判別式 D とは?D や 4 分の D の公式、グラフと解の範囲

この記事では「判別式 \(D\)」について、その意味やグラフ、公式をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、\(4\) 分の \(D\) の使い方や簡単な問題も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

判別式 D とは?【公式】

判別式 \(D\) とは、二次方程式の実数解の個数を調べる式です。

判別式 D

\(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) のとき、

\begin{align}\color{red}{D = b^2 − 4ac}\end{align}

 

具体的に \(D\) が何なのかというと、二次方程式の解の公式における根号(\(\bf{\sqrt{ }}\))の中身の部分です。

解の公式

\(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) のとき、

\begin{align}x = \displaystyle \frac{− b \pm \sqrt{\color{red}{b^2 − 4ac}}}{2a}\end{align}

 

\(D\) を用いて解の公式を書き直すと、以下のようになります。

\(x = \displaystyle \frac{− b \pm \sqrt{\color{red}{b^2 − 4ac}}}{2a} = \displaystyle \frac{− b \pm \sqrt{\color{red}{D}}}{2a}\)

判別式 \(D\) は \(\sqrt{ }\) の中身ですので、\(D\) の符号によって二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の実数解の個数が決まります。

  • \(D > 0\) のとき
    \(\sqrt{D}\) は実数なので、実数解は \(x = \displaystyle \frac{− b + \sqrt{D}}{2a}\), \( \displaystyle \frac{− b − \sqrt{D}}{2a}\) の \(2\) 個
  • \(D = 0\) のとき
    \(\sqrt{D} = 0\) なので、実数解は \(x = − \displaystyle \frac{b}{2a}\) の \(1\) 個(重解)
  • \(D < 0\) のとき
    \(\sqrt{D}\) は実数ではない(根号の中が負の数 = 虚数)ので、\(x\) の実数解は \(0\) 個(存在しない)

 

以上の性質をまとめると、以下のとおりです。

判別式 D と実数解の個数

判別式 D と実数解の個数
二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) の判別式を \(D\) とおくと、

  • \(D > 0\) のとき
    異なる \(2\) 個の実数解をもつ
  • \(D = 0\) のとき
    \(1\) 個の実数解(重解)をもつ
  • \(D < 0\) のとき
    実数解をもたない(\(0\) 個)

判別式 \(D\) の符号を調べるだけで、二次方程式が実数解を何個もつかがわかる、ということですね!

 

判別式 D と解の個数(実数解・虚数解)

なお、二次方程式の解の範囲を複素数まで広げると、判別式 \(D\) と解の個数の関係は次のようになります。

判別式 D と解の個数
二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) の判別式を \(D\) とおくと、

  • \(D > 0\) のとき
    異なる \(2\) 個の実数解をもつ
  • \(D = 0\) のとき
    \(1\) 個の実数解(重解)をもつ
  • \(D < 0\) のとき
    異なる \(2\) 個の虚数解をもつ

\(D < 0\) のときは \(\sqrt{D}\) が虚数となるので、二次方程式は \(2\) つの虚数解をもちます。

数 I までは「実数解が \(0\) 個」、数 II(虚数を習ったあと)では「虚数解が \(2\) 個」と表現が変わるので、混乱しないようにしましょう!

 

4 分の D 公式

二次方程式の \(x\) の係数が偶数のときは、\(D\) を \(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍して計算を楽にできます。

判別式 D/4

\(ax^2 + 2b’x + c = 0\) \((a \neq 0)\) の判別式は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{D}{4} = b’ − ac}\end{align}

 

\(\displaystyle \frac{D}{4}\) は、次の計算から求められます。

\(ax^2 + bx + c = 0\) の \(b\) が偶数のとき、

\(b = 2b’\) とおくと、

 

\(\begin{align}D & = b ^2 − 4ac\\& = (2b’)^2 − 4ac\\& = 4b’ − 4ac\\& = \color{red}{4}(b’ − ac)\end{align}\)

 

よって、

\(\displaystyle \frac{D}{4} = b’ − ac\)

 

判別式 \(D\) において重要なのは \(D\) の符号(正、\(0\)、負)だけなので、\(D\) を \(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍しても問題ありません。

例えば、\(x^2 + 36x + 9 = 0\) の実数解を求めるとき、

\(\begin{align}D & = 36^2 − 4 \cdot 1 \cdot 9\\& = 1296 − 36\\& = 1260 > 0\end{align}\)

を計算するよりも、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{D}{4} & = 18^2 − 1 \cdot 9\\& = 324 − 9\\& = 315 > 0\end{align}\)

を計算する方が、よっぽど楽ですよね。

ぜひ、活用してみてください!

