和積の公式・積和の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や証明方法

この記事では、三角関数の「和積の公式」「積和の公式」について、語呂合わせによる覚え方や証明方法をわかりやすく解説していきます。

覚えるのが大変な公式ですが、作り方(導出方法)をマスターし、使いこなせようになりましょう!

 

積和の公式・和積の公式とは?

積和の公式とは、\(2\) つの三角関数の変換する公式のことです。

積和の公式

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha − \beta)\}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) − \sin(\alpha − \beta)\}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha − \beta)\}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sin\alpha\sin\beta = −\frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) − \cos(\alpha − \beta)\}}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

和積の公式はその反対で、\(2\) つの三角関数の変換する公式です。

和積の公式

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sin A − \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos A − \cos B = −2\sin\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}}\end{align}

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補足

別の呼び名がついていますが、これらは根本的に同じ公式です。

左辺と右辺を入れ替え、角度の表し方を変更すると両者は一致します。

  • \(\displaystyle \alpha = \frac{A + B}{2}\), \(\displaystyle \beta = \frac{A − B}{2}\) に変更
    または
  • \(A = \alpha + \beta\), \(B = \alpha − \beta\) に変更

どれも似ていて覚えづらい公式ですよね。

いざというときに使えるように、語呂合わせや導出方法を覚えておくのが大切です。

 

積和の公式・和積の公式の覚え方(語呂合わせ)

ここでは、「和積の公式」の語呂合わせを紹介します。

積和の公式は、左辺と右辺を逆向きにすれば得られます。

和積の公式の語呂合わせ

師は

\(\displaystyle \color{salmon}{\sin A + \sin B} = 2\color{skyblue}{\sin \frac{A + B}{2}}\color{limegreen}{\cos \frac{A − B}{2}}\)

(\(\sin\) の和は \(\sin\), \(\cos\) の積となる)

 

師引っ

\(\displaystyle \color{salmon}{\sin A − \sin B} = 2\color{limegreen}{\cos \frac{A + B}{2}}\color{skyblue}{\sin \frac{A − B}{2}}\)

(\(\sin\) の差は \(\cos\), \(\sin\) の積となる)

 

子は孝行

\(\displaystyle \color{salmon}{\cos A + \cos B} = 2\color{limegreen}{\cos \frac{A + B}{2}}\color{limegreen}{\cos \frac{A − B}{2}}\)

(\(\cos\) の和は \(\cos\) の積となる)

 

子引く負け獅子

\(\displaystyle \color{salmon}{\cos A − \cos B} = \color{orange}{−}2\color{skyblue}{\sin \frac{A + B}{2}}\color{skyblue}{\sin \frac{A − B}{2}}\)

(\(\cos\) の差はマイナスを付けた \(\sin\) の積となる)

係数や角度の部分は語呂に含まれていないので、前から「\(A\)、\(B\)、\(2\)、\(\displaystyle \frac{A + B}{2}\)、\(\displaystyle \frac{A − B}{2}\)」と共通して覚えておきましょう。

 

積和の公式・和積の公式の証明(導出)

積和の公式と和積の公式は「加法定理」から導けます。

慣れれば簡単に導出できるので、できれば語呂合わせだけに頼らず導出方法も理解しておきましょう。

加法定理

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)

加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題

 

【共通手順】加法定理の正負の和、差をとる

\(\sin\) の加法定理、\(\cos\) の加法定理の正負のペアの和や差をとると、積和の公式・和積の公式のもととなる式が得られます。

証明

 

\(\sin\) の加法定理より、

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) …①

\(\sin(\alpha − \beta) = \sin\alpha\cos\beta − \cos\alpha\sin\beta\) …②

 

\(\cos\) の加法定理より、

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta − \sin\alpha\sin\beta\) …③

\(\cos(\alpha − \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\) …④

 

① + ②、① − ②、③ + ④、③ − ④より

\(\color{salmon}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha − \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta}\) …(i)

\(\color{salmon}{\displaystyle \sin(\alpha + \beta) − \sin(\alpha − \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta}\) …(ii)

\(\color{salmon}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha − \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta}\) …(iii)

\(\color{salmon}{\cos(\alpha + \beta) − \cos(\alpha − \beta) = −2\sin\alpha\sin\beta}\) …(iv)

 

(証明終わり)

あとは、(i) 〜 (iv) の式を変形すれば、積和・和積の公式を導けます。

 

【証明】積和の公式

積和の公式を得るには、(i) 〜 (iv) の式の両辺を入れ替え、\(2\) で割ります。

証明

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式 (i) の左辺と右辺を入れ替えて、両辺を \(2\) で割ると

\(\color{red}{\displaystyle \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha − \beta)\}}\)

 

