陰関数とは?意味や陽関数との違い、微分のやり方、グラフ

この記事では、「陰関数」とは何か、また、陽関数との違いをわかりやすく解説していきます。

陰関数の微分のやり方やグラフの書き方も説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

陰関数とは?

陰関数とは、複数の変数を含む関係式によって間接的に定められる関数のことです。

陰関数

\(x\) の関数 \(y\) が関係式 \(\color{red}{F(x, y) = 0}\) で与えられるとき、\(y\) を \(x\) の陰関数という。

 

そもそも、関数の定義は以下でしたね。

関数

ある変数に依存して値がただ \(1\) つに決まる変数、またはその対応を表す式。

例えば、\(y = f(x)\) は変数 \(x\) の値によって変数 \(y\) の値が決まるので、「\(y\) は \(x\) の関数」と呼ぶことができます。

移行して、この関数を \(F(x, y) = 0\) と表したとき、「\(y\) は \(x\) の陰関数」と呼ばれます。

陰関数の厳密な定義にはもっと細かい条件がありますが、最初の理解はこれで十分です。

 

注意が必要なのは、陰関数 \(F(x, y) = 0\) の形をした式でも「関数」であるとは限らないことです。

例えば、\(x^2 + y^2 − 4 = 0\) という式は座標平面上で中心 \((0, 0)\)、半径 \(2\) の円を表します。

しかし、\(1\) つの \(x\) に対して \(y\) が \(2\) つの値をとる範囲があるため、厳密には関数ではありません。

また、\((x − 1)^2 + (2y − 1)^2 = 0\) のような式も単なる点 \(\displaystyle \left(1, \frac{1}{2}\right)\) を表すだけなので、関数とは言えません。

 

陽関数表示と陰関数表示

ある関数を \(y = f(x)\) の形で表すことを「陽関数表示」、\(F(x, y) = 0\) の形で表すことを「陰関数表示」といいます。

関数の表示

\(x\) が \(y\) の関数であるとき、

  • 陽関数表示:\(\color{red}{y = f(x)}\)
  • 陰関数表示:\(\color{red}{F(x, y) = 0}\)

今まで一般的な関数として習ってきた \(y = f(x)\) という表記方法を、実は「陽関数表示」と呼びます。

同じ関数であっても、陽関数として表したり、陰関数として表したりできます。

(例1)

  • 陽関数表示
    \(y = x^2 + 1\)
  • 陰関数表示
    \(x^2 − y + 1 = 0\)

 

また、先ほど厳密には関数でないと説明した円の方程式 \(x^2 + y^2 − 4 = 0\) も、値域によって \(2\) つの(陽)関数に分けることができます

(例2)

  • 陰関数表示
    \(x^2 + y^2 − 4 = 0\)
  • 陽関数表示
    \(y = \cases{ \sqrt{4 − x^2} & ($0 \leq y$) \cr −\sqrt{4 − x^2} & ($y < 0$)}\)
補足

陽関数表示にするのが難しい陰関数も存在します。

(例)\(4x^3 + xy − 2y^2 + y^3 = 0\)

無理やり \(y\) について解けばよいのですが、とても複雑な式になります。

それに対して、陽関数を陰関数表示することは比較的簡単です。

 

陰関数のグラフの書き方

ここでは、陰関数のグラフの書き方を例題を通して説明していきます。

例題

関数 \(y^2 = x^2(x + 1)\) のグラフを書け。

 

STEP.1
F(x, y) = 0 の形にする

まずは、右辺が \(0\) になるように移項し、陰関数表示にします。

\(y^2 = x^2(x + 1)\) より \(y^2 − x^2(x + 1) = 0\)

 

STEP.2
対称性を確認する

\(F(x, y)\) に次の \(4\) つを代入して、元の式と同じ形になれば対称性をもつことがわかります。

\(\begin{align}F(−x, y) &= y^2 − (−x)^2 \{(−x) + 1\} \\&= y^2 − x^2(−x + 1)\end{align}\)

 

\(\begin{align}F(x, −y) &= (−y)^2 − x^2(x + 1) \\&= y^2 − x^2(x + 1) \\&= \color{red}{F(x, y)}\end{align}\)

