加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題

この記事では「加法定理」について、証明方法や語呂合わせによる覚え方をわかりやすく解説していきます。

応用問題の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

加法定理とは?

加法定理とは、\(2\) つの角度の和・差 (\(\alpha \pm \beta\)) の三角関数を、個々の角度 (\(\alpha, \beta\)) の三角関数を用いて表現できることを示した定理です。

三角関数の加法定理

任意の実数 \(\alpha\), \(\beta\) に対して、以下の等式が成り立つ。

  • 正弦(sin)
    \(\color{red}{\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}\)
    \(\color{red}{\sin (\alpha − \beta) = \sin \alpha \cos \beta − \cos \alpha \sin \beta}\)
  • 余弦(cos)
    \(\color{red}{\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta}\)
    \(\color{red}{\cos (\alpha − \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}\)
  • 正接(tan)
    \(\color{red}{\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 − \tan \alpha \tan \beta}}\)
    \(\color{red}{\displaystyle \tan (\alpha − \beta) = \frac{\tan \alpha − \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}}\)

加法定理の成り立ちや覚え方、使い方を順番に確認していきましょう。

 

加法定理の証明

加法定理の証明方法にはいくつかありますが、ここではその中の \(1\) つを紹介します。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

【Part 1.  cos の加法定理の証明】

 

単位円周上に

\(\mathrm{P}(1, 0)\)、\(\mathrm{Q}(\cos ⁡(\alpha + \beta)\), \(\sin⁡ (\alpha + \beta))\)

をとる。

 

 

この \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\) を、原点を中心に \(−\beta\) だけ回転した点を \(\mathrm{P’}\), \(\mathrm{Q’}\) とおくと、

\(\mathrm{P’}(\cos (−\beta), \sin (−\beta))\)、\(\mathrm{Q’}(\cos \alpha, \sin \alpha)\)

で表される。

 

このとき、回転移動しても \(2\) 点間の距離は変わらないので

\(\mathrm{PQ} = \mathrm{P’Q’}\)

よって

\(\mathrm{PQ^2} = \mathrm{P’Q’^2}\)

 

ここで、

\(\mathrm{P}(1, 0)\)、\(\mathrm{Q}(\cos ⁡(\alpha + \beta), \sin⁡ (\alpha + \beta))\) より

\(\mathrm{PQ^2}\)

\(= \{1 − \cos (\alpha + \beta)\}^2 + \{0 − \sin (\alpha + \beta)\}^2\)

\(= \{1 − \cos (\alpha + \beta)\}^2 + \sin^2 (\alpha + \beta)\)

\(= 1 − 2\cos (\alpha + \beta) + \cos^2 (\alpha + \beta) + \sin^2 (\alpha + \beta)\)

\(= 1 − 2\cos (\alpha + \beta) + 1\)

\(= 2 − 2\cos (\alpha + \beta)\)

\(= 2(1 − \cos (\alpha + \beta))\) …①

 

\(\mathrm{P’}(\cos (−\beta), \sin (−\beta))\)、\(\mathrm{Q’}(\cos \alpha, \sin \alpha)\) より

\(\mathrm{P’Q’^2}\)

\(= \{\cos (−\beta) − \cos \alpha\}^2 + \{\sin (−\beta) − \sin \alpha\}^2\)

 

\(\cos (−\beta) = \cos \beta\), \(\sin (−\beta) = −\sin \beta\) より

\(\mathrm{P’Q’^2}\)

\(= (\cos \beta − \cos \alpha)^2 + (−\sin \beta − \sin \alpha)^2\)

\(= (\cos \beta − \cos \alpha)^2 + (\sin \beta + \sin \alpha)^2\)

\(= \cos^2 \beta − 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha\)

\(= (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) − 2\cos \alpha \cos \beta + 2\sin \alpha \sin \beta\)

\(= 2 − 2\cos \alpha \cos \beta + 2\sin \alpha \sin \beta\)

\(= 2(1 − \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\) …②

 

\(\mathrm{PQ^2} = \mathrm{P’Q’^2}\) に①、②を代入して

\(\begin{align}2(1 − &\cos (\alpha + \beta)) \\&= 2(1 − \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\end{align}\)

 

