二倍角の公式とは?覚え方(語呂合わせ)や問題での使い方

この記事では「二倍角の公式」について、語呂合わせによる覚え方や問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

二倍角の公式は加法定理から簡単に導けるので、ぜひマスターしましょう!

 

二倍角の公式とは?

二倍角の公式とは、ある角の \(\bf{2}\) 倍の角度の三角関数の値を求められる公式です。

二倍角の公式
  • 正弦(sin)
    \begin{align}\color{red}{\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta}\end{align}
  • 余弦(cos)
    \begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &\color{red}{= \cos^2\theta − \sin^2\theta} \\ &\color{red}{= 1 − 2\sin^2\theta} \\ &\color{red}{= 2\cos^2\theta − 1} \end{align}
  • 正接(tan)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}}\end{align}

\(2\theta\) の三角関数を \(\theta\) の三角関数で表すことができていますね。

\(\cos\) の二倍角の公式は、三角比の相互関係 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) から \(3\) 通りの表し方ができます。

 

二倍角の公式の覚え方【語呂合わせ】

ここでは、\(\sin\) と \(\cos\) の二倍角の公式の語呂合わせを紹介します。

なお、二倍角の公式は加法定理から一瞬で導出できるため(やり方はコチラ)、わざわざ語呂で覚えるのはオススメしません。

sin の二倍角の公式の語呂合わせ

菜園咲いたコスモス

\(\color{skyblue}{\sin2\theta} = \color{red}{2}\color{skyblue}{\sin\theta}\color{limegreen}{\cos\theta}\)

 

cos の二倍角の公式の語呂合わせ

こす兄こす爺信じない

\(\color{limegreen}{\cos2\theta} = \color{limegreen}{\cos^2\theta} \color{red}{−} \color{skyblue}{\sin^2\theta}\)

 

これだけ覚えておくと、\(\tan\) の公式は三角比の相互関係から簡単に導けます。

\(\begin{align} \tan2\theta &= \frac{\sin2\theta}{\cos2\theta} \\ &= \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta − \sin^2\theta} \end{align}\)

 

分母・分子を \(\cos^2\theta\) で割ると

\(\displaystyle \frac{2 \left( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right)}{1 − \left( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right)^2} = \color{red}{\frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}}\)

 

二倍角の公式の証明

二倍角の公式は、加法定理から簡単に導けます。

加法定理

  • \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)
  • \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)
  • \(\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}\)
加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題

 

加法定理において「\(\alpha = \beta = \theta\)」とおくだけで二倍角の公式が導けます。

証明

 

加法定理より、

\(\begin{align}\color{red}{\sin2\theta \ } &= \sin(\theta + \theta) \\&= \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\&\color{red}{= 2\sin\theta\cos\theta}\end{align}\)

 

\(\begin{align}\color{red}{\cos2\theta \ } &= \cos(\theta + \theta) \\&= \cos\theta\cos\theta − \sin\theta\sin\theta \\&\color{red}{= \cos^2\theta − \sin^2\theta}\end{align}\)

 

ここで、\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より、

\(\cos^2\theta = 1 − \sin^2\theta\) …①

\(\sin^2\theta = 1 − \cos^2\theta\) …②

 

①を \(\cos2\theta = \cos^2\theta − \sin^2\theta\) に代入して、

\(\begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &= (1 − \sin^2\theta) − \sin^2\theta \\&\color{red}{= 1 − 2\sin^2\theta} \end{align}\)

 

②を \(\cos2\theta = \cos^2\theta − \sin^2\theta\) に代入して、

\(\begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &= \cos^2\theta − (1 − \cos^2\theta)  \\&\color{red}{= 2\cos^2\theta − 1} \end{align}\)

 

加法定理より、

\(\begin{align} \color{red}{\tan2\theta \ } &= \tan(\theta + \theta) \\&= \frac{\tan\theta + \tan\theta}{1 − \tan\theta\tan\theta} \\&\color{red}{=\frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}} \end{align}\)

 

(証明終わり)

このように導けました。

加法定理で角度を書き換えるだけなので、慣れれば一瞬で導けます。

 

二倍角の公式の練習問題

それでは、二倍角の公式を使う練習をしましょう。

練習問題①「sin α から二倍角の値を求める」

練習問題①

\(\displaystyle \sin\alpha = −\frac{1}{3}\) のとき、\(\sin2\alpha\), \(\cos2\alpha\), \(\tan2\alpha\) を求めよ。ただし、\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) とする。

 

まず \(\cos\alpha\) の値を求め、それから二倍角の公式を使います。

\(\alpha\) の範囲に注意して、符号を間違えないようにしましょう。

解答

 

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) より、

\(\begin{align} \cos^2\alpha &= 1 − \sin^2\alpha \\ &= 1 − \left( −\frac{1}{3} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{1}{9} \\ &= \frac{8}{9} \end{align}\)

\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) より、 \(\cos\alpha > 0\) であるから

\(\displaystyle \cos\alpha = +\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \left( −\frac{1}{3} \right) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ &= −\frac{4\sqrt{2}}{9} \end{align}\)

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align} \cos2\alpha &= 1 − 2\sin^2\alpha \\ &= 1 − 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{2}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{align}\)

 

\(\begin{align} \tan2\alpha &= \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} \\ &= \frac{−\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} \\ &= −\frac{4\sqrt{2}}{7} \end{align}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \sin2\alpha = −\frac{4\sqrt{2}}{9}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \cos2\alpha = \frac{7}{9}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \tan2\alpha = −\frac{4\sqrt{2}}{7}}\)

 

練習問題②「tan θ から tan 2θ を求める」

練習問題②

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)、\(\displaystyle \tan\theta = −\frac{2}{\sqrt{3}}\) のとき、\(\tan2\theta\) を求めよ。

 

\(\tan\) の二倍角の公式で、簡単に求められますね。

解答

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align}\displaystyle \tan2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}\\ &= \frac{2 \left( −\frac{2}{\sqrt{3}} \right)}{1 − \left( −\frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2}\\ &= \frac{−\frac{4}{\sqrt{3}}}{1 − \frac{4}{3}}\\ &= \frac{−\frac{4}{\sqrt{3}}}{−\frac{1}{3}}\\ &= −\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (−3)\\&= 4\sqrt3\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\tan2\theta = 4\sqrt{3}}\)

 

練習問題③「cos θ と cos 2θ の不等式を解く」

練習問題③

\(0 \leq \theta < 2\pi\) のとき、\(\cos2\theta \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\) を解け。

 

\(\cos\) の二倍角の公式を使って、不等式の変数が \(\cos\theta\) だけになるようにしましょう。

解答

 

\(\cos\theta\) のとりうる範囲は

\(−1 \leq \cos\theta \leq 1\) …①

 

\(\cos2\theta \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\) において、

二倍角の公式より

\(2\cos^2\theta − 1 \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\)

\(2\cos^2\theta − \sqrt{3} \cos\theta − 3 \leq 0\)

\((\cos\theta − \sqrt{3})(2\cos\theta + \sqrt{3}) \leq 0\)

\(\displaystyle −\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \cos\theta \leq \sqrt{3}\)

 

①との共通範囲は

\(\displaystyle −\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \cos\theta \leq 1\)

 

よって、

\(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi, \displaystyle \frac{7}{6}\pi \leq \theta < 2\pi\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi, \displaystyle \frac{7}{6}\pi \leq \theta < 2\pi}\)

以上で二倍角の公式の解説は終わりです。

 

二倍角の公式はよく使うので、繰り返し練習してマスターしてくださいね。

補足

三角関数に関するほかの定理や公式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてください!

三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

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