正弦定理と余弦定理はどう使い分ける?練習問題で徹底解説!

この記事では、「正弦定理と余弦定理の使い分け」についてできるだけわかりやすく解説していきます。

練習問題を中心に見分け方を紹介していくので、この記事を通して一緒に学習していきましょう。

 

正弦定理と余弦定理【公式】

正弦定理と余弦定理は、それぞれしっかりと覚えていますか?

復習がてら、最初に確認しておきましょう。

正弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、頂点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\) とすると、\(\triangle \mathrm{ABC}\) とその外接円について以下が成り立つ。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R}\end{align}

 

余弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、頂点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\) とすると、以下の \(3\) つの等式が成り立つ。

  • \(\color{red}{a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}}\)
  • \(\color{red}{b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}}\)
  • \(\color{red}{c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{C}}\)

 

また、角度を求めたい問題の場合は、上記の余弦定理を変形した公式もありましたね!

余弦定理(変形バージョン)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{A} = \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{B} = \frac{c^2 + a^2 − b^2}{2ca}}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \cos \mathrm{C} = \frac{a^2 + b^2 − c^2}{2ab}}\)

 

このような正弦定理と余弦定理ですが、実際の問題でどう使い分けるか理解できていますか?

使い分けがしっかりと理解できていれば、問題文を読むだけで解き方の道筋がすぐに浮かぶようになります!

次の章で詳しく解説していきますね。

 

正弦定理と余弦定理の使い分け

正弦定理と余弦定理の使い分けのポイントは、「与えられている辺や角の数を数えること」です。

問題に関係する \(4\) つの登場人物を見極めます。

Tips

問題文に…

  • 対応する \(2\) 辺と \(2\) 角が登場する
    →「正弦定理」を使う!
  • \(3\) 辺と \(1\) 角が登場する
    →「余弦定理」を使う!

 

正弦定理の \(1\) つを見てみると、

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}}\)

辺 \(a\), \(b\)、角 \(\angle \mathrm{A}\), \(\angle \mathrm{B}\) が出てきています。

つまり、対応する \(2\) 組の辺と角ですね。

 

また、余弦定理の \(1\) つを見てみると、

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\)

辺 \(a\), \(b\), \(c\) と角 \(\angle \mathrm{A}\) が出てきます。

つまり、\(3\) 辺と \(1\) 角ですね。

 

これら \(4\) つのうち、値のわかっている \(3\) つを使って目的の値を求めます。

実際に例題で使い分けを確認しましょう。

 

例題①「角度を求める」

例題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 1\)、\(c = \sqrt{3}\)、\(\angle \mathrm{C} = 120^\circ\) のとき、\(\angle \mathrm{A}\) の値を求めなさい。

 

問題文より 辺 \(a\) と \(c\)、角 \(\mathrm{C}\) がわかっていて、角 \(\mathrm{A}\) を求めるので、「対応する \(2\) 辺と \(2\) 角の関係」です。

よって、この場合は正弦定理を使います。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}}\) より、

 

\(\begin{align} \sin \mathrm{A} &= a \cdot \frac{\sin \mathrm{C}}{c} \\ &= 1 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sqrt{3}} \\ &= \displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}\)

 

\(\angle \mathrm{C} = 120^\circ\) より、

\(0^\circ < \angle \mathrm{A} < 60^\circ\) であるから

\(\angle \mathrm{A} = 30^\circ\)

 

答え: \(\color{red}{\angle \mathrm{A} = 30^\circ}\)

 

例題②「辺の長さを求める」

次の問題はどうでしょうか?

例題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = \sqrt{6}\)、\(c = \sqrt{3} + 1\)、\(\angle \mathrm{B} = 45^\circ\) のとき、\(b\) の値を求めなさい。

 

問題文より、辺 \(a\), \(c\)、角 \(\mathrm{B}\) がわかっていて、辺 \(b\) を求めるので、「\(3\) 辺と \(1\) 角の関係」です。

よって、この場合は余弦定理を使います。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align}b^2 &= c^2 + a^2 − 2ca \cos \mathrm{B}\\&= (\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{6})^2 − 2(\sqrt{3} + 1) \sqrt{6} \cos 45^\circ\\&= 3 + 2\sqrt{3} + 1 + 6 − 2(\sqrt{3} + 1) \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\&= 10 + 2\sqrt{3} − 2\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)\\&= 10 + 2\sqrt{3} − 6 − 2\sqrt{3}\\&= 4\end{align}\)

 

\(b > 0\) より、\(b = 2\)

 

答え: \(\color{red}{b = 2}\)

 

正弦定理と余弦定理の練習問題

最後に、練習問題を通して正弦定理と余弦定理の使い分けをマスターしましょう。

練習問題①「sin A を求める」

練習問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) について、\(a = 8\)、\(b = 6\)、\(c = 4\) であるとき、\(\sin \mathrm{A}\) の値を求めよ。

 

\(a\)、\(b\)、\(c\) の \(3\) 辺がわかっているので余弦定理を用いて解く問題ですね!

