二点間の距離とは?公式(数直線・平面・空間)や計算問題

この記事では、「二点間の距離」について、一次元、二次元、三次元それぞれの公式をわかりやすく解説していきます。

平面・空間座標の問題も取り上げていますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

二点間の距離とは?

二点間の距離とは、\(2\) 点 \(\mathrm{A, B}\) があるとき、その距離(線分 \(\mathrm{AB}\) の長さ)のことをいいます。

一次元(数直線上)、二次元(座標平面上)、三次元(座標空間上)のすべてにおいて、二点間の距離を表す公式があります。

次の章から \(1\) つずつ解説していきます。

  • 数直線
    直線(\(x\) 軸)上に数を対応させたもの。点の座標は \((x)\) で表せる。
  • 座標平面
    直行する \(x\) 軸と \(y\) 軸からなる平面。点の座標は \((x, y)\) で表せる。
  • 座標空間
    直行する \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸からなる空間。点の座標は \((x, y, z)\) で表せる。

 

【公式①】数直線上の二点間の距離

まず最初に、数直線上(一次元)における二点間の距離の公式です。

二点間の距離(一次元)

数直線上に \(2\) 点 \(\mathrm{A}(a)\), \(\mathrm{B}(b)\) があるとき、二点間の距離 \(\mathrm{AB}\) は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} = |b − a|}\end{align}

 

特に、原点 \(\mathrm{O}(0)\) と点 \(\mathrm{A}(a)\) の二点間の距離は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{OA} = |a|}\end{align}

つまり、数直線上の二点間の距離は差の絶対値の大きさとなりますね。

 

例題「点 A(8), B(5) の距離を求める」

では、例題で公式の使い方を確認しましょう。

例題

点 \(\mathrm{A}(8)\) と点 \(\mathrm{B}(5)\) の距離 \(\mathrm{AB}\) を求めなさい。

 

公式に当てはめます。

ちなみに、絶対値があるのでどちらからどちらを引いても構いません

解答

 

\(\begin{align} \mathrm{AB} &= |b − a| \\ &= |5 − 8| \\ &= |−3| \\ &= 3 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{AB} = 3}\)

 

【公式②】平面上の二点間の距離

次に、平面上(二次元)における二点間の距離の公式です。

二点間の距離(二次元)

座標平面上に \(2\) 点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\) があるとき、二点間の距離 \(\mathrm{AB}\) は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2}}\end{align}

 

特に、原点 \(\mathrm{O}(0, 0)\) と点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\) の二点間の距離は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{OA} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}\end{align}

 

この公式は、三平方の定理から導かれます。

線分 \(\mathrm{AB}\) を斜辺とする直角三角形 \(\mathrm{ABC}\) を考えると公式の意味がはっきりしますね。

点 \(\mathrm{C}(x_2, y_1)\) とおく。

 

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{AB}^2 &= \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2 \\ &= (x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2 \end{align}\)

 

\(\mathrm{AB} > 0\) より、

\(\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2}}\)

このように、図とともに理解しておくとより定着しますよ!

補足

「三平方の定理」については以下の記事で説明しています。

三平方の定理とは?証明や計算問題、角度と辺の比の一覧

 

例題「点 A(4, 3), B(7, 5) の距離を求める」

では、実際に例題を解いてみましょう。

例題

点 \(\mathrm{A}(4, 3)\) と点 \(\mathrm{B}(7, 5)\) の距離 \(\mathrm{AB}\) を求めなさい。

 

公式に当てはめてみましょう。

解答

 

\(\begin{align} \mathrm{AB} &= \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2} \\ &= \sqrt{(7 − 4)^2 + (5 − 3)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{9 + 4} \\ &= \sqrt{13} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{13}}\)

 

【公式③】空間上の二点間の距離

では最後に、空間上(三次元)における二点間の距離の公式です。

二点間の距離(三次元)

座標空間上に \(2\) 点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)\), \(\mathrm{B}(x_2, y_2, z_2)\) があるとき、二点間の距離 \(\mathrm{AB}\) は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2 + (z_2 − z_1)^2}}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

特に、原点 \(\mathrm{O}(0, 0, 0)\) と点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)\) の二点間の距離は

\begin{align}\color{red}{\mathrm{OA} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}}\end{align}

 

座標空間でも、三平方の定理で \(\mathrm{AB}\) 間の距離を求めています。

平面での考え方とまったく同じです。

(見切れる場合は横へスクロール)

 

