正弦定理とは?公式や証明、計算問題をわかりやすく解説

この記事では、「正弦定理」の公式やその証明をできるだけわかりやすく解説していきます。

正弦定理を使う計算問題の解き方も詳しく説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

正弦定理とは?【公式】

正弦定理とは、三角形の内角の正弦 \((\sin)\) とその対辺の長さの比、そして外接円の半径との関係を示した定理です。

正弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、頂点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\) とすると、\(\triangle \mathrm{ABC}\) とその外接円について以下が成り立つ。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R}\end{align}

「\(\color{red}{\displaystyle \frac{\text{対応する辺の長さ}}{\text{角の正弦 (\(\sin\))}} = \text{直径}}\)」と言葉で覚えておいてもいいですね。

 

正弦定理の証明

ここでは、正弦定理がどうして成り立つのかを説明します。

正弦定理のうち、次の等式が成り立つことを示していきます。

証明

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、その外接円の半径を \(R\) としたとき \(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\) が成り立つことを示せ。

 

この等式を変形した「\(a = 2R \sin \mathrm{A}\)」について、\(\angle \mathrm{A}\) が「(i) 鋭角」「(ii) 直角」「(iii) 鈍角」の \(3\) つの場合に場合分けして、等式が成り立つかを確認しましょう。

証明

 

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\) より

\(a = 2R \sin \mathrm{A}\) …(*) とおく。

 

(i) \(\angle \mathrm{A} < 90^\circ\) のとき

頂点 \(\mathrm{B}\) を通る外接円の直径を \(\mathrm{BD}\) とし、点 \(\mathrm{D}\) と点 \(\mathrm{C}\) を結ぶ。

円周角の定理から

\(\angle \mathrm{BDC} = \angle \mathrm{A}\)

 

\(\mathrm{BD}\) は直径なので

\(\angle \mathrm{BCD} = 90^\circ\)

 

よって、\(\triangle \mathrm{BDC}\) は直角三角形なので、

\(\mathrm{BC} = \mathrm{BD} \sin \angle \mathrm{BDC}\)

\(\mathrm{BC} = a\), \(\mathrm{BD} = 2R\), \(\angle \mathrm{BDC} = \angle \mathrm{A}\) より、

\(a = 2R \sin \mathrm{A}\)

 

したがって、(*) が成り立つ。

 

 

(ii) \(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) のとき

\(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) であるから、円周角の定理より \(a\) は直径となる。

\(a = 2R\)

 

ここで、\(\sin \mathrm{A} = \sin 90^\circ = 1\) であるから、

\(a = 2R \sin \mathrm{A}\)

とも表せる。

 

したがって、(*) が成り立つ。

 

 

(iii) \(\angle \mathrm{A} > 90^\circ\) のとき

頂点 \(\mathrm{B}\) を通る外接円の直径を \(\mathrm{BD}\) とし、点 \(\mathrm{D}\) と点 \(\mathrm{C}\) を結ぶ。

 

\(\mathrm{BD}\) は直径なので

\(\angle \mathrm{BCD} = 90^\circ\)

 

また四角形 \(\mathrm{ABDC}\) は円に内接するので、

\(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{BDC} = 180^\circ\)

 

\(\triangle \mathrm{BCD}\) は直角三角形なので、

\(\mathrm{BC} = \mathrm{BD} \sin \angle \mathrm{BDC}\)

\(\mathrm{BC} = a\), \(\mathrm{BD} = 2R\), \(\angle \mathrm{BDC} = 180^\circ − \angle \mathrm{A}\) より、

\(\begin{align} a &= 2R \sin (180^\circ − \angle \mathrm{A}) \\ &= 2R \sin \mathrm{A} \end{align}\)

 

したがって、(*) が成り立つ。

 

 

(i) ~ (iii) より、\(\angle \mathrm{A}\) の大きさによらず

\(a = 2R \sin \mathrm{A}\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

このように、正弦定理の一部分が証明できました。

同様の手順で、次の \(2\) つの等式も証明できます。

  •  \(\displaystyle \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = 2R\)
  •  \(\displaystyle \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R\)

 

それらを総合すると、正弦定理

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} =  2R\)

を証明できます。

理解が深まるので、時間のある方は一度全体を証明してみるとよいでしょう!