\(\begin{align}1 − \cos &(\alpha + \beta) \\&= 1 − \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\end{align}\)

 

よって

\(\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta\)

 

 

また、\(\beta\) を \(−\beta\) に置き換えると、

\(\cos (\alpha − \beta)\)

\(= \cos \alpha \cos (−\beta) − \sin \alpha \sin (−\beta)\)

\(= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

 

以上より、

《C+》\(\color{red}{\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta}\)

《C−》\(\color{red}{\cos (\alpha − \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}\)

が成り立つ。

 

 

 

【Part 2. sin の加法定理の証明】

 

三角関数の性質を利用し、《C−》から正弦の加法定理を得る。

 

《C−》の \(\alpha\) を \(\displaystyle \frac{\pi}{2} − \alpha\) に置き換えると、

\(\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} − \alpha − \beta \right)\)

\(\displaystyle = \cos \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) \cos\beta + \sin \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) \sin \beta\)

 

\(\displaystyle \cos \left\{ \frac{\pi}{2} − (\alpha + \beta) \right\}\)

\(\displaystyle = \cos \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) \cos\beta + \sin \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) \sin \beta\)

 

\(\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) = \cos \theta\), \(\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} − \theta \right) = \sin \theta\) より

\(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

 

\(\beta\) を \(−\beta\) に置き換えると、

\(\sin (\alpha − \beta) = \sin \alpha \cos (−\beta) + \cos \alpha \sin (−\beta)\)

\(\cos (−\beta) = \cos \beta\)、\(\sin (−\beta) = −\sin \beta\) より

\(\sin (\alpha − \beta) = \sin \alpha \cos \beta − \cos \alpha \sin \beta\)

 

以上より、

《S+》 \(\color{red}{\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}\)

《S−》 \(\color{red}{\sin (\alpha − \beta) = \sin \alpha \cos \beta − \cos \alpha \sin \beta}\)

が成り立つ。

 

 

 

【Part 3. tan の加法定理の証明】

 

\(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)、《C+》《S+》から、

\(\begin{align}\displaystyle \tan (\alpha + \beta) &= \displaystyle \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}\\& = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta}\end{align}\)

 

分母、分子を \(\cos \alpha \cos \beta\) で割ると、

\(\displaystyle \tan (\alpha + \beta)\)

\(\displaystyle = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1 − \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}\)

\(\displaystyle = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 − \tan \alpha \tan \beta}\)

 

\(\beta\) を \(−\beta\) に置き換えると、

\(\displaystyle \tan (\alpha − \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan (−\beta)}{1 − \tan \alpha \tan (−\beta)}\)

\(\tan (−\theta) = −\tan \theta\) であるから、

\(\displaystyle \tan (\alpha − \beta) = \frac{\tan \alpha − \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)

 

以上より、

《T+》\(\color{red}{\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 − \tan \alpha \tan \beta}}\)

《T−》\(\color{red}{\displaystyle \tan (\alpha − \beta) = \frac{\tan \alpha − \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}}\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

計算が多くて大変でしたが、無事証明できましたね。

証明全体を覚えておく必要はなく、加法定理が導かれる流れを理解できれば十分です!

 

加法定理の覚え方【語呂合わせ】

ここでは、加法定理の語呂合わせによる覚え方を紹介します。

補足

なお、どれも和の公式 (\(\alpha + \beta\)) の語呂合わせとして覚えます。

差の公式 (\(\alpha − \beta\)) は、和の公式の符号をすべて逆転させれば得られます。

sin の加法定理

加法定理 (sin) の語呂合わせ

咲いたコスモス コスモス咲いた

\(\sin (\alpha + \beta) = \color{skyblue}{\sin \alpha} \color{limegreen}{\cos \beta} + \color{limegreen}{\cos \alpha} \color{skyblue}{\sin \beta}\)

\(\sin\) の加法定理は、左辺と右辺の符号がそろっていることを把握しておきましょう!

