円の方程式とは?公式、接線(微分)や半径の求め方、計算問題

この記事では、「円の方程式」についてわかりやすく解説していきます。

半径・接線(微分)の求め方や問題の解き方を説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

円の方程式とは?

円の方程式とは、中心の座標と円の半径を用いて、円を方程式で表したものです。

表し方には「基本形」と「一般形」の \(2\) 通りがあります。

 

基本形の公式

円の方程式を基本形で表現すると、円の中心半径が一目でわかります。

円の方程式(基本形)

円の中心が点 \(\mathrm{A}(a, b)\)、半径が \(r\) の円の方程式は

\begin{align}\color{red}{(x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2}\end{align}

 

特に、原点が中心 \((0, 0)\) で、半径が \(r\) の場合は

\begin{align}\color{red}{x^2 + y^2 = r^2}\end{align}

 

円の方程式の基本形は、「円の中心への距離が常に \(r\) である」という条件を満たす点の集合、つまり軌跡といえます。

点 \((a, b)\) から距離が \(r\) の位置にある点 \(\mathrm{P}(x, y)\) について、三平方の定理より

\((x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\)

が常に成り立ちますね。

 

一般形の公式

一方、円の方程式を一般形で表すと次のようになります。

円の方程式(一般形)

円の方程式の一般形は

\begin{align}\color{red}{x^2 + y^2 + lx + my + n = 0}\end{align}

ただし、\(l^2 + m^2 − 4n > 0\)

こちらは展開された二次式になっていますね。

 

一般形を平方完成すると、基本形が得られます。

(見切れる場合は横へスクロール)

 

一般形の方程式を平方完成すると、

\(x^2 + y^2 + lx + my + n = 0\)

\(x^2 + lx + y^2 + my + n = 0\)

\(\displaystyle \left( x + \frac{l}{2} \right)^2 − \frac{l^2}{4} + \left( y + \frac{m}{2} \right)^2 − \frac{m^2}{4} + n = 0\)

\(\displaystyle \left( x + \frac{l}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{m}{2} \right)^2 − \frac{l^2 + m^2 − 4n}{4} = 0\)

\(\displaystyle \left( x + \frac{l}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{m}{2} \right)^2 = \frac{l^2 + m^2 − 4n}{4}\)

 

よってこの方程式は

中心が点 \(\left(−\displaystyle \frac{l}{2}, −\frac{m}{2}\right)\)、半径が \(\sqrt{\displaystyle \frac{l^2 + m^2 − 4n}{4}}\) の円

を表す。

なお、円の半径は常に正の数であるから \(l\), \(m\), \(n\) は \(l^2 + m^2 − 4n > 0\) を満たす必要がありますね。

 

円の方程式の求め方【例題】

次に、円の方程式の求め方について解説していきます。

問題のパターンによって、基本形・一般形の使い分けます。

 

中心の座標と半径が与えられている場合

中心の座標と半径が与えられている問題では、円の方程式の基本形を使います。

円の方程式(基本形)

円の中心が点 \(\mathrm{A}(a, b)\)、半径が \(r\) の円の方程式は

\begin{align}(x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\end{align}

この公式の \(a\), \(b\), \(r\) に数値を代入するだけです。

 

例題を確認しましょう。

例題①

中心 \((3, 5)\) で、半径が \(4\) の円の方程式を求めなさい。

 

円の方程式の基本形に数値を当てはめていきます。

解答

 

中心 \((3, 5)\) で、半径が \(4\) の円の方程式は

\((x − 3)^2 + (y − 5)^2 = 4^2\)

よって、

\((x − 3)^2 + (y − 5)^2 = 16\)

 

答え: \(\color{red}{(x − 3)^2 + (y − 5)^2 = 16}\)

簡単ですね!

 

中心の座標とどこか 1 点を通る場合

中心の座標とどこかもう \(1\) つ通る点が与えられている場合も、基本形を使います。

中心の座標がわかっている場合は、とにかく基本形を使うと覚えておくといいですね!