 

\(\begin{align}F(−x, −y) &= (−y)^2 − (−x)^2 \{(−x) + 1\} \\&= y^2 − x^2(−x + 1)\end{align}\)

 

\(F(y, x) = x^2 − y^2(y + 1)\)

よって、この関数は \(x\) 軸について対称であるとわかりました。

対称性を利用すると、すべての範囲の増減を調べる必要がなくなるので楽です。

 

STEP.3
陽関数表示 y = f(x) にする

グラフの増減を調べるには、陽関数表示に変形する必要があります。

\(y^2 = x^2(x + 1)\) より

\(y = \pm x\sqrt{x + 1}\)

 

STEP.4
定義域・極値・変曲点を調べる

通常の関数のグラフを書くときと同様に、定義域や極値、変曲点を調べます。

関数 \(y^2 = x^2(x + 1)\) は \(x\) 軸対称なので、\(y = +x\sqrt{x + 1}\) だけを考えればよいですね。

\(x + 1 \geq 0\) より定義域は \(x \geq −1\)

 

\(\begin{align} y’ &= 1 \cdot \sqrt{x + 1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \\ &= \frac{2(x + 1) + x}{2 \sqrt{x + 1}} \\ &= \frac{3x + 2}{2\sqrt{x + 1}} \end{align}\)

 

\(y’ = 0\) のとき \(\displaystyle x = −\frac{2}{3}\), \(\displaystyle y = −\frac{2\sqrt{3}}{9}\)

 

\(\begin{align} y’’ &= \frac{3 \cdot 2\sqrt{x + 1} − (3x + 2) \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{(2\sqrt{x + 1})^2} \\ &= \frac{6\sqrt{x + 1} − \frac{3x + 2}{\sqrt{x + 1}}}{4(x + 1)} \\ &= \frac{6(x + 1) − (3x + 2)}{4(x + 1) \sqrt{x + 1}} \\ &= \frac{3x + 4}{4(x + 1)\sqrt{x + 1}} \end{align}\)

 

\(x > −1\) において常に \(y’’ > 0\)

 

 

STEP.5
増減を調べる

増減表に関数の増減を整理しましょう。

補足

「増減表」の書き方については以下の記事で説明しています。

増減表とは?書き方や符号の調べ方、2 回微分の意味

 

また、傾きやグラフが向かう先がわからない場合は極限を調べておくとよいです。

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} y = \infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to −1+0} y’ = −\infty\)

 

STEP.6
グラフを書く

あとは、増減表にしたがってグラフを書くだけです。

対称性も利用して図示しましょう。

これでグラフの完成です!

 

完了

 

陰関数の微分法【公式】

陰関数は、陰関数表示のまま微分できます。

陰関数の微分法

\(y\) が \(x\) の関数であるとき、

\begin{align}\color{red}{\frac{d}{dx} f(y) = \frac{d}{dy} f(y) \cdot \frac{dy}{dx}}\end{align}

\(F(x, y) = 0\) を \(x\) について微分するとき、\(y\) を含む部分は合成関数とみて微分します。

合成関数の微分

\begin{align}\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\end{align}
\begin{align}\{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x)\end{align}

合成関数とは?微分・積分の公式や証明、問題の解き方

 

例題「陰関数を微分する」

例を見てみましょう。

例題

\(x^2 + y^2 − 4 = 0\) において \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求めよ。

 

\(y^2\) の部分は \(f(y) = y^2\), \(y = g(x)\) の合成関数と見ることができるので、\(x\) について微分すると

\(\displaystyle \frac{d}{dx} y^2 = \frac{d}{dy} y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot y’\)

\(\text{(全体を $y$ で微分)} \times \text{($y$ を $x$ で微分)}\)

ですね。

他の部分は普通に微分し、最後に \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求めます。

解答

 

両辺を \(x\) で微分すると

\(2x + 2yy’ = 0\)

\(\displaystyle y’ = −\frac{2x}{2y} = −\frac{x}{y}\)

よって \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\frac{x}{y}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\frac{x}{y}}\)

