この記事では、「増減表」の書き方や符号の調べ方をわかりやすく解説していきます。
関数を \(2\) 回微分する意味なども説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね！
目次
増減表とは？
増減表とは、ある関数の増加および減少の様子を表にまとめたものです。
増減表を書くことで、グラフの概形を把握しやすくなります。
増減表の要素
増減表に必ず書くのは、次の要素です。
「変曲点を調べて」「凹凸も調べて」などと指定された場合は、\(f’’(x)\) の行、変曲点の列を追加します。
矢印の向きで関数の凹凸まで表現できます。
それぞれの要素の意味を確認しましょう。
一回微分 f'(x)：関数の増減と極大・極小
一階微分 \(f’(x)\) は関数 \(f(x)\) において傾きを示します。
よって、\(f’(x)\) の符号を調べると「関数 \(f(x)\) の増減」と「極大・極小」がわかります。
関数 \(f(x)\) がある区間で連続で、かつ微分可能であるとき、
- ある区間で常に \(\color{red}{f'(x) > 0}\) ならば、\(f(x)\) はその区間で単調に増加する。
- ある区間で常に \(\color{red}{f'(x) = 0}\) ならば、\(f(x)\) はその区間で一定（定数）である。
- ある区間で常に \(\color{red}{f'(x) < 0}\) ならば、\(f(x)\) はその区間で単調に減少する。
関数 \(f(x)\) において、\(f'(x)\) の符号が
- \(x = a\) の前後で正から負に変わるとき
\(f(x)\) は \(x = a\) で極大になるといい、\(\color{red}{f(a)}\) を「極大値」という。 - \(x = b\) の前後で負から正に変わるとき
\(f(x)\) は \(x = b\) で極小になるといい、\(\color{red}{f(b)}\) を「極小値」という。
極大値と極小値をまとめて「極値」という。
二回微分 f”(x)：関数の凹凸と変曲点
さらに、二階微分 \(f’’(x)\) の符号まで調べると、傾き \(f’(x)\) の増減、つまり「関数 \(f(x)\) の凹凸」と「変曲点」がわかります。
関数 \(y = f(x)\) において、\(f’’(x)\) の符号によってグラフの傾きは次のように変化する。
- \(\color{red}{f’’(x) > 0}\) のとき
接線の傾きが単調に増加する - \(\color{red}{f’’(x) = 0}\) のとき
接線の傾きの符号が切り替わる（変曲点） - \(\color{red}{f’’(x) < 0}\) のとき
接線の傾きが単調に減少する
通常、ただ「グラフを書け」と言われた場合には \(f’’(x)\) まで調べる必要はありません。
「変曲点を調べて」「凹凸も調べて」などと指定されたときだけ、\(f’’(x)\) を調べましょう。
増減表の書き方（作り方）
例題を通して、増減表の書き方を説明していきます。
例題①「増減を調べよ」
まずは、関数の増減だけを調べればよい場合です。
次の関数の増減を調べよ。
\(y = 2x^3 − 3x^2 + 1\)
\(f'(x) = 0\) を満たす \(x\) を求めることで、極値（関数の傾きが \(0\) になる点）をもつかを調べます。
\(y’ = 6x^2 − 6x = 6x(x − 1)\) より、
\(y’ = 0\) のとき、\(x = 0, 1\)（極値の \(x\) 座標）
極値がある場合は、極値における \(x\), \(y\) 座標を求めておきます。
\(x = 0\) のとき \(y = 1\)
\(x = 1\) のとき \(y = 2 − 3 + 1 = 0\)
次のような増減表を用意します。
先ほど求めた極値の \(x\), \(y’\), \(y\) は埋めておきましょう。
極値の前後における \(f’(x)\) の符号を調べます。
符号を調べるときは、適当な \(x\) の値を \(f’(x)\) に代入してみます。
今回は、\(0\) より小さい \(x\)、\(0\) 〜 \(1\) の間の \(x\)、\(1\) より大きい \(x\) を選べばいいですね。
\(x = −1\) のとき \(y’ = 6(−1)(−1 − 1) = 12 > 0\)
\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) のとき \(\displaystyle y’ = 6 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} − 1 \right) = −\frac{3}{2} < 0\)
\(x = 2\) のとき \(y’ = 6 \cdot 2(2 − 1) = 12 > 0\)
\(f’(x)\) が正なら \(2\) 行目に「\(\bf{+}\)」、\(3\) 行目に「\(\bf{\nearrow}\)」を書きます。
\(f’(x)\) が負なら \(2\) 行目に「\(\bf{−}\)」、\(3\) 行目に「\(\bf{\searrow}\)」を書きます。
山の矢印にはさまれたのが「極大」、谷の矢印にはさまれたのが「極小」です。
これで増減表の完成です！
ここからグラフを書く場合は、さらに \(x\) 軸、\(y\) 軸との交点の座標も調べておくとよいでしょう。
ちなみに、以下のようなグラフになります。
例題②「増減、凹凸を調べよ」
続いて、関数の凹凸まで調べる場合です。
次の関数の増減、凹凸を調べよ。
\(y = 2x^3 − 3x^2 + 1\)
この場合は、\(f’’(x)\) まで求める必要がありますね。
増減表に \(f’’(x)\) の行、変曲点 (\(f’’(x) = 0\)) の列を作っておくのがポイントです。
\(f’(x) = 0\) および \(f’’(x) = 0\) となる \(x\) の値を求め、極値および変曲点をもつかを調べます。
\(y’ = 6x^2 − 6x = 6x(x − 1)\)
\(y’ = 0\) のとき、\(x = 0, 1\) （極値の \(x\) 座標）
\(y’’ = 12x − 6 = 6(2x − 1)\)
\(y’’ = 0\) のとき、\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)（変曲点の \(x\) 座標）
極値、変曲点における \(x\), \(y\) 座標は求めておきましょう。
\(x = 0\) のとき \(y = 1\)
\(x = 1\) のとき \(y = 2 − 3 + 1 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) のとき \(\displaystyle y = \frac{1}{4} − \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{2}\)
次のような増減表を用意します。
