「余弦定理と正弦定理の使い分け」については、以下の記事も参考にしてくださいね!

正弦定理とは?公式や証明、計算問題をわかりやすく解説 正弦定理と余弦定理はどう使い分ける?練習問題で徹底解説!

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