点 \(\mathrm{C}(x_2, y_1, z_2)\) とおく。

 

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) において、三平方の定理より

\(\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2\)

 

ここで、

\(\mathrm{AC}^2 = (x_2 − x_1)^2 + (z_2 − z_1)^2\)

\(\mathrm{BC}^2 = (y_2 − y_1)^2\)

であるから

\(\begin{align}\mathrm{AB}^2 &= \{(x_2 − x_1)^2 + (z_2 − z_1)^2\} + (y_2 − y_1)^2 \\&= (x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2 + (z_2 − z_1)^2\end{align}\)

 

\(\mathrm{AB} > 0\) より、

\(\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2 + (z_2 − z_1)^2}}\)

 

例題「点 A(4, 3, 2), B(1, 1, 4) の距離を求める」

では、実際に例題を解いてみましょう。

例題

点 \(\mathrm{A}(4, 3, 2)\) と点 \(\mathrm{B}(1, 1, 4)\) の距離 \(\mathrm{AB}\) を求めなさい。

 

公式に当てはめましょう。引く順番が入れ替わらないように注意してくださいね。

解答

 

\(\mathrm{AB}\)

\(= \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2 + (z_2 − z_1)^2}\)

\(= \sqrt{(1 − 4)^2 + (1 − 3)^2 + (4 − 2)^2}\)

\(= \sqrt{(− 3)^2 + (− 2)^2 + 2^2}\)

\(= \sqrt{9 + 4 + 4}\)

\(= \sqrt{17}\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{17}}\)

 

二点間の距離の計算問題

それでは、二点間の距離を利用する計算問題に挑戦してみましょう!

計算問題①「数直線上の 2 点から等距離にある点」

計算問題①

数直線上において、\(2\) 点 \(\mathrm{A}(7)\), \(\mathrm{B}(−21)\) から等距離にある座標を求めなさい。

 

求めたい点を \(\mathrm{P}\) などと文字でおいて考えましょう。

求める点は \(\mathrm{AB}\) の間に存在することに注意です。

解答

 

求める点を \(\mathrm{P}(p)\) とおくと、

\(\mathrm{AP} = \mathrm{PB}\)

 

\(− 21 < p < 7\) より

\(7 − p = p − (− 21)\)

\(2p = − 14\)

よって \(p =  − 7\)

 

答え: \(\mathrm{P}(− 7)\)

 

計算問題②「平面上の三角形の面積」

計算問題②

頂点 \(\mathrm{A}(2, 2)\)、\(\mathrm{B}(6, 8)\)、\(\mathrm{C}(8, 0)\) からなる \(\triangle \mathrm{ABC}\) があり、頂点 \(\mathrm{B}\) から辺 \(\mathrm{AC}\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{H}\) とおく。

このとき、\(\mathrm{AC}\) と \(\mathrm{BH}\) の長さを使って \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積を求めよ。

 

\(2\) つの直角三角形に注目して、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の底辺 \(\mathrm{AC}\) と高さ \(\mathrm{BH}\) の長さを求めましょう。

Tips

複数の二点間の距離を計算する場合は、途中計算で根号を取らずに \(2\) 乗のまま計算すると楽ですよ!

解答

 

\(\mathrm{A}(2, 2)\)、\(\mathrm{B}(6, 8)\) より、

\(\begin{align} \mathrm{AB}^2 &= (6 − 2)^2 + (8 − 2)^2 \\ &= 4^2 + 6^2 \\ &= 16 + 36 \\ &= 52 \end{align}\)

 

\(\mathrm{B}(6, 8)\)、\(\mathrm{C}(8, 0)\) より、

\(\begin{align} \mathrm{BC}^2 &= (8 − 6)^2 + (0 − 8)^2 \\ &= 2^2 + (− 8)^2 \\ &= 4 + 64 \\ &= 68 \end{align}\)

 

\(\mathrm{A}(2, 2)\)、\(\mathrm{C}(8, 0)\) より、

\(\begin{align} \mathrm{AC}^2 &= (8 − 2)^2 + (0 − 2)^2 \\ &= 6^2 + (− 2)^2 \\ &= 36 + 4 \\ &= 40 \end{align}\)

\(\mathrm{AC} > 0\) より \(\mathrm{AC} = 2\sqrt{10}\)

 

ここで、

\(\begin{align}\mathrm{HC} &= \mathrm{AC} − \mathrm{AH} \\ &= 2\sqrt{10} − \mathrm{AH}\end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABH}\) において、三平方の定理より

