増減表の書き方を解説！符号の調べ方や 2 回微分の意味

 

\(\begin{align} y’ &= 3x^2 − 8x + 4 \\ &= (3x − 2)(x − 2) \end{align}\)

\(y’ = 0\) のとき \(\displaystyle x = \frac{2}{3}, 2\)

 

\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\) のとき

\(\begin{align} y &= \frac{8}{27} − \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 1  \\ &= \frac{8 − 48 + 72 + 27}{27} \\ &= \frac{59}{27} \end{align}\)

 

\(x = 2\) のとき

\(\begin{align} y &= 8 − 16 + 8 + 1 \\ &= 1 \end{align}\)

 

また、

\(x = 0\) のとき \(y = 1\)

\(x = 3\) のとき \(y = 27 − 36 + 12 + 1 = 4\)

 

よって、\(0 \leq x \leq 3\) における \(y\) の増減は次のようになる。

 

したがって、

\(x = 3\) で最大値 \(4\)、\(x = 0, 2\) で最小値 \(1\) をとる。

 

答え：

最大値 \(\color{red}{4 \,\,(x = 3)}\)、最小値 \(\color{red}{1 \,\,(x = 0, 2)}\)

 

\(y’ = 1 + 2\cos x\)

 

\(y’ = 0\) のとき

\(\displaystyle \cos x = −\frac{1}{2}\)、\(0 \leq x \leq 2\pi\) より

\(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi\)

 

\(\displaystyle 0 \leq x < \frac{2}{3}\pi\) で \(y’ > 0\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}\pi < x < \frac{4}{3}\pi\) で \(y’ < 0\)

\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi < x \leq 2\pi\) で \(y’ > 0\)

 

 

\(y’’ = −2\sin x\)

 

\(y’’ = 0\) のとき

\(\sin x = 0\)、\(0 \leq x \leq 2\pi\) より

\(x = 0, \pi, 2\pi\)

 

\(0 \leq x < \pi\) で \(y’’ < 0\)

\(\pi < x \leq 2\pi\) で \(y’’ > 0\)

 

また、

• \(x = 0\) のとき \(y = 0\)
• \(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi\) のとき \(\displaystyle y = \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3}\)
  \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} ≒ \frac{2}{3} \cdot 3.14 + 1.73 = 3.8\)
• \(x = \pi\) のとき \(y = \pi\)
• \(\displaystyle x = \frac{4}{3}\pi\) のとき \(\displaystyle y = \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3}\)
  \(\displaystyle \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3} ≒ \frac{4}{3} \cdot 3.14 − 1.73 = 2.5\)
• \(x = 2\pi\) のとき \(y = 2\pi\)

 

よって、\(0 \leq x \leq 2\pi\) における \(y\) の凹凸は次のようになる。

 

極値およびグラフは次の通り。

 

答え：

極大値 \(\color{red}{\displaystyle \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} \,\,\left(\displaystyle x = \frac{2}{3}\pi\right)}\)

極小値 \(\color{red}{\displaystyle \frac{4}{3}\pi − \sqrt{3} \,\,\left(\displaystyle x = \frac{4}{3}\pi\right)}\)