式 (ii) の左辺と右辺を入れ替えて、両辺を \(2\) で割ると

\(\color{red}{\displaystyle \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) − \sin(\alpha − \beta)\}}\)

 

式 (iii) の左辺と右辺を入れ替えて、両辺を \(2\) で割ると

\(\color{red}{\displaystyle \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha − \beta)\}}\)

 

式 (iv) の左辺と右辺を入れ替えて、両辺を \(−2\) で割ると、

\(\color{red}{\displaystyle \sin\alpha\sin\beta = −\frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) − \cos(\alpha − \beta)\}}\)

 

(証明終わり)

 

【証明】和積の公式

和積の公式を得るには、(i) 〜 (iv) の式において角度の和・差(\(\alpha + \beta\), \(\alpha − \beta\))を別の角度に書き換えます。

証明

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\(\alpha + \beta = A\), \(\alpha − \beta = B\) とおくと、

\(\displaystyle \alpha = \frac{A + B}{2}\), \(\displaystyle \beta = \frac{A − B}{2}\) であるから

 

式 (i) 〜 (iv) は次のように書き替えられる。

\(\color{red}{\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \sin A − \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A − B}{2}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \cos A − \cos B = −2\sin\frac{A + B}{2}\sin\frac{A − B}{2}}\)

 

(証明終わり)

このように、積和・和積の公式が加法定理から簡単に導けることは必ず押さえておきましょう!

 

積和の公式・和積の公式の練習問題

それでは最後に、練習問題を解いていきましょう。

練習問題①「sin と cos の積」

練習問題①

\(\sin75^\circ \cos45^\circ\) の値を求めよ。

 

\(75^\circ\) の三角比がパッと浮かびませんね。

このようなときに、積和・和積の公式を使うと角度を変換できます。

この問題は \(\sin\) と \(\cos\) の積なので、「積和の公式」が使えますね。

解答

 

積和の公式より、

\(\sin75^\circ \cos45^\circ\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \{\sin(75^\circ + 45^\circ) + \sin(75^\circ − 45^\circ)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (\sin120^\circ + \sin30^\circ)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right)\)

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{4}}\)

 

練習問題②「sin と sin の和」

練習問題②

\(\displaystyle \sin \frac{5}{12}\pi + \sin \frac{\pi}{12}\) の値を求めよ。

 

この問題は \(\sin\) と \(\sin\) の和なので、「和積の公式」を使っていきましょう。

解答

 

和積の公式より、

\(\displaystyle \sin \frac{5}{12}\pi + \sin \frac{\pi}{12}\)

\(\displaystyle = 2\sin \left( \frac{\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{12}}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{5}{12}\pi − \frac{\pi}{12}}{2} \right)\)

\(\displaystyle = 2\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}\)

\(\displaystyle = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\)

 

練習問題③「cos 3θ − cos 2θ + cos θ = 0」

練習問題③

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) のとき、\(\cos3\theta − \cos2\theta + \cos\theta = 0\) を解け。

 

\(\cos3\theta\), \(\cos2\theta\) を見ると、三倍角、二倍角の公式を使いたくなるかもしれません。

しかし、ここでは「和積の公式」を使って角度をそろえるとスマートに解けます。

解答

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\(\cos3\theta − \cos2\theta + \cos\theta = 0\)

\((\cos3\theta + \cos\theta) − \cos2\theta = 0\)

 

和積の公式より、

\(\displaystyle 2\cos \left( \frac{3\theta + \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{3\theta − \theta}{2} \right) − \cos2\theta = 0\)

\(2\cos2\theta\cos\theta − \cos2\theta = 0\)

\(\cos2\theta (2\cos\theta − 1) = 0\)

 

よって、

\(\cos2\theta = 0\) または \(2\cos\theta − 1 = 0\)

 

まず、\(\cos2\theta = 0\) の解を求める。

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) より、

\(0 \leq 2\theta \leq 4\pi\) であるから

\(\displaystyle 2\theta = \frac{\pi}{2} , \frac{3}{2}\pi , \frac{5}{2}\pi , \frac{7}{2}\pi\)

したがって、

\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4}\pi , \frac{7}{4}\pi\) …①

 

次に、\(2\cos\theta − 1 = 0\) の解を求める。

\(2\cos\theta − 1 = 0\)

\(\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{2}\)

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) より、

\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi\) …②

 

①、②より、解は

\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{3} , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4}\pi , \frac{5}{3}\pi , \frac{7}{4}\pi\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{3} , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4}\pi , \frac{5}{3}\pi , \frac{7}{4}\pi}\)

以上で練習問題も終わりです。

 

積和の公式・和積の公式は覚えにくい厄介な公式ですが、加法定理から簡単に導くことができます。

しっかりと覚えて、使いこなせるようにしましょう!

補足

三角関数に関するほかの定理や公式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてください!

三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

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