 

正弦定理の覚え方

正弦定理が覚えられない!という人は、簡単な図形とともに覚えておきましょう。

正弦定理は、「対応する辺と角の正弦 \((\sin)\) の比」についての定理です。

このことを、まず頭に叩き込んでおきます。

また、「正弦定理には外接円が関係する!」ということも要チェックです。

最後に、正弦定理の分数が三角形のかたちのように下(分母)が長い \(\sin\) の値であることをイメージ付けておきましょう。

 

正弦定理の計算問題

最後に、計算問題を通して正弦定理の使い方をマスターしましょう。

正弦定理を使う基本的な問題のパターンは次の \(2\) つです。

Tips

正弦定理が使える場面は…

  • 対応する辺と角が \(2\) 組あり、そのうちの \(1\) 辺または \(1\) 角を求める
  • 対応する辺と角が \(1\) 組わかっているとき、外接円の半径を求める

両パターンの解き方を把握しておきましょう。

 

計算問題①「辺の長さを求める」

計算問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 10\)、\(\angle \mathrm{B} = 60^\circ\)、\(\angle \mathrm{C} = 75^\circ\) のとき、\(b\) を求めよ。

 

この問題では、一見、対応している辺と角がどこにもありません。

このほかに、簡単に数値が求められそうなところはないでしょうか?

\(2\) 角がわかっているので、残りの \(\angle \mathrm{A}\) も簡単にわかりますね!

すると、対応する \(2\) 組の辺と角(\(a\) と \(\angle \mathrm{A}\)、\(b\) と \(\angle \mathrm{B}\))に正弦定理を適用できますね。

解答

 

三角形の内角の和は \(180^\circ\) なので、

\(\begin{align} \angle \mathrm{A} &= 180^\circ − (60^\circ + 75^\circ) \\ &= 45^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理より

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}}\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}\)

 

\(10 \sin 60^\circ = b \sin 45^\circ\)

 

よって

\(\begin{align}b &= \displaystyle \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}\\&= \displaystyle \frac{10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\&= 5\sqrt{3} \times \sqrt{2} \\ &= 5\sqrt{6} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{b = 5\sqrt{6}}\)

Tips

わかったことをすぐに図に書き込んでいくと、どんどん問題のヒントに気づけるのでオススメです!

数学が苦手な人ほど、頭の中だけで解こうとして図を書きません。

賢い人ほど、図を書きながら情報を正しく整理できます。

 

計算問題②「外接円の半径を求める」

計算問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(b = 6\)、\(\angle \mathrm{B} = 30^\circ\) のとき、外接円の半径 \(R\) を求めなさい。

 

外接円の半径を求める問題では、正弦定理がそのまま使えます。

\(1\) 組の辺と角(\(b\) と \(\angle \mathrm{B}\))がわかっているので、あとは正弦定理に当てはめるだけですね。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理より

\(\displaystyle \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = 2R\)

 

よって

\(\begin{align} R &= \frac{b}{2 \sin \mathrm{B}} \\ &= \frac{6}{2 \sin 30^\circ} \\ &= \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\ &= 6 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{R = 6}\) 

以上で問題も終わりです!

 

正弦定理の計算は複雑なものではないので、解き方を理解できればどんどん問題が解けるようになりますよ!

補足

なお、正弦定理とごちゃごちゃになってしまいがちなのが、余弦定理ですよね。

「余弦定理」や「正弦定理と余弦定理の使い分け」については、以下の記事も参考にしてくださいね!

余弦定理とは?公式の覚え方や証明、計算問題の解き方 正弦定理と余弦定理はどう使い分ける?練習問題で徹底解説!

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