例題②

中心 \((2, 3)\) で、点 \((4, −5)\) を通る円の方程式を求めなさい。

 

中心の座標を当てはめた基本形の方程式に、通る点の座標を代入します。

解答

 

中心が \((2, 3)\) の円の方程式は

\((x − 2)^2 + (y − 3)^2 = r^2\) …①

 

①が点 \((4, −5)\) を通るので、\(x = 4\), \(y = −5\) を代入して

\((4 − 2)^2 + (−5 − 3)^2 = r^2\)

\(2^2 + (−8)^2 = r^2\)

\(\begin{align} r^2 &= 4 + 64 \\ &= 68 \end{align}\)

 

これを①に代入すると、

\((x − 2)^2 + (y − 3)^2 = 68\)

 

答え: \(\color{red}{(x − 2)^2 + (y − 3)^2 = 68}\)

 

3 点の座標が与えられている場合

円が通る \(3\) 点の座標が与えられている場合は、一般形を使います。

円の方程式(一般形)

\begin{align}x^2 + y^2 + lx + my + n = 0\end{align}

この式に \(3\) 点の座標を代入し、できた式を連立して解くと答えが求められます。

 

例題③

\(3\) 点 \((2, 3)\)、\((2, 1)\)、\((4, 1)\) を通る円の方程式を求めなさい。

 

求める円を一般形で表し、通る点をそれぞれ代入していきます。

それらの式を連立して \(l\), \(m\), \(n\) を求めます。

解答

 

求める円を

\(x^2 + y^2 + lx + my + n = 0\)

とおく。

 

\((2, 3)\) を通るので、

\(2^2 + 3^2 + 2l + 3m + n = 0\)

\(2l + 3m + n + 13 = 0\) …①

 

\((2, 1)\) を通るので、

\(2^2 + 1^2 + 2l + m + n = 0\)

\(2l + m + n + 5 = 0\) …②

 

\((4, 1)\) を通るので、

\(4^2 + 1^2 + 4l + m + n = 0\)

\(4l + m + n + 17 = 0\) …③

 

①、②より

\(2l + 3m + n + 13 = 2l + m + n + 5\)

\(2m = −8\)

\(m = −4\)

 

また、②、③より

\(2l + m + n + 5 = 4l + m + n + 17\)

\(2l = −12\)

\(l = −6\)

 

\(m = −4\)、\(l = −6\) を②に代入すると、

\(2(−6) +(−4) + n + 5 = 0\)

\(−12 − 4 + n + 5 = 0\)

\(n = 11\)

 

\(m = −4\)、\(l = −6\)、\(n = 11\) より、求める円の方程式は

\(x^2 + y^2 − 6x − 4y + 11 = 0\)

 

答え: \(\color{red}{x^2 + y^2 − 6x − 4y + 11 = 0}\)

このタイプの問題は一般形のかたちを覚えていないと厳しいですね。

しっかり覚えておきましょう!

 

円の接線の方程式

円の方程式と接点の座標から、円の接線の方程式を求めることができます。

円の接線の方程式

円 \((x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\) 上の点 \((x_1, y_1)\) における接線の方程式は

\begin{align}\color{red}{(x_1 − a)(x − a) + (y_1 − b)(y − b) = r^2}\end{align}

 

特に、原点が中心 \((0, 0)\) の円の接線の方程式は

\begin{align}\color{red}{x_1 x + y_1 y = r^2}\end{align}

 

ほかの関数と同じように、円の接線の方程式も円の方程式の微分によって求められます。

ただし、円の方程式は \(F(x, y) = 0\) の形で表される「陰関数」なので、陰関数の微分の知識が必要です。

補足

「陰関数の微分」について知りたい方は、以下の記事を確認してください。

陰関数とは?意味や陽関数との違い、微分のやり方、グラフ

 

例題「円周上のある点を通る接線の方程式」

それでは、この公式を使って例題を解いてみましょう。

例題

\((x − 2)^2 + (y − 3)^2 = 25\) 上の点 \((5, 7)\) における接線の方程式を求めなさい。

 

円の接線の方程式に接点の座標を当てはめます。

解答

 

円周上の点 \((x_1, y_1)\) における接線の方程式は

\((x_1 − 2)(x − 2) + (y_1 − 3)(y − 3) = 25\)

 

\(x_1 = 5\)、\(y_1 = 7\) を代入すると、

\((5 − 2)(x − 2) + (7 − 3)(y − 3) = 25\)

\(3(x − 2) + 4(y − 3) = 25\)

\(3x − 6 + 4y − 12 = 25\)

よって

\(3x + 4y = 43\)

 

答え: \(\color{red}{3x + 4y = 43}\)

接線の方程式のかたちを覚えていないと手が出ないので、しっかり覚えておきましょう。

 

円の方程式の計算問題

それでは最後に、円の方程式の練習問題に挑戦してみましょう!