 

判別式と二次関数のグラフの関係

判別式 \(D\) は二次方程式の実数解の個数を判別する式ですが、実は「二次関数のグラフが \(x\) 軸と何個の共有点をもつか」を調べることもできます。

二次関数のグラフと判別式 D

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) との共有点の個数は、\(ax^2 + bx + c = 0\) の判別式 \(D\) の実数解の個数に等しい。

  • \(D > 0\) のとき
    異なる \(2\) 個の共有点をもつ
  • \(D = 0\) のとき
    \(1\) 個の共有点をもつ(\(x\) 軸と接する)
  • \(D < 0\) のとき
    共有点をもたない(\(0\) 個)

 

なぜそうなるかは、実際に共有点を求めるプロセスからわかります。

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) の交点を求めるには、両者の式を連立します。

\(\left\{\begin{array}{l}y = ax^2 + bx + c\\y = 0\end{array}\right.\)

これはつまり、\(ax^2 + bx + c = 0\) の実数解を求めることと同じになりますね。

したがって、判別式 \(D\) を利用できるのです。

 

判別式の練習問題

では、さっそく判別式の簡単な問題を解いてみましょう。

練習問題①「実数解の個数を求める」

練習問題①
次の二次方程式の実数解の個数を求めよ。

\(3x^2 − 6x + 4 = 0\)

 

実数解の個数のみを聞かれているので、わざわざ二次方程式を解く必要はありません。

判別式 \(D\) を計算すればわかりますね。

また、\(x\) の係数が偶数なので、 \(\displaystyle \frac{D}{4}\) の公式が使えます。

解答

 

\(3x^2 − 6x + 4 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{D}{4} &= (−3)^2 − 3 \cdot 4 \\&= 9 − 12 \\&= − 3 < 0\end{align}\)

 

\(\displaystyle \frac{D}{4} < 0\) より、実数解の個数は \(0\) 個。

 

答え: \(0\)

 

練習問題②「x 軸との共有点を求める」

練習問題②
次の二次関数のグラフと \(x\) 軸の共有点の個数を求めよ。

\(y = x^2 − 5x + 1\)

 

判別式 \(D\) を計算すれば \(x\) 軸との共有点の個数がわかるのでしたね。

解答

 

\(y = x^2 − 5x + 1\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) との共有点の個数は、\(x^2 − 5x + 1 = 0\) の実数解の個数に等しい。

 

\(x^2 − 5x + 1 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(\begin{align}D &= (−5)^2 − 4 \cdot 1 \cdot 1 \\&= 25 − 4 \\&= 21 > 0\end{align}\)

 

\(D > 0\) より、\(y = x^2 − 5x + 1\) と \(x\) 軸との共有点の個数は \(2\) 個。

 

答え: \(2\)

 

判別式の応用問題

最後に、少し難易度の高い \(2\) 問を解いてみましょう。

応用問題①「定数を含む二次方程式の実数解」

応用問題①
\(k\) を定数とする。

二次方程式 \(x^2 − 2x + k − 3 = 0\) の実数解の個数を調べよ。

 

定数 \(k\) の値によって判別式 \(D\) の符号も変わってくるので、それぞれを場合分けして考えましょう。

解答

 

\(x^2 − 2x + k − 3 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{D}{4} &= (− 1)^2 − 1 \cdot (k − 3)\\&= 1 − (k − 3)\\&= 1 − k + 3\\&= − k + 4\end{align}\)

 

(i) \(D > 0\)、すなわち \(− k + 4 > 0\) のとき

\(− k > − 4\) より

\(k < 4\)

このとき、実数解の個数は \(2\) 個。

 

(ii) \(D = 0\)、すなわち \(− k + 4 = 0\) のとき

\(− k = − 4\) より

\(k = 4\)

このとき、実数解の個数は \(1\) 個。

 

(iii) \(D < 0\)、すなわち \(− k + 4 < 0\) のとき

\(− k < − 4\) より

\(k > 4\)

このとき、実数解の個数は \(0\) 個。

 

答え:

\(k < 4\) のとき \(2\)

\(k = 4\) のとき \(1\)

\(k > 4\) のとき \(0\)

 

応用問題②「定数を含む二次関数と x 軸との共有点」

応用問題②
\(k\) を定数とする。

二次関数 \(y = x^2 − 6x + k\) のグラフと \(x\) 軸の共有点の個数を求めよ。

 

二次関数の問題ですが、解き方は応用問題①と同じです。

判別式 \(D\) の符号で場合分けしましょう。

解答

 

\(y = x^2 − 6x + k\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) との共有点の個数は、\(x^2 − 6x + k = 0\) の実数解の個数に等しい。

 

\(x^2 − 6x + k = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{D}{4} &= (− 3)^2 − 1 \cdot k \\&= 9 − k\end{align}\)

 

(i) \(D > 0\)、すなわち \(9 − k > 0\) のとき

\(9 > k\) より

\(k < 9\)

このとき、共有点の個数は \(2\) 個。

 

(ii) \(D = 0\)、すなわち \(9 − k = 0\) のとき

\(k = 9\)

このとき、共有点の個数は \(1\) 個。

 

(iii) \(D < 0\)、すなわち \(9 − k < 0\) のとき

\(9 < k\) より

\(k > 9\)

このとき、共有点の個数は \(0\) 個。

 

答え:

\(k < 9\) のとき \(2\) 個

\(k = 9\) のとき \(1\) 個

\(k > 9\) のとき \(0\) 個

以上で、すべての問題は終わりです!

 

判別式 \(D\) は二次方程式や二次関数の分野でよく登場する重要な式なので、しっかりと理解しておきましょう。

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