直角二等辺三角形とは?定義や辺の長さの比、面積の求め方

この記事では、「直角二等辺三角形」の定義や定理(辺の長さの比)について解説していきます。

また、面積の求め方や証明問題もわかりやすく説明していくので、ぜひマスターしてくださいね!

 

直角二等辺三角形とは?

直角二等辺三角形とは、二等辺三角形の特徴と直角三角形の特徴をあわせもった三角形のことです。

直角に向かい合う辺が最も長い辺で、「斜辺」と呼ばれます。

 

定義「3 角のうち 2 角が 45°の三角形」

直角二等辺三角形の定義

\(3\) つの角のうち、\(2\) つの角がそれぞれ \(45^\circ\) である三角形を「直角二等辺三角形」という。

残りの頂角は \(90^\circ\)、直角ということですね。

 

定理「辺の長さの比が \(1 : 1 : \sqrt{2}\)」

直角二等辺三角形の辺の長さの比は、必ず「\(\color{red}{1 : 1 : \sqrt{2}}\)」 となります。

 

これは、三平方の定理から示すことができます。

三平方の定理

直角三角形の直角を挟む \(2\) 辺の長さを \(a, b\) とし、斜辺を \(c\) とすると

\begin{align}a^2 + b^2 = c^2\end{align}

直角二等辺三角形の斜辺ではない辺の長さを \(a\)、斜辺の長さを \(b\) とおくと、

三平方の定理より

\(a^2 + a^2 = b^2\)

\(2a^2 = b^2\)

\(a > 0, b > 0\) より

\(\color{red}{\sqrt{2} a = b}\)

このように、\(3\) 辺の比が「\(\color{red}{1 : 1 : \sqrt{2}}\)」と求められますね。

 

直角二等辺三角形の辺の長さの求め方

直角二等辺三角形の辺の長さは、辺の比 \(1 : 1 : \sqrt{2}\) から求めることができます。

直角二等辺三角形の辺の長さの公式

斜辺ではない辺の長さが \(a\)、斜辺の長さが \(b\) の直角二等辺三角形について、

  • \(a\) がわかっている場合
    \begin{align}\color{red}{b = \sqrt{2}a}\end{align}
  • 斜辺 \(b\) がわかっている場合
    \begin{align}\color{red}{a = \displaystyle \frac{b}{\sqrt{2}}}\end{align}
例題

次の辺の長さを求めなさい。

 

(1) では斜辺の長さ \(x\) を、(2) では斜辺ではない辺の長さ \(y\) を求めます。

解答

 

(1)

直角二等辺三角形の辺の長さの比より、

\(x = \sqrt{2} \cdot 5 = 5\sqrt{2}\)

 

答え: \(\color{red}{x = 5\sqrt{2}}\)

 

(2)

直角二等辺三角形の辺の長さの比より、

\(y = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

 

答え: \(\color{red}{y = \displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\)

 

直角二等辺三角形の面積の求め方

直角二等辺三角形では直角をはさむ \(2\) 辺を底辺と高さと見ることができ、面積は次の公式で表せます。

直角二等辺三角形の面積の公式

直角二等辺三角形の面積を \(S\)、斜辺ではない辺を \(a\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{1}{2} a^2}\end{align}

例題

次の三角形の面積を求めなさい。

 

解答

 

直角二等辺三角形であるから、面積 \(S\) は

\(S = \displaystyle \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8\)

 

答え: \(\color{red}{8}\)

 

直角二等辺三角形の計算問題

これまでに学んだ知識を利用して、計算問題に挑戦してみましょう。

計算問題①「正方形の対角線がなす直角二等辺三角形」

計算問題①

対角線 \(\mathrm{BD} = 3\) の正方形 \(\mathrm{ABCD}\) において、以下の問いに答えなさい。

(1) 正方形 \(\mathrm{ABCD}\) の \(1\) 辺の長さを求めよ。

(2)  \(\triangle \mathrm{ABD}\) の面積 \(S\) を求めよ。

 

正方形を対角線で半分にしてできる三角形は直角二等辺三角形です。

それを利用して解き進めていきましょう。

解答

 

(1)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) は直角二等辺三角形なので、

直角二等辺三角形の辺の比より

\(\mathrm{AB} = \displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

 

 

(2)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) は、底辺の長さ \(\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)、高さ \(\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)の三角形であるから、面積 \(S\) は

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} \\ &= \frac{9}{4} \end{align}\)

 

答え: \(S = \displaystyle \frac{9}{4}\)

 

