半角の公式の覚え方(語呂合わせ)と証明、問題での使い方

この記事では三角関数の「半角の公式」について、語呂合わせによる覚え方や証明方法(導き方)、問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

公式の導き方さえ理解すれば簡単な内容なので、ぜひマスターしましょう!

 

半角の公式とは?

半角の公式とは、ある角の半分の角度の三角関数の値を求める公式です。

半角の公式
  • 正弦(sin)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{2}}\end{align}
  • 余弦(cos)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}}\end{align}
  • 正接(tan)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{1 + \cos\theta}}\end{align}

\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\) (\(\theta\) の半角)の三角関数を、\(\theta\) の三角関数で表すことができていますね。

左辺は \(2\) 乗であることに注意しましょう。

 

半角の公式の覚え方【語呂合わせ】

半角の公式は二倍角の公式から簡単に導けるため、わざわざ語呂で覚える必要はありません(→ 半角の公式の導き方【証明】)。

ですが、「毎回導くのは嫌だから暗記してしまいたい!」という人向けに、半角の公式の語呂合わせを \(1\) つだけ紹介します(\(\sin\) の公式)。

sin の半角公式の語呂合わせ

シンジ二階へ引っ越す

\(\displaystyle \color{skyblue}{\sin^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{\color{limegreen}{1 − \cos\theta}}{\color{red}{2}}\)

シンジが「\(\sin\) の \(2\) 乗」、二階が「\(2\) の上」、引っ越すが「\(1\) から \(\cos\) を引く」を意味しています。

「半角の公式」だから、左辺が右辺の半角 \(\displaystyle \frac{\theta}{2}\) であることも頭に入れておきましょう。

 

これだけ覚えておくと、\(\cos\), \(\tan\) の公式は三角比の相互関係から簡単に導けます。

  • \(\cos\) の半角公式
    三角比の相互関係より、
    \(\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1\) であるから
    \(\begin{align} \cos^2 \frac{\theta}{2} &= 1 − \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ &= 1 − \frac{1 − \cos\theta}{2} \\ &= \frac{2 − 1 + \cos\theta}{2} \\ &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \end{align}\)

 

  • \(\tan\) の半角公式
    三角比の相互関係より、
     \(\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\) 
    両辺を \(2\) 乗して
    \(\begin{align} \tan^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} \\ &= \frac{1 − \cos\theta}{1 + \cos\theta} \end{align}\)

 

半角の公式の導き方【証明】

半角の公式は、\(\cos\) の二倍角の公式から簡単に導けます。

二倍角の公式(\(\cos\))

\(\begin{align}\cos2\alpha &= \cos^2\alpha − \sin^2\alpha \\ &= 1 − 2\sin^2\alpha \\ &= 2\cos^2\alpha − 1 \end{align}\)

二倍角の公式は「左辺の角度が右辺の二倍角」です。

両辺の三角関数を入れ替えれば「左辺の角度が右辺の半角」、すなわち半角の公式のできあがりです。

ここでは角度の表記を \(\displaystyle \alpha = \frac{\theta}{2}\) におき直しますが、\(\alpha\) のままでも大丈夫ですよ。

sin の半角の公式の証明

証明

 

二倍角の公式 \(\cos2\alpha = 1 − 2\sin^2\alpha\) より、

\(2\sin^2\alpha = 1 − \cos2\alpha\)

\(\displaystyle \sin^2\alpha = \frac{1 − \cos2\alpha}{2}\)

ここで、\(\displaystyle \alpha = \frac{\theta}{2}\) とおくと

\(\color{red}{\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 − \cos\theta}{2}}\)

 

(証明終わり)

cos の半角の公式の証明

証明

 

二倍角の公式 \(\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha − 1\) より、

\(2\cos^2\alpha = 1 + \cos2\alpha\)

\(\displaystyle \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}\)

ここで、\(\displaystyle \alpha = \frac{\theta}{2}\) とおくと

\(\color{red}{\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}}\)

 

(証明終わり)

tan の半角の公式の証明

証明

 

三角比の相互関係より、

\(\begin{align}\displaystyle \color{red}{\tan^2 \frac{\theta}{2}} &= \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}\\&= \frac{\frac{1 − \cos\theta}{2}}{\frac{1 + \cos\theta}{2}}\\&\color{red}{= \frac{1 − \cos\theta}{1 + \cos\theta}}\end{align}\)

 

(証明終わり)

三角関数はただでさえ公式が多いので、簡単に導けるものは無理に丸暗記せず、自分で導けるとよいでしょう。

 

半角の公式の使い方

半角の公式は、次のような場面で役に立ちます。

  • 値が既知の三角関数を使って、その半角の三角関数の値を求めたい
    有名角の半角 → 練習問題①練習問題②
    \(\theta\) の半角 \(\displaystyle \frac{\theta}{2}\) → 練習問題③
  • 三角関数の種類や角度をそろえたり、次数を下げたりしたい
    (三角関数の方程式・不等式・微分積分の問題など)
    練習問題④(数IIIの内容)