計算問題①「どのような図形を表す方程式か」

計算問題①

次の方程式は、どのような図形を表すか答えなさい。

(1) \(\displaystyle (x − 1)^2 + y^2 = \frac{25}{16}\)

 

(2) \(x^2 + y^2 − 10x + 6y + 30 = 0\)

 

\(x\) と \(y\) の最高次数が \(2\) で、数が合っている場合はを疑います。

基本形の円の方程式に当てはめてみて、中心と半径を求めます。

一般形は、平方完成して基本形を確認しましょう。

解答

 

(1) 円の方程式(基本形)

\((x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\) に照らし合わせると、

\(a = 1\)、\(b = 0\)、\(\displaystyle r = \frac{5}{4}\)

 

答え:

点 \((1, 0)\) を中心とする半径 \(\displaystyle \frac{5}{4}\) の円

 

 

(2) 与式を平方完成すると、

\(x^2 + y^2 − 10x + 6y + 30 = 0\)

\(x^2 − 10x + 25 + y^2 + 6y + 9 − 4 = 0\)

\((x − 5)^2 + (y + 3)^2 = 2^2\)

 

円の方程式(基本形)

\((x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\) に照らし合わせると、

\(a = 5\)、\(b = −3\)、\(r = 2\)

 

答え:

点 \((5, −3)\) を中心とする半径 \(2\) の円

 

計算問題②「2 点を直径の両端とする円の方程式」

計算問題②

\((−2, 0)\) と \((1, 0)\) を直径の両端とする円の方程式を基本形で求めなさい。

 

中心も円の半径も与えられていませんが、図を書いてみるとヒントが見えてきますよ!

解答

 

求める円の中心は、\((−2, 0)\) と \((1, 0)\) の中点なので、

\(\displaystyle \left( \frac{−2 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( −\frac{1}{2}, 0 \right)\)

 

直径が \(3\) なので、半径は \(\displaystyle \frac{3}{2}\)

 

ゆえに、円の方程式は

\((x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2\)

\(\displaystyle \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{9}{4}\)

 

答え: \(\displaystyle \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{9}{4}\)

 

計算問題③「ある点から引いた接線の方程式」

計算問題③

点 \((−7, −1)\) から円 \(x^2 + y^2 = 25\) に引いた接線の方程式を求めなさい。

 

「点 \((−7, −1)\) における」ではなく、「点 \((−7, −1)\) から引いた」接線であることに注意しましょう。

接点の座標がわからないので、文字でおいて式を作ります。

ちなみに、円の外のある点から引ける円の接線は必ず \(\bf{2}\) 本存在します。

解答

 

 

求める接線の方程式の接点を \((s, t)\) とおくと、

接線の方程式は

\(sx + ty = 25\)

 

この接線が点 \((−7, −1)\) を通るので、

\(−7s − t = 25\)

\(t = −7s − 25\) …①

 

また接点\((s, t)\) は、円 \(x^2 + y^2 = 25\) 上の点なので、

\(s^2 + t^2 = 25\) …②

 

①、②より

\(s^2 + (−7s − 25)^2 = 25\)

\(s^2 + 49s^2 + 350s + 625 − 25= 0\)

\(50s^2 + 350s + 600 = 0\)

\(s^2 + 7s + 12 = 0\)

\((s + 3)(s + 4) = 0\)

\(s = − 3, −4\)

 

これを①に代入すると、

\(s = −3\) のとき

\(\begin{align} t &= −7(− 3) − 25 \\ &= −4 \end{align}\)

 

\(s = −4\) のとき、

\(\begin{align} t &= −7(−4) − 25 \\ &= 3 \end{align}\)

 

よって、

接点 \((s, t) = (−3, −4)、(−4, 3)\)

 

したがって、求める接線の方程式は

\(−3x − 4y = 25\)

\(−4x + 3y = 25\)

 

答え: 

\(−3x − 4y = 25\)、\(−4x + 3y = 25\)

以上で問題も終わりです!

 

円の方程式について理解が深まりましたか?

どの公式もとても重要なので、すべて関連付けて覚えておきましょう!

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