求めるものが正弦 \((\sin)\) だからと言って、安易に正弦定理を使わないように注意しましょう。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align} \cos \mathrm{A} &= \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc} \\ &= \frac{6^2 + 4^2 − 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ &= \frac{36 + 16 − 64}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ &= \frac{−12}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ &= −\frac{1}{4} \end{align}\)

 

\(\sin^2 \mathrm{A} + \cos^2 \mathrm{A} = 1\) より、

\(\begin{align} \sin^2 \mathrm{A} &= 1 − \cos^2 \mathrm{A}\\ &=  1 − \left(−\frac{1}{4}\right)^2\\ &= 1 − \frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16} \end{align}\)

 

ここで、\(0^\circ < \angle \mathrm{A} < 180^\circ\) であるから、

\(\sin \mathrm{A} > 0\) より

\(\displaystyle \sin \mathrm{A} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\)

 

練習問題②「辺の長さを求める」

練習問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) について、\(c = 6\)、\(\angle \mathrm{B} = 15^\circ\)、\(\angle \mathrm{C} = 135^\circ\) のとき、\(a\) を求めよ。

 

この問題では \(2\) 角がわかっているので、残る \(1\) 角もすぐにわかりますね。

そうすれば、対応する \(2\) 組の辺と角(\(c\) と \(\angle \mathrm{C}\)、\(a\) と \(\angle \mathrm{A}\))について考えることができるので、正弦定理が使えます。

解答

 

三角形の内角の和は \(180^\circ\) であるから

\(\begin{align} \angle \mathrm{A} &= 180^\circ − (15^\circ + 135^\circ) \\ &= 30^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理より

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}}\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin 135^\circ}\)

 

よって

\(\begin{align} a &= \frac{6 \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{1} \\ &= 3\sqrt{2} \end{align}\)

 

答え: \(3\sqrt{2}\)

 

練習問題③「円に内接する四角形の辺や面積」

練習問題③

下の図において、次の問いに答えなさい。

(1) 辺 \(\mathrm{AD}\) の長さを求めよ。

(2) 四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の外接円の半径 \(R\) を求めよ。

(3) 四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積を求めよ。

 

四角形に補助線を引いて、\(2\) つの三角形として見ると、答えが導かれていきます。

設問ごとに、三角形のどの \(4\) つの辺と角が関わっているのかをしっかりと見極めましょう。

解答

 

(1) 線分 \(\mathrm{AC}\) を引く。

 

円に内接する四角形の性質より、

\(\begin{align} \angle \mathrm{B} &= 180^\circ − \angle \mathrm{D} \\ &= 180^\circ − 120^\circ \\ &= 60^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align} \mathrm{AC}^2 &= \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 − 2\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cos 60^\circ \\ &= 4^2 + 6^2 − 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 16 + 36 − 24 \\ &= 28 \end{align}\)

 

\(\mathrm{AC} > 0\) より、\(\mathrm{AC} = 2\sqrt{7}\)

 

\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、余弦定理より

\(\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{DC}^2 − 2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC} \cos 120^\circ\)

\(\displaystyle (2\sqrt{7})^2 = \mathrm{AD}^2 + 2^2 − 2 \mathrm{AD} \cdot 2 \left( −\frac{1}{2} \right)\)

\(28 = \mathrm{AD}^2 + 4 + 2\mathrm{AD}\)

\(\mathrm{AD}^2 + 2\mathrm{AD} − 24 = 0\)

\((\mathrm{AD} + 6)(\mathrm{AD} − 4) = 0\)

 

\(\mathrm{AD} > 0\) より、\(\mathrm{AD} = 4\)

 

答え: \(\mathrm{AD} = 4\)

 

 

(2) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{B}} = 2R\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = 2R\)

 

よって

\(\begin{align} R &= \frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \sqrt{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{21}}{3} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle R = \frac{2\sqrt{21}}{3}\)

 

 

(3) 四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{ADC}\) の面積の和に等しい。

 

三角形の面積の公式 \(\displaystyle S = \frac{1}{2} ab \sin \theta\) より、

\(\begin{align} \triangle \mathrm{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \sin \mathrm{B} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 6\sqrt{3} \end{align}\)

 

\(\begin{align} \triangle \mathrm{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AD} \cdot \mathrm{CD} \cdot \sin \mathrm{D} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 2\sqrt{3} \end{align}\)

 

したがって、四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積は

\(\begin{align} \triangle \mathrm{ABC} + \triangle \mathrm{ADC} &= 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ &= 8\sqrt{3} \end{align}\)

 

答え: \(8\sqrt{3}\)

以上で練習問題も終わりです!

 

余弦定理と正弦定理の使い分けはマスターできましたか?

余弦定理は「\(3\) 辺と \(1\) 角の関係」、正弦定理は「対応する \(2\) 辺と \(2\) 角の関係」を見つけることがコツです。

どんな問題が出ても、どちらの公式を使うかを即座に判断できるようになりましょう!

補足

三角関数に関するほかの定理や公式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてください!

三角比・三角関数を総まとめ!定義や各種公式【重要記事一覧】

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