二等辺三角形とは?定義や定理、角度・辺の長さ・面積の求め方

この記事では、「二等辺三角形」の定義や定理、性質についてまとめていきます。

辺の長さや角度、面積や比の求め方、そして証明問題についても詳しく解説していくので、一緒に学習していきましょう!

 

二等辺三角形とは?【定義】

二等辺三角形とは、\(\bf{2}\) つの辺の長さが等しい三角形のことです。

二等辺三角形の等しい \(2\) 辺の間の角のことを「頂角」、その他の \(2\) つの角のことを「底角」といいます。そして、頂角に向かい合う辺のことを「底辺」といいます。

「\(2\) つの角が等しい三角形」は二等辺三角形の定義ではないので、注意しましょう。

\(2\) つの辺の長さが等しくなった結果、\(2\) つの底角も等しくなるのです。

補足

小・中学校で習う「二等辺三角形の書き方」については以下の記事で説明しています。

正三角形・二等辺三角形・直角三角形の書き方(作図)まとめ!

 

二等辺三角形の定理・性質

二等辺三角形には、\(2\) つの定理(性質)があります。

【定理①】角度の性質

二等辺三角形の \(2\) つの底角は等しくなります。

 

【定理②】辺の長さの性質

二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線になります。

 

これらの定理(性質)を利用して解く問題も多いため、必ず覚えておきましょう!

 

二等辺三角形の例題

ここでは、二等辺三角形の辺の長さ、角度、面積、比の求め方を例題を使って解説していきます。

例題

\(\mathrm{AB} = \mathrm{AC}\)、頂角が \(120^\circ\)、\(\mathrm{BC} = 8\) の二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) があります。

次の問いに答えましょう。

(1) \(\angle \mathrm{B}\)、\(\angle \mathrm{C}\) の大きさを求めよ。

(2) 二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) の高さ \(h\) を求めよ。

(3) 二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。

 

二等辺三角形の性質をもとに、順番に求めていきましょう。

(1) 角度の求め方

\(\angle \mathrm{B}\)、\(\angle \mathrm{C}\) の大きさを求めます。

二等辺三角形の角の性質から簡単に求めれらますね!

解答

 

頂角 \(\mathrm{A} = 120^\circ\) であるから、

三角形の内角の和の公式より、残りの \(2\) 角の和は

\(180^\circ − 120^\circ = 60^\circ\)

 

\(2\) つの底角の大きさは等しいので、

\(60^\circ \div 2 = 30^\circ\)

 

答え: \(\color{red}{\angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{C} = 30^\circ}\)

 

(2) 高さと辺の長さの求め方

二等辺三角形の問題では、高さが与えられていない場合が多いです。

補助線を引き、直角三角形を作って高さ \(h\) を考えましょう。

頂角 \(\mathrm{A}\) から辺 \(\mathrm{BC}\) に垂線を下ろします。そして、辺 \(\mathrm{BC}\) と交わる点を \(\mathrm{H}\) とおきます。

二等辺三角形には、「頂角の二等分線が底辺の垂直二等分線になる」という性質がありましたね。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\mathrm{BC}\) を底辺としたときの高さ \(\mathrm{AH}\) を \(h\) とおく。

垂線 \(\mathrm{AH}\) は頂角と底辺を \(2\) 等分するから、

\(\angle \mathrm{BAH} = \angle \mathrm{CAH} = 60^\circ\)

\(\mathrm{BH} = \mathrm{CH} = 4\)

ということがわかります。

 

すると、\(\triangle \mathrm{ABH}\) は \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) の直角三角形となります。

これは代表的な直角三角形のため、辺の比が \(\color{red}{1 : \sqrt{3} : 2}\) であることがわかりますね。

この辺の比を利用して、高さ \(h\) を求めましょう。

解答(続き)

\(\triangle \mathrm{ABH}\) において

\(\mathrm{AH} : \mathrm{BH} = 1 : \sqrt{3}\)

\(h : 4 = 1 : \sqrt{3}\)

\(\sqrt{3} h = 4\)

\(\displaystyle h = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle h = \frac{4\sqrt{3}}{3}}\)

 

(3) 面積の求め方

\(\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) を求めます。

底辺と高さが求められたので、あとは三角形の面積の公式を使うだけです。

解答

 

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{BC} \cdot h \\ &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \\ &= \frac{16\sqrt{3}}{3} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{S = \displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{3}}\)

このように、二等辺三角形の性質をよく理解しておけば、辺の長さ、角度、面積、比などを簡単に求められますね!