陰関数の微分では、特に指示がない限り答えに \(y\) が含まれていても構いません。

\(x\) のみを使って答えよと指示された場合は、元の式を \(y\) について解いておきます。

 

また、この問題では陽関数表示に直してから微分することもできますが、計算の手間は増えます。

別解(陽関数として微分)

 

\(x^2 + y^2 − 4 = 0\) より

\(y = \pm\sqrt{4 − x^2}\)

 

(i) \(y = \sqrt{4 − x^2}\) のとき

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{(−2x)}{2\sqrt{4 − x^2}} = −\frac{x}{\sqrt{4 − x^2}} = −\frac{x}{y}\)

 

(ii) \(y = −\sqrt{4 − x^2}\) のとき

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\frac{(−2x)}{2\sqrt{4 − x^2}} = \frac{x}{\sqrt{4 − x^2}} = −\frac{x}{y}\)

 

よって

\(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\frac{x}{y}}\)

 

陰関数の微分の練習問題

それでは、陰関数を微分する問題をいくつか解いてみましょう。

練習問題①「\(x^2 − 2xy + 3y^2 = 1\) の \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)」

練習問題①

\(x\) の関数 \(y\) が \(x^2 − 2xy + 3y^2 = 1\) を満たすとき、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求めよ。

 

\(xy\) の部分は異なる関数の積の微分ととらえます。

積の微分
\begin{align}(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\end{align}

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!
解答

 

両辺を \(x\) で微分すると

\(2x −2(1 \cdot y + xy’) + 6yy’ = 0\)

\(2x −2y −2xy’ + 6yy’ = 0\)

\(x − y − xy’ + 3yy’ = 0\)

\(y’(x − 3y) = x − y\)

よって

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y’ = \frac{x − y}{x − 3y}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x − y}{x − 3y}}\)

 

練習問題②「\(x^2 + 9y^2 = 16\) の \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\), \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\)」

練習問題②

\(x\) の関数 \(y\) が \(x^2 + 9y^2 = 16\) を満たすとき、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\), \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\) を求めよ。

 

二階微分 \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\) を求めるときは、\(\displaystyle \left( \frac{x}{y} \right)’\) を商の微分と見ます。

商の微分

\begin{align}\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\end{align}

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!
解答

 

両辺を \(x\) で微分すると

\(2x + 18yy’ = 0\)

\(x + 9yy’ = 0\)

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y’ = −\frac{x}{9y}\)

 

\(\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} &= −\frac{1}{9} \left( \frac{x}{y} \right)’ \\ &= −\frac{1}{9} \cdot \frac{1 \cdot y − xy’}{y^2} \\ &= \frac{xy’ − y}{9y^2} \\ &= \frac{x \cdot \left( −\frac{x}{9y} \right) − y}{9y^2} \\ &= \frac{−x^2 − 9y^2}{81y^3} \\ &= −\frac{x^2 + 9y^2}{81y^3} \\ &= −\frac{16}{81y^3}\end{align}\)

 

答え: 

\(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\frac{x}{9y}}\), \(\color{red}{\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = −\frac{16}{81y^3}}\)

 

練習問題③「\(\cos x + \sin y = 1\) の \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)」

練習問題③

\(x\) の関数 \(y\) が \(\cos x + \sin y = 1\) を満たすとき、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求めよ。

 

この問題のように、陽関数表示が難しいときには陰関数の微分が必須ですね。

解答

 

両辺を \(x\) で微分すると

\(−\sin x + (\cos y) y’ = 0\)

よって

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y’ = \frac{\sin x}{\cos y}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{\cos y}}\)

このように、陰関数表示のままでも微分は十分可能です。

一方で、積分しようと思うと陰関数表示のままでは難しく、陽関数表示に直して積分してあげる必要があります。

 

【参考】陰関数の微分と接線の方程式

陰関数の微分で求めた \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) は、陽関数における \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) と同じように、グラフ上では接線の傾きを意味します。

「接線の方程式」の求め方については、以下の記事で説明しています。

接線、接線の方程式とは?公式や微分による傾きの求め方

 

以上で陰関数の説明は終わりです。

関数、陽関数、陰関数などの言葉の違いをしっかりと理解して、さまざまな問題に対応できるようにしましょう!

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