三倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題の解き方

この記事では「三倍角の公式」について、語呂合わせによる覚え方や問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

三倍角の公式は加法定理と二倍角の公式から簡単に導けるので、ぜひマスターしましょう!

 

三倍角の公式とは?

三倍角の公式とは、ある角の \(\bf{3}\) 倍の角度の三角関数を求められる公式です。

三倍角の公式
  • 正弦(sin)
    \begin{align}\color{red}{\sin3\theta = 3\sin\theta − 4\sin^3\theta}\end{align}
  • 余弦(cos)
    \begin{align}\color{red}{\cos3\theta = −3\cos\theta + 4\cos^3\theta}\end{align}

\(3\theta\) の三角関数を、\(\theta\) の三角関数で表せていますね。

\(\sin3\theta\) の公式は \(\sin\theta\) だけの式に、 \(\cos3\theta\) の公式は \(\cos\theta\) だけの式になるのが特徴的です。

補足

使用頻度は低いですが、\(\tan\) の三倍角の公式も存在します。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \tan3\theta = \frac{\tan^3\theta − 3\tan\theta}{3\tan^2\theta − 1}}\end{align}

 

三倍角の公式の覚え方【語呂合わせ】

ここでは、三倍角の公式の語呂合わせを紹介します。

三倍角の公式は試験中に導出すると少々時間がかかるため、語呂合わせで覚えるのもひとつの手です。

sin の三倍角の公式の語呂合わせ

三振取って四三振

\begin{align}\sin3\theta = \color{skyblue}{3\sin\theta} \color{red}{−} \color{orange}{4\sin^3\theta}\end{align}

 

cos の三倍角の公式の語呂合わせ

まだ未婚ヨーコ参上

\begin{align}\cos3\theta = \color{red}{−}\color{limegreen}{3\cos\theta} \color{orange}{+ 4\cos^3\theta}\end{align}

\(\sin\) か \(\cos\) の片方だけを暗記して、もう一方は符号を逆にする、と覚えておいてもいいですね。

 

三倍角の公式の証明

三倍角の公式は、加法定理と二倍角の公式を使って導けます。

加法定理

  • \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)
  • \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)

 

二倍角の公式

  • \(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
  • \(\cos2\theta = 1 − 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta − 1\)

 

加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題 二倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題での使い方

 

「\(3\theta = \theta + 2\theta\)」とおいて、加法定理・二倍角の公式を使います。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\color{red}{\sin3\theta}\)

\(= \sin(\theta + 2\theta)\)

\(= \sin\theta\cos2\theta + \cos\theta\sin2\theta\)

 (加法定理)

\(= \sin\theta(1 − 2\sin^2\theta) + \cos\theta \cdot 2\sin\theta\cos\theta\)

 (二倍角の定理)

\(= \sin\theta − 2\sin^3\theta + 2\sin\theta\cos^2\theta\)

\(= \sin\theta − 2\sin^3\theta + 2\sin\theta(1 − \sin^2\theta)\)

 (三角比の相互関係)

\(= \sin\theta − 2\sin^3\theta + 2\sin\theta − 2\sin^3\theta\)

\(\color{red}{= 3\sin\theta − 4\sin^3\theta}\)

 

 

\(\color{red}{\cos3\theta}\)

\(= \cos(\theta + 2\theta)\)

\(= \cos\theta\cos2\theta − \sin\theta\sin2\theta\)

 (加法定理)

\(= \cos\theta(2\cos^2\theta − 1) − \sin\theta \cdot 2\sin\theta\cos\theta\)

 (二倍角の定理)

\(= 2\cos^3\theta − \cos\theta − 2\sin^2\theta\cos\theta\)

\(= 2\cos^3\theta − \cos\theta − 2(1 − \cos^2\theta)\cos\theta\)

 (三角比の相互関係)

\(= 2\cos^3\theta − \cos\theta − 2\cos\theta + 2\cos^3\theta\)

\(\color{red}{= −3\cos\theta + 4\cos^3\theta}\)

 

(証明終わり)