 

cos の加法定理

加法定理 (cos) の語呂合わせ

コスモスコスモス 咲かない咲かない

\(\cos (\alpha + \beta) = \color{limegreen}{\cos \alpha \cos \beta} \color{salmon}{−} \color{skyblue}{\sin \alpha \sin \beta}\)

「咲かない」が、符号が \(\bf{−}\) であることを意味しています。

Tips

sin と cos の語呂が似ていて混乱する人は、はじめの音が合う方と覚えておきましょう。

いたコスモス…」→ \(\bf{\sin}\) の加法定理

スモスコスモス…」→ \(\bf{\cos}\) の加法定理

 

tan の加法定理

加法定理 (tan) の語呂合わせ

イチ引くタンタン タンタン

\(\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\color{orange}{\tan \alpha} \color{salmon}{+} \color{orange}{\tan \beta}}{\color{salmon}{1 −} \color{orange}{\tan \alpha \tan \beta}}\)

分母 → 分子の順番です。
リズム感で覚えましょう!

Tips

\(\tan\) の加法定理は、\(\sin\) と \(\cos\) の加法定理から簡単に導くこともできます。

(「加法定理の証明」の Part 3 参照)

語呂自体忘れた…という場合は、この方法で思い出してもいいかもしれませんね。

加法定理は覚えられそうですか?

ここで紹介した語呂合わせはあくまでも一例です。

もっとしっくりくる物を探したり、自分で覚えやすいものを作ったりするのもオススメですよ!

 

加法定理から導かれる公式

加法定理は、三角関数の問題を解くときによく使われるだけでなく、三角関数の公式の多くを導出できる重要な定理です。

加法定理から導ける公式には以下があります。

二倍角・三倍角・半角の公式

二倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題での使い方 三倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題の解き方 半角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や証明、問題での使い方

 

和積・積和の公式

和積の公式・積和の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や証明方法

 

加法定理の練習問題

それでは、練習問題を解きながら加法定理に慣れていきましょう。

練習問題①「sin 15°」

練習問題①

\(\sin 15^\circ\) を求めよ。

 

このような問題では、三角比がわかる角度(\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\))の和や差の形に変形すると、加法定理で解けます。

今回の場合、\(15^\circ = 45^\circ − 30^\circ\)と表すことができますね。

解答

 

\(\sin 15^\circ = \sin (45^\circ − 30^\circ)\)

 

 

加法定理より、

\(\begin{align} \sin 15^\circ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ − \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} − \sqrt{2}}{4} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{6} − \sqrt{2}}{4}}\)

Tips

代表的な角度(\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) など)の三角比は、一通りわかるようにしておきましょう。

解答のように、単位円にささっと書いて確認するのがオススメです。

ちょっとあやしいなと思った人は以下の記事で復習してくださいね!

三角比の表・三角関数表(sin cos tan の値)の一覧!

 

練習問題②「tan 75°」

練習問題②

\(\tan 75^\circ\) を求めよ。

 

\(75^\circ\) はどのように表すことができるでしょうか?

また、\(\tan\) の加法定理は符号の関係に注意しましょう!

解答

 

\(\tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ)\)

 

 

加法定理より、

\(\begin{align} \tan 75^\circ &= \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 − \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \\ &= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 − \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} − 1} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 2 + \sqrt{3} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{2 + \sqrt{3}}\)

角度の和・差への置き換えには慣れてきましたか?

 

練習問題③「cos 11/12 π」

弧度法(ラジアン)の角についても、練習しておきましょう。

練習問題③

\(\displaystyle \cos \frac{11}{12} \pi\) を求めよ。

 

ラジアン表記でも、考え方は同じです。

角をどう分解できるか考えてみましょう。

解答

 

\(\begin{align} \frac{11}{12} \pi &= \frac{9}{12} \pi + \frac{2}{12} \pi \\ &= \frac{3}{4} \pi + \frac{\pi}{6} \end{align}\)

 

 

加法定理より、

\(\begin{align} \cos \frac{11}{12} \pi &= \cos \frac{3}{4} \pi \cos \frac{\pi}{6} − \sin \frac{3}{4} \pi \sin \frac{\pi}{6} \\ &= −\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= −\frac{\sqrt{6}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= −\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle −\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\)

補足

なお、「弧度法(ラジアン)」については以下の記事で説明しています。

ラジアン (rad)、弧度法とは?定義、角度との変換や計算

 

練習問題④「sin 5/12 π」

練習問題④

\(\displaystyle \sin \frac{5}{12} \pi\) を求めよ。

 

分母分子が約分できる分数同士に分けるのがポイントです。

解答

 