計算問題②「直角二等辺三角形と直角三角形を重ねる」

計算問題②

図において、\(\triangle \mathrm{ABC}\) は \(\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ\)、\(\angle \mathrm{ABC} = 60^\circ\) の直角三角形であり、\(\triangle \mathrm{ABD}\) は \(\mathrm{AD} = \mathrm{BD} = 8\)、\(\angle \mathrm{ADB} = 90^\circ\) の直角二等辺三角形である。辺 \(\mathrm{AC}\) と辺 \(\mathrm{BD}\) との交点を点 \(\mathrm{E}\) とするとき、以下の問いに答えなさい。

(1) \(\angle \mathrm{DBC}\) の大きさを求めよ。

(2) \(\mathrm{AD} : \mathrm{BC}\) を求めよ。

(3) \(\triangle \mathrm{ABD}\) の面積を求めよ。

 

直角二等辺三角形の性質が理解できていれば難しくありません。

直角二等辺三角形の角度や辺の長さの比を確認しましょう。

解答

 

(1)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) は直角二等辺三角形なので、

\(\angle \mathrm{ABD} = 45^\circ\)

 

よって、

\(\begin{align}\angle \mathrm{DBC} &= \angle \mathrm{ABC} − \angle \mathrm{ABD} \\&= 60^\circ − 45^\circ \\&= 15^\circ\end{align}\)

 

答え: \(15^\circ\)

 

 

(2)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) は直角二等辺三角形なので、

\(\mathrm{AD} : \mathrm{AB} = 1 : \sqrt{2}\)

\(\mathrm{AB} = \sqrt{2} \mathrm{AD}\) …①

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) は角度がそれぞれ \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\) の直角三角形なので、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{BC} = 2 : 1\)

\(\mathrm{AB} = 2 \mathrm{BC}\) …②

 

①、②より、

\(\sqrt{2} \mathrm{AD} = 2 \mathrm{BC}\)

\(\displaystyle \mathrm{AD} = \frac{2 \mathrm{BC}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \mathrm{BC}\)

 

よって、\(\mathrm{AD} : \mathrm{BC} = \sqrt{2} : 1\)

 

答え: \(\sqrt{2} : 1\)

 

 

(3)

\(\triangle \mathrm{ABD}\) は直角二等辺三角形であるから、面積 \(S\) は

\(\displaystyle S = \frac{1}{2} \mathrm{AD}^2 = \frac{1}{2} \cdot 8^2 = 32\)

 

答え: \(32\)

 

直角二等辺三角形の証明問題

最後に、直角二等辺三角形の性質を利用する証明問題を解いてみましょう。

証明問題「直角二等辺三角形を利用して相似を示す」

証明問題

\(\mathrm{AB} = \mathrm{AC}\)、\(\angle \mathrm{BAC} = 90^\circ\) の直角二等辺三角形 \(\mathrm{ABC}\) と、\(\mathrm{DB} = \mathrm{DE}\)、\(\angle \mathrm{BDE} = 90^\circ\) の直角二等辺三角形 \(\mathrm{DBE}\) がある。

このとき、\(\triangle \mathrm{ADB} ∽ \triangle \mathrm{CEB}\) を証明しなさい。

 

直角二等辺三角形の辺の比や角度をうまく利用します。

与えられている条件から三角形の相似条件を考えましょう。

証明

 

\(\triangle \mathrm{ADB}\) と \(\triangle \mathrm{CEB}\) において、

\(\triangle \mathrm{ABC}\) および \(\triangle \mathrm{DBE}\) は直角二等辺三角形なので、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{CB} = 1 : \sqrt{2}\)

\(\mathrm{DB} : \mathrm{EB} = 1 : \sqrt{2}\)

よって

\(\mathrm{AB} : \mathrm{CB} = \mathrm{DB} : \mathrm{EB} \text{ …①}\)

 

また、

\(\begin{align} \angle \mathrm{ABD} &= \angle \mathrm{DBE} − \angle \mathrm{ABE} \\ &= 45^\circ − \angle \mathrm{ABE}\end{align}\)

\(\begin{align} \angle \mathrm{CBE} &= \angle \mathrm{ABC} − \angle \mathrm{ABE} \\ &= 45^\circ − \angle \mathrm{ABE}\end{align}\)

よって

\(\angle \mathrm{ABD} = \angle \mathrm{CBE} \text{ …②} \)

 

①、②より、\(2\) 辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

\(\triangle \mathrm{ADB} ∽ \triangle \mathrm{CEB}\)

 

(証明終わり)

以上で証明問題も終わりです!

 

直角二等辺三角形は重要な特徴をもった図形なので、問題を解くときに大きなヒントとなることが多いです。

「直角三角形」や「二等辺三角形」とあわせてきちんと理解しておきましょうね。

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