対応する練習問題を解いて、半角の公式の使い方をマスターしましょう。

練習問題①「sin 15°, cos 15° を求める」

練習問題①

\(\sin 15^\circ\), \(\cos 15^\circ\) をそれぞれ求めよ。

 

この問題は加法定理でも解けますが、今回は半角の公式で解いてみましょう。

半角の公式では三角関数の \(2\) 乗が出てくるため、角度と値の正負を必ず確認してくださいね。

解答

 

半角の公式より、

\(\begin{align} \sin^2 15^\circ &= \frac{1 − \cos30^\circ}{2} \\ &= \frac{1 − \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \\ &= \frac{2 −  \sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{4 − 2\sqrt{3}}{8} \\ &= \frac{(\sqrt{3} − 1)^2}{8} \end{align}\)

 

\(\sin15^\circ > 0\) より、

\(\begin{align} \sin15^\circ &= \frac{\sqrt{3} − 1}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6} − \sqrt{2}}{4} \end{align}\)

 

 

半角の公式より、

\(\begin{align} \cos^2 15^\circ &= \frac{1 + \cos30^\circ}{2} \\ &= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \\ &= \frac{2 +  \sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{8} \\ &= \frac{(\sqrt3 + 1)^2}{8} \end{align}\)

 

\(\cos15^\circ > 0\) より、

\(\begin{align} \cos15^\circ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{align}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle \sin15^\circ = \frac{\sqrt{6} − \sqrt{2}}{4}}\)\(\color{red}{\displaystyle \cos15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\)

 

練習問題②「tan 3/8 π を求める」

練習問題②

\(\displaystyle \tan \frac{3}{8}\pi\) を求めよ。

 

この問題も半角の公式で解いてみましょう。

\(\displaystyle \frac{3}{8}\pi\) は \(\displaystyle \frac{3}{4}\pi\) の半分ですね。

解答

 

半角の公式より、

\(\begin{align}\displaystyle \tan^2 \frac{3}{8}\pi &= \frac{1 − \cos \frac{3}{4}\pi}{1 + \cos \frac{3}{4}\pi}\\&= \frac{1 − \left( −\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{1 + \left( −\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\\&= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 − \sqrt{2}}\\&= \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 − \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}\\&= \frac{(2 + \sqrt2)^2}{4 − 2}\\&= \frac{(2 + \sqrt2)^2}{2}\end{align}\)

 

\(\displaystyle \tan \frac{3}{8}\pi > 0\) より、

\(\displaystyle \tan \frac{3}{8}\pi = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \tan \frac{3}{8}\pi = \sqrt{2} + 1}\)

 

練習問題③「cos θ/2, sin θ/2 を求める」

練習問題③

\(\pi < \theta < 2\pi\)、\(\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{3}\) のとき、\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}\)、\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}\) を求めよ。

 

\(\cos\theta\) の値がわかっているので、半角の公式が使えます。

与えられた \(\theta\) の範囲から \(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}\)、\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}\) のとれる値の範囲が決まっていることに注意しましょう。

解答

 

\(\pi < \theta < 2\pi\) より、\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \pi\)

よって \(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} > 0\)、\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} < 0\)

 

半角の公式より、

\(\begin{align} \sin^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 − \cos\theta}{2} \\ &= \frac{1 − \frac{1}{3}}{2} \\ &= \frac{\frac{2}{3}}{2} \\ &= \frac{1}{3} \end{align}\)

 

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} > 0\) より

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

 

半角の公式より、

\(\begin{align} \cos^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \\ &= \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} \\ &= \frac{\frac{4}{3}}{2} \\ &= \frac{2}{3} \end{align}\)

 

\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} < 0\) より

\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} = −\sqrt{\frac{2}{3}} = −\frac{\sqrt{6}}{3}\)

 

答え: 

\(\color{red}{\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\)\(\color{red}{\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} = −\frac{\sqrt{6}}{3}}\)

 

練習問題④「\(\sin^2 x\) の不定積分」

この問題には数IIIで習う三角関数の積分の知識が必要です。

練習問題④

不定積分 \(\displaystyle \int \sin^2 x \ dx\) を求めよ。

 

三角関数とべき乗関数の合成関数は、積分のときには避けたい形です。

ここでは、半角の公式を使って次数を下げると積分しやすくなります。

解答

 

半角の公式より、

\(\begin{align}\displaystyle \int \sin^2 x \ dx &= \int \frac{1 − \cos 2x}{2} \ dx \\&= \frac{1}{2} \int (1 − \cos 2x) \ dx \\&= \frac{1}{2} \left(x − \frac{1}{2}\sin 2x \right) + C\\&= \frac{1}{2}x − \frac{1}{4}\sin 2x + C\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{2}x − \frac{1}{4}\sin 2x + C}\)(\(C\) は積分定数)

以上で解説は終わりです。

 

半角の公式は簡単に導出できるので、練習を重ねてぜひマスターしてくださいね!

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