\(\begin{align} \frac{5}{12} \pi &= \frac{2}{12} \pi + \frac{3}{12} \pi \\ &= \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \end{align}\)

 

 

加法定理より、

\(\begin{align} \sin \frac{5}{12} \pi &= \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}\)

 

加法定理の応用問題

最後に、応用問題に挑戦してみましょう。

三角比の角度をうまく和と差に変換し、加法定理の便利さを実感してくださいね。

応用問題①「三倍角の公式の証明」

応用問題①

\(\sin 3\theta = 3\sin \theta − 4\sin^3 \theta\) となることを証明せよ。

 

この式、実は三倍角の公式です。

加法定理をうまく使って \(3\theta\) を小さく分解していくと証明できます。

証明

 

\(3\theta = \theta + 2\theta\) として加法定理を使うと、

\(\begin{align} \ \ (\text{左辺}) &= \sin (\theta + 2\theta)\\&= \sin \theta \cos 2\theta + \cos \theta \sin 2\theta\end{align}\)

 

さらに、\(2\theta = \theta + \theta\) として加法定理を使うと、

\((\text{左辺})\)

\(= \sin \theta \cos (\theta + \theta) + \cos \theta \sin (\theta + \theta)\)

\(= \sin \theta(\cos \theta \cos \theta − \sin \theta \sin \theta) \) \(+ \cos \theta(\sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta)\)

\(= 3\sin \theta \cos^2\theta − \sin^3\theta\)

 

\(\cos^2\theta = 1 − \sin^2\theta\) より

\((\text{左辺})\)

\(= 3\sin \theta(1 − \sin^2\theta) − \sin^3\theta\)

\(= 3\sin \theta − 4\sin^3\theta\)

\(= (\text{右辺})\)

 

(証明終わり)

 

応用問題②「cos (α + β) を求めよ」

応用問題②

\(\alpha\), \(\beta\) が第四象限の角で \(\displaystyle \sin \alpha = −\frac{1}{5}\), \(\displaystyle \cos \beta = \frac{1}{3}\) であるとき、\(\cos (\alpha + \beta)\) を求めよ。

 

加法定理を使うと、\(\cos (\alpha + \beta)\) は \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\) で表せますね。

まずは、三角比の相互関係を利用して \(\cos \alpha\), \(\sin \beta\) を求めておきましょう。

また、\(\cos \alpha\), \(\sin \beta\) の符号は必ず確認してくださいね!

解答

 

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より

\(\cos^2 \alpha = 1 − \sin^2 \alpha\)

 

\(\begin{align} \cos \alpha &= \pm \sqrt{1 − \sin^2 \alpha} \\ &= \pm \sqrt{1 − \left( −\frac{1}{5} \right)^2} \\ &= \pm \sqrt{1 − \frac{1}{25}} \\ &= \pm \sqrt{\frac{24}{25}} \\ &= \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} \end{align}\)

 

\(\alpha\) が第四象限にあることから、\(\cos \alpha > 0\)

よって

\(\displaystyle \cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\)

 

同様に、

\(\sin^2 \beta = 1 − \cos^2 \beta\)

\(\begin{align}\sin \beta &= \pm \sqrt{1 − \cos^2 \beta} \\ &= \pm \sqrt{1 − \left( \frac{1}{3} \right)^2} \\ &= \pm \sqrt{1 − \frac{1}{9}} \\ &= \pm \sqrt{\frac{8}{9}} \\ &= \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{align}\)

 

\(\beta\) が第四象限にあることから、\(\sin \beta < 0\)

よって

\(\displaystyle \sin \beta = −\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

加法定理より、

\(\cos (\alpha + \beta)\)

\(= \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta\)

\(= \displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{3} − \left( −\frac{1}{5} \right) \cdot \left( −\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)\)

\(= \displaystyle \frac{2(\sqrt{6} − \sqrt{2})}{15}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{2(\sqrt{6} − \sqrt{2})}{15}}\)

以上で加法定理の解説は終わりです。

 

加法定理を覚えていれば、三角関数のほとんどの公式は簡単に導出できます。

とっても重要な定理なので、必ずマスターしておきましょう!

補足

三角関数に関するほかの定理や公式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてください!

三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

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