このように導けました。

三倍角の公式の証明そのものが問題として出ることもあるので、一連の流れは理解しておきましょう。

 

三倍角の公式の練習問題

それでは、三倍角の公式の練習問題を解いていきましょう。

練習問題①「sin 3α, cos 3α を求める」

練習問題①

\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{1}{3}\) のとき、\(\sin3\alpha\), \(\cos3\alpha\) を求めよ。ただし、\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) とする。

 

まず \(\sin\alpha\) の値を求め、それから三倍角の公式を使っていきます。

\(\alpha\) の範囲に注意して、符号を間違えないようにしましょう。

解答

 

\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) より、\(\sin\alpha < 0\)

 

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) より、

\(\begin{align} \sin^2\alpha &= 1 − \cos^2\alpha \\ &= 1 − \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{1}{9} \\ &= \frac{8}{9} \end{align}\)

 

\(\sin\alpha < 0\) より

\(\displaystyle \sin\alpha = −\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

三倍角の公式より

\(\begin{align} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha − 4\sin^3\alpha \\ &= 3 \left( −\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) − 4 \left( −\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^3 \\ &= −2\sqrt{2} + \frac{64\sqrt{2}}{27} \\ &= \frac{−54\sqrt{2} + 64\sqrt{2}}{27} \\ &= \frac{10\sqrt{2}}{27} \end{align}\)

 

\(\begin{align} \cos3\alpha &= −3\cos\alpha + 4\cos^3\alpha \\ &= −3 \cdot \frac{1}{3} + 4 \left( \frac{1}{3} \right)^3 \\ &= −1 + \frac{4}{27} \\ &= \frac{−27 + 4}{27} \\ &= −\frac{23}{27} \end{align}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \sin3\alpha = \frac{10\sqrt{2}}{27}}\)\(\color{red}{\displaystyle \cos3\alpha = −\frac{23}{27}}\)

 

練習問題②「sin 3θ, cos 3θ, tan 3θ を求める」

練習問題②

\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle \sin\theta = \frac{3}{5}\) のとき、\(\sin3\theta\), \(\cos3\theta\), \(\tan3\theta\) を求めよ。

 

まず \(\cos\theta\) の値を求め、それから三倍角の公式を使っていきます。

\(\tan3\theta\) は、三角比の相互関係から求められますね。

解答

 

\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) より、\(\cos\theta > 0\)

 

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より、

\(\begin{align} \cos^2\theta &= 1 − \sin^2\theta \\ &= 1 − \left( \frac{3}{5} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{9}{25} \\ &= \frac{16}{25} \end{align}\)

 

\(\cos\theta > 0\) より

\(\displaystyle \cos\theta = \frac{4}{5}\)

 

三倍角の公式より

\(\begin{align} \sin3\theta &= 3\sin\theta − 4\sin^3\theta \\ &= 3 \cdot \frac{3}{5} − 4 \left( \frac{3}{5} \right)^3 \\ &= \frac{9}{5} − \frac{108}{125} \\ &= \frac{225 − 108}{125} \\ &= \frac{117}{125} \end{align}\)

 

\(\begin{align} \cos3\theta &= −3\cos\theta + 4\cos^3\theta \\ &= −3 \cdot \frac{4}{5} + 4 \left( \frac{4}{5} \right)^3 \\ &= −\frac{12}{5} + \frac{256}{125} \\ &= \frac{−300 + 256}{125} \\ &= −\frac{44}{125} \end{align}\)

 

三角比の相互関係より

\(\begin{align} \tan3\theta &= \frac{\sin3\theta}{\cos3\theta} \\ &= \frac{\frac{117}{125}}{−\frac{44}{125}} \\ &= −\frac{117}{44} \end{align}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \sin3\theta = \frac{117}{125}}\)\(\color{red}{\displaystyle \cos3\theta = −\frac{44}{125}}\)\(\color{red}{\displaystyle \tan3\theta = −\frac{117}{44}}\)

以上で三倍角の公式の解説は終わりです。

 

意外とよく使う公式なので、しっかりマスターしてくださいね!

補足

三角関数に関するほかの定理や公式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてください!

三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

 

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