\(\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2\)

\(52 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2\) …①

 

\(\triangle \mathrm{BCH}\) において、三平方の定理より

\(\mathrm{BC}^2 = \mathrm{BH}^2 + \mathrm{HC}^2\)

\(68 = \mathrm{BH}^2 + (2\sqrt{10} − \mathrm{AH})^2\)

\(68 = \mathrm{BH}^2 + 40 − 4\sqrt{10} \mathrm{AH} + \mathrm{AH}^2\)

\(28 = \mathrm{BH}^2 − 4\sqrt{10} \mathrm{AH} + \mathrm{AH}^2\) …②

 

① − ② より

\(24 = 4\sqrt{10} \mathrm{AH}\)

\(\begin{align} \mathrm{AH} &= \frac{24}{4\sqrt{10}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{10}} \\ &= \frac{6\sqrt{10}}{10} \\ &= \frac{3\sqrt{10}}{5} \end{align}\)

 

① より

\(\begin{align} \mathrm{BH}^2 &= 52 − \mathrm{AH}^2 \\ &= 52 − \frac{90}{25} \\ &= 52 − \frac{18}{5} \\ &= \frac{260 − 18}{5} \\ &= \frac{242}{5} \end{align}\)

 

\(\mathrm{BH} > 0\) より

\(\begin{align} \mathrm{BH} &= \sqrt{\frac{242}{5}} \\ &= \sqrt{\frac{484}{10}} \\ &= \frac{22}{\sqrt{10}} \\ &= \frac{22\sqrt{10}}{10} \\ &= \frac{11\sqrt{10}}{5} \end{align}\)

 

したがって、

\(\begin{align} \triangle \mathrm{ABC} &= \frac{1}{2} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BH} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \frac{11\sqrt{10}}{5} \\ &= \frac{11 \cdot 10}{5} \\ & = 22 \end{align}\)

 

答え: \(22\)

 

計算問題③「空間上の 3 点から等距離にある点」

計算問題③

\(xy\) 平面上にあって、\(3\) 点 \(\mathrm{A}(2, −3, 1)\)、\(\mathrm{B}(0, 4, 2)\)、\(\mathrm{C}(2, 4, 0)\) から等距離にある座標を求めなさい。

 

\(xy\) 平面上の点は \(z\) 座標が \(0\) です。

求めたい点を \(\mathrm{P}(x, y, 0)\) とおいて、二点間の距離の公式を利用しましょう。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

求める点を点 \(\mathrm{P}(x, y, 0)\) とおく。

 

二点間の距離の公式から、

\(\begin{align} \mathrm{PA}^2 &= (x − 2)^2 + \{y − (−3)\}^2 + (0 − 1)^2 \\ &= x^2 − 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + 1 \\ &= x^2 − 4x + y^2 + 6y + 14 \text{ …①}\end{align}\)

 

\(\begin{align} \mathrm{PB}^2 &= (x − 0)^2 + (y − 4)^2 + (0 − 2)^2 \\ &= x^2 + y^2 − 8y + 16 + 4 \\ &= x^2 + y^2 − 8y + 20 \text{ …②}\end{align}\)

 

\(\begin{align} \mathrm{PC}^2 &= (x − 2)^2 + (y − 4)^2 + (0 − 0)^2 \\ &= x^2 − 4x + 4 + y^2 − 8y + 16 \\ &= x^2 − 4x + y^2 − 8y + 20 \text{ …③} \end{align}\)

 

\(\mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC}\) より

\(\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2 = \mathrm{PC}^2\) であるから、

 

① = ②より

\(x^2 − 4x + y^2 + 6y + 14 = x^2 + y^2 − 8y +  20\)

\(−2x + 7y − 3 = 0\) …④

 

② = ③より

\(x^2 + y^2 − 8y + 20 = x^2 − 4x + y^2 − 8y + 20\)

\(4x = 0\)

\(x = 0\) …⑤

 

④、⑤より、

\(7y = 3\)

\(\displaystyle y = \frac{3}{7}\)

 

したがって、 \(\displaystyle \mathrm{P} \left( 0, \frac{3}{7}, 0 \right)\)

 

答え: \(\displaystyle \left( 0, \frac{3}{7}, 0 \right)\)

以上で問題も終わりです!

 

二点間の距離について、理解が深まりましたか?

公式としては \(3\) つ出てきましたが、すべて考え方は同じです。

図とともに公式の導き方を理解しておくと、定着しますよ!

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