二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)と証明、問題での使い方

この記事では「二倍角の公式」について、語呂合わせによる覚え方や証明方法(導き方)、問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

二倍角の公式は加法定理から簡単に導けるので、ぜひマスターしましょう!

 

二倍角の公式とは?

二倍角の公式とは、ある角の \(2\) 倍の角度の三角関数の値を求める公式です。

二倍角の公式
  • 正弦(sin)
    \begin{align}\color{red}{\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta}\end{align}
  • 余弦(cos)
    \begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &\color{red}{= \cos^2\theta − \sin^2\theta} \\ &\color{red}{= 1 − 2\sin^2\theta} \\ &\color{red}{= 2\cos^2\theta − 1} \end{align}
  • 正接(tan)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}}\end{align}

\(2\theta\)(\(\theta\) の \(2\) 倍)の三角関数を \(\theta\) の三角関数で表すことができていますね。

\(\cos\) の二倍角の公式は、三角比の相互関係 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) から \(3\) 通りの表し方ができます。

 

二倍角の公式の覚え方【語呂合わせ】

ここでは、二倍角の公式の語呂合わせによる覚え方を紹介します。

なお、二倍角の公式は加法定理から一瞬で導出できるため、わざわざ語呂で覚えるのはオススメしません(→ 二倍角の公式の導き方【証明】)。

二倍角公式の語呂合わせ
  • \(\sin\) の二倍角公式

菜園咲いたコスモス

\(\color{skyblue}{\sin2\theta} = \color{red}{2}\color{skyblue}{\sin\theta}\color{limegreen}{\cos\theta}\)

 

  • \(\cos\) の二倍角公式

こす兄こす爺信じない

\(\color{limegreen}{\cos2\theta} = \color{limegreen}{\cos^2\theta} \color{red}{−} \color{skyblue}{\sin^2\theta}\)

 

  • \(\tan\) の二倍角公式

単に 1 マイタンジ2 タン

\(\displaystyle \color{orange}{\tan2\theta} = \frac{\color{limegreen}{2\tan\theta}}{\color{red}{1 − \tan^2\theta}}\)

 

 

二倍角の公式の導き方【証明】

二倍角の公式は、加法定理において \(\alpha\) と \(\beta\) を同じ角度 \((= \theta)\) とするだけで簡単に導くことができます。

加法定理

  • \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
  • \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta − \sin\alpha\sin\beta\)
  • \(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 − \tan\alpha\tan\beta}\)

sin の二倍角の公式の証明

証明

 

加法定理より、

\(\begin{align}\color{red}{\sin2\theta \ } &= \sin(\theta + \theta) \\&= \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\&\color{red}{= 2\sin\theta\cos\theta}\end{align}\)

 

(証明終わり)

cos の二倍角の公式の証明

証明

 

加法定理より、

\(\begin{align}\color{red}{\cos2\theta \ } &= \cos(\theta + \theta) \\&= \cos\theta\cos\theta − \sin\theta\sin\theta \\&\color{red}{= \cos^2\theta − \sin^2\theta}\end{align}\)

 

ここで、三角比の相互関係 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) から

\(\cos^2\theta = 1 − \sin^2\theta\) …①

\(\sin^2\theta = 1 − \cos^2\theta\) …②

 

①を \(\cos2\theta = \cos^2\theta − \sin^2\theta\) に代入して、

\(\begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &= (1 − \sin^2\theta) − \sin^2\theta \\&\color{red}{= 1 − 2\sin^2\theta} \end{align}\)

 

②を \(\cos2\theta = \cos^2\theta − \sin^2\theta\) に代入して、

\(\begin{align} \color{red}{\cos2\theta \ } &= \cos^2\theta − (1 − \cos^2\theta)  \\&\color{red}{= 2\cos^2\theta − 1} \end{align}\)

 

(証明終わり)

tan の二倍角の公式の証明

証明

 

加法定理より、

\(\begin{align} \color{red}{\tan2\theta \ } &= \tan(\theta + \theta) \\&= \frac{\tan\theta + \tan\theta}{1 − \tan\theta\tan\theta} \\&\color{red}{=\frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}} \end{align}\)

 

(証明終わり)