極値の \(x\), \(y’\), \(y\)、および変曲点の \(x\), \(y’’\), \(y\) は埋めておきましょう。
極値の前後の \(f’(x)\) の符号、および変曲点の前後の \(f’’(x)\) の符号を調べます。
符号を調べるときは、適当な \(x\) の値を代入してみましょう。
\(x = −1\) のとき
\(y’ = 6(−1)(−1 − 1) = 12 > 0\)
\(y’’ = 6\{2(−1) − 1\} = −18 < 0\)
\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) のとき
\(\displaystyle y’ = 6 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} − 1 \right) = −\frac{3}{2} < 0\)
\(x = 2\) のとき
\(y’ = 6 \cdot 2(2 − 1) = 12 > 0\)
\(y’’ = 6\left(2 \cdot 2 − 1\right) = 18 > 0\)
符号を調べるのは、極値前後の \(1\) 点ずつ、変曲点前後の \(1\) 点ずつで十分です。
\(f’(x)\), \(f’’(x)\) の符号から、矢印の向きを決定します。
これで増減表の完成です！
グラフは先ほどと同じになるので、増減表と見比べてみてください。
増減表の練習問題
練習問題①「最大値、最小値を求めよ」
\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 4x + 1\) \((0 \leq x \leq 3)\) の最大値と最小値を求めよ。
定義域のある関数では、増減表の両端を定義域で固定します。
極大値・極小値が最大値・最小値であるとは限らないことに注意しましょう。
\(\begin{align} y’ &= 3x^2 − 8x + 4 \\ &= (3x − 2)(x − 2) \end{align}\)
\(y’ = 0\) のとき \(\displaystyle x = \frac{2}{3}, 2\)
\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\) のとき
\(\begin{align} y &= \frac{8}{27} − \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 1 \\ &= \frac{8 − 48 + 72 + 27}{27} \\ &= \frac{59}{27} \end{align}\)
\(x = 2\) のとき
\(\begin{align} y &= 8 − 16 + 8 + 1 \\ &= 1 \end{align}\)
また、
\(x = 0\) のとき \(y = 1\)
\(x = 3\) のとき \(y = 27 − 36 + 12 + 1 = 4\)
よって、\(0 \leq x \leq 3\) における \(y\) の増減は次のようになる。
したがって、
\(x = 3\) で最大値 \(4\)、\(x = 0, 2\) で最小値 \(1\) をとる。
答え：
最大値 \(\color{red}{4 \,\,(x = 3)}\)、最小値 \(\color{red}{1 \,\,(x = 0, 2)}\)
練習問題②「グラフを書け」
関数 \(y = x + 2\sin x\) \((0 \leq x \leq 2\pi)\) の凹凸と極値を調べ、グラフを書け。
凹凸も必要なので、\(y’’\) まで求めましょう。
\(y’ = 1 + 2\cos x\)
\(y’ = 0\) のとき
\(\displaystyle \cos x = −\frac{1}{2}\)、\(0 \leq x \leq 2\pi\) より
\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi\)
\(\displaystyle 0 \leq x < \frac{2}{3}\pi\) で \(y’ > 0\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\pi < x < \frac{4}{3}\pi\) で \(y’ < 0\)
\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi < x \leq 2\pi\) で \(y’ > 0\)
\(y’’ = −2\sin x\)
\(y’’ = 0\) のとき
\(\sin x = 0\)、\(0 \leq x \leq 2\pi\) より
\(x = 0, \pi, 2\pi\)
\(0 \leq x < \pi\) で \(y’’ < 0\)
\(\pi < x \leq 2\pi\) で \(y’’ > 0\)
また、
\(x = 0\) のとき \(y = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi\) のとき \(\displaystyle y = \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3}\)
（\(\displaystyle \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} ≒ \frac{2}{3} \cdot 3.14 + 1.73 = 3.8\)）
\(x = \pi\) のとき \(y = \pi\)
\(\displaystyle x = \frac{4}{3}\pi\) のとき \(\displaystyle y = \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3}\)
（\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3} ≒ \frac{4}{3} \cdot 3.14 − 1.73 = 2.5\)）
\(x = 2\pi\) のとき \(y = 2\pi\)
よって、\(0 \leq x \leq 2\pi\) における \(y\) の凹凸は次のようになる。
極値およびグラフは次の通り。
答え：
極大値 \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} \,\,\left(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi\right)}\)
極小値 \(\color{red}{\displaystyle \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3} \,\,\left(\displaystyle x = \frac{4}{3}\pi\right)}\)
以上で問題も終わりです。
増減表がすばやく書けると、問題がスムーズに解けます。
しっかり練習してぜひマスターしてくださいね！