 

二等辺三角形の計算問題

それでは、二等辺三角形の計算問題に挑戦していきましょう。

計算問題「底辺、角度、面積を求める」

計算問題

図の \(\mathrm{AB} = \mathrm{AC}\) の二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) において、以下の問いに答えなさい。

(1) \(\mathrm{BC}\) の長さを求めよ。

(2) \(\angle \mathrm{BAC}\) が \(70^\circ\) のときの \(\angle \mathrm{BDE}\) の大きさを求めよ。

(3) 二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。

 

三平方の定理や、二等辺三角形の性質を上手く使えば解ける問題です。

わかっていることを図に書き込んでいくことでヒントが見えてきますよ。

解答

 

(1)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) において、三平方の定理より

\(\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BD}^2\)

\(9^2 = 3^2 + \mathrm{BD}^2\)

\(\mathrm{BD}^2 = 81 − 9 = 72\)

 

\(\triangle \mathrm{BCD}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align}\mathrm{BC}^2 &= \mathrm{BD}^2 + \mathrm{CD}^2 \\&= 72 + 6^2 \\&= 72 + 36 \\&= 108 \end{align}\)

\(\mathrm{BC} > 0\) より、\(\mathrm{BC} = 6\sqrt{3}\)

 

答え: \(6\sqrt{3} \, \mathrm{cm}\)

 

 

(2)

\(\begin{align} \angle \mathrm{BDE} &= 180^\circ − (\angle \mathrm{ADB} + \angle \mathrm{CDE}) \\ &= 180^\circ − (90^\circ + \angle \mathrm{CDE}) \\ &= 90^\circ − \angle \mathrm{CDE} \text{ …①} \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{CDE}\)において、

\(\begin{align} \angle \mathrm{CDE} &= 180^\circ − (\angle \mathrm{CED} + \angle \mathrm{ECD}) \\ &= 180^\circ − (90^\circ + \angle \mathrm{ECD}) \\ &= 90^\circ − \angle \mathrm{ECD} \text{ …②} \end{align}\)

 

①、②より、

\(\begin{align} \angle \mathrm{BDE} &= 90^\circ − (90^\circ − \angle \mathrm{ECD}) \\ &= \angle \mathrm{ECD} \text{ …③} \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) は二等辺三角形なので、\(2\) つの底角は等しい。

よって、

\(\begin{align} \angle \mathrm{ECD} &= \frac{180^\circ − 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ \end{align}\)

 

ゆえに③より、

\(\angle \mathrm{BDE} = 55^\circ\)

 

答え: \(55^\circ\)

 

 

(3)

二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積は、底辺を \(\mathrm{AC}\)、高さを \(\mathrm{BD}\) ととらえると求められる。

 

(1) の結果から

\(\mathrm{BD}^2 = 72\)

\(\mathrm{BD} > 0\) より、\(\mathrm{BD} = 6\sqrt{2}\)

 

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6\sqrt{2} \\ &= 27\sqrt{2} \end{align}\)

 

答え: \(27\sqrt{2} \, \mathrm{cm}^2\)

 

二等辺三角形の証明問題

最後に二等辺三角形の証明のやり方についてまとめていきます。

三角形が二等辺三角形であることを証明するためには、次のどちらかを示せばよいことを覚えておきましょう。

二等辺三角形の成立条件
  • \(2\) つの辺の長さが等しい
  • \(2\) つの角の大きさが等しい

 

それでは、実際に問題を通して証明のやり方を説明していきます。

証明問題「二等辺三角形であることの証明」

証明問題

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) の台形 \(\mathrm{ABCD}\) がある。

\(\mathrm{AD} = \mathrm{DE}\) であり、\(\mathrm{AE}\) の延長線と \(\mathrm{BC}\) の延長線が交わる点を \(\mathrm{F}\) とする。

このとき、\(\triangle \mathrm{CEF}\) が二等辺三角形であることを証明せよ。

 

まずは、わかっていることを図に書き込んでいきましょう。

仮定より、\(\mathrm{AD} = \mathrm{DE}\) なので \(\triangle \mathrm{ADE}\) は二等辺三角形です。

その底角は等しいので、「\(\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{DEA}\) …①」がいえますね。

 

さらに、対頂角は等しいので「\(\angle \mathrm{DEA} = \angle \mathrm{CEF}\) …②」となります。

 

仮定より \(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) なので、錯角は等しくなります。よって、「\(\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{CFE}\) …③」です。

 

①、②、③より「\(\angle \mathrm{CEF} = \angle \mathrm{CFE}\)」となります。

つまり、「\(\triangle \mathrm{CEF}\) は \(2\) つの底角が等しい」といえますね。

これらの情報を元に、証明していきましょう。

証明

 

仮定 \(\mathrm{AD} = \mathrm{DE}\) より、\(\triangle \mathrm{AED}\) は二等辺三角形なので、\(2\) つの底角は等しい。

よって、

\(\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{DEA}\) …①

 

対頂角は等しいので、

\(\angle \mathrm{DEA} = \angle \mathrm{CEF}\) …②

 

仮定より \(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) なので、錯角は等しい。

よって

\(\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{CFE}\) …③

 

①、②、③より

\(\angle \mathrm{CEF} = \angle \mathrm{CFE}\)

よって、\(2\) つの底角が等しいので、 \(\triangle \mathrm{CEF}\) は二等辺三角形である。

 

(証明終わり)

以上で証明問題も終わりです!

 

二等辺三角形の定義や定理について理解できましたか?

二等辺三角形の性質は、問題を解くときに当たり前の知識として使います。

シンプルな内容ばかりなので、必ず覚えておきましょうね!

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