加法定理の角度を書き換えるだけなので、慣れれば一瞬で導けます。

三角関数はただでさえ公式が多いので、無理に丸暗記しないことも大切ですよ。

 

二倍角の公式の使い方

二倍角の公式は、次のような場面で役に立ちます。

  • 値が既知の三角関数を使って、その二倍角の三角関数の値を求めたい
    練習問題①練習問題②
  • 三角関数の種類や角度をそろえたり、次数を下げたりしたい
    (三角関数の方程式・不等式・微分積分の問題など)
    練習問題③

対応する練習問題を解いて、二倍角の公式の使い方をマスターしましょう。

練習問題①「sin α から 2α の三角関数を求める」

練習問題①

\(\displaystyle \sin\alpha = −\frac{1}{3}\) のとき、\(\sin2\alpha\), \(\cos2\alpha\), \(\tan2\alpha\) を求めよ。ただし、\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) とする。

 

まず \(\cos\alpha\) の値を求め、それから二倍角の公式を使います。

\(\alpha\) の範囲に注意して、符号を間違えないようにしましょう。

解答

 

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) より、

\(\begin{align} \cos^2\alpha &= 1 − \sin^2\alpha \\ &= 1 − \left( −\frac{1}{3} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{1}{9} \\ &= \frac{8}{9} \end{align}\)

\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\) より、 \(\cos\alpha > 0\) であるから

\(\displaystyle \cos\alpha = +\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \left( −\frac{1}{3} \right) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ &= −\frac{4\sqrt{2}}{9} \end{align}\)

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align} \cos2\alpha &= 1 − 2\sin^2\alpha \\ &= 1 − 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{2}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{align}\)

 

\(\begin{align} \tan2\alpha &= \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} \\ &= \frac{−\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} \\ &= −\frac{4\sqrt{2}}{7} \end{align}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \sin2\alpha = −\frac{4\sqrt{2}}{9}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \cos2\alpha = \frac{7}{9}}\)

\(\color{red}{\displaystyle \tan2\alpha = −\frac{4\sqrt{2}}{7}}\)

 

練習問題②「tan θ から tan 2θ を求める」

練習問題②

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)、\(\displaystyle \tan\theta = −\frac{2}{\sqrt{3}}\) のとき、\(\tan2\theta\) を求めよ。

 

\(\tan\) の二倍角の公式で、簡単に求められますね。

解答

 

二倍角の公式より、

\(\begin{align}\displaystyle \tan2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1 − \tan^2\theta}\\ &= \frac{2 \left( −\frac{2}{\sqrt{3}} \right)}{1 − \left( −\frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2}\\ &= \frac{−\frac{4}{\sqrt{3}}}{1 − \frac{4}{3}}\\ &= \frac{−\frac{4}{\sqrt{3}}}{−\frac{1}{3}}\\ &= −\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (−3)\\&= 4\sqrt3\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\tan2\theta = 4\sqrt{3}}\)

 

練習問題③「cos θ と cos 2θ の不等式を解く」

練習問題③

\(0 \leq \theta < 2\pi\) のとき、\(\cos2\theta \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\) を解け。

 

\(\cos\) の二倍角の公式を使って、不等式の変数が \(\cos\theta\) だけになるように式変形するのがポイントです。

解答

 

\(\cos\theta\) のとりうる範囲は

\(−1 \leq \cos\theta \leq 1\) …①

 

\(\cos2\theta \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\) において、

二倍角の公式より

\(2\cos^2\theta − 1 \leq \sqrt{3} \cos\theta + 2\)

\(2\cos^2\theta − \sqrt{3} \cos\theta − 3 \leq 0\)

\((\cos\theta − \sqrt{3})(2\cos\theta + \sqrt{3}) \leq 0\)

\(\displaystyle −\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \cos\theta \leq \sqrt{3}\)

 

①との共通範囲は

\(\displaystyle −\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \cos\theta \leq 1\)

 

よって、

\(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi, \displaystyle \frac{7}{6}\pi \leq \theta < 2\pi\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi, \displaystyle \frac{7}{6}\pi \leq \theta < 2\pi}\)

以上で二倍角の公式の解説は終わりです。

 

二倍角の公式はよく使うので、繰り返し練習してマスターしてくださいね。

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