五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)とは?求め方や性質

この記事では、「五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)」についてできるだけわかりやすく解説していきます。

それぞれの意味や求め方を詳しく説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

五心とは?【意味】

五心とは、三角形の頂点や辺に関連する特徴的な \(\bf{5}\) つの点のことです。

「重心」「内心」「外心」「垂心」「傍心」の \(5\) つがあります。

名前に「心」とついている通り、それぞれあるものの中心になっています。

  • 重心
    重さの中心(\(1\) 点で全体をバランスよく支えられる点)。
    英語では「center of Gravity」のため、「点 \(\mathrm{G}\)」と表すことが多い。
  • 内心
    内接円の中心
    英語では「Inner center (または incenter)」のため、「点 \(\mathrm{I}\)」と表すことが多い。
  • 外心
    外接円の中心
    英語では「Outer center (または circumcenter)」のため、「点 \(\mathrm{O}\)」と表すことが多い。
  • 垂心
    垂線が集まる中心
    「Height(垂直方向の高さ)」に由来して「点 \(\mathrm{H}\)」と表すことが多い。
    なお、英語では「orthocenter」。
  • 傍心
    傍接円の中心
    内心と似た性質をもつことから、同じ頭文字 \(\mathrm{I}\) か、アルファベット順で次の \(\mathrm{J}\) で「点 \(\mathrm{I_A}\), \(\mathrm{I_B}\), \(\mathrm{I_C}\)」「点 \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{J’}\), \(\mathrm{J’’}\)」などと表すことが多い。
    なお、英語では「excenter」。

それでは、五心それぞれの定義や性質、求め方をまとめていきます!

 

重心とは?

まずは重心についてです。

重心の定義

三角形における重心の定義は次のとおりです。

重心の定義

三角形の重心とは、\(3\) 本の中線の交点である。

 

中線

三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結んだ線分。

 

重心の性質

そして、重心には次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】重心は中線を 2 : 1 に内分する

 

【性質②】重心と各頂点を結んでできる 3 つの三角形の面積は等しい

 

重心の位置ベクトルの求め方

重心の位置ベクトルは以下のように求められます。

重心の位置ベクトルの公式

原点を \(\mathrm{O}\)、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\)、\(\mathrm{B}(\vec{b})\)、\(\mathrm{C}(\vec{c})\) とすると、重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}\end{align}

Tips

各頂点に対して、位置ベクトルではなく座標を与えると、座標平面における位置も求められます。

\(\mathrm{A}(x_\mathrm{A}, y_\mathrm{A})\)、\(\mathrm{B}(x_\mathrm{B}, y_\mathrm{B})\)、\(\mathrm{C}(x_\mathrm{C}, y_\mathrm{C})\) とすると、重心 \(\mathrm{G}\) の座標 \((x_\mathrm{G}, y_\mathrm{G})\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{G}(}&\color{red}{x_\mathrm{G}, y_\mathrm{G})} \\&\color{red}{= \left( \frac{x_\mathrm{A} + x_\mathrm{B} + x_\mathrm{C}}{3}, \frac{y_\mathrm{A} + y_\mathrm{B} + y_\mathrm{C}}{3} \right)}\end{align}

 

重心と頂点の距離の求め方

重心から三角形の各頂点への距離は、中線定理と重心の性質(中線を \(\bf{2 : 1}\) に内分)から求められます。

重心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、重心を \(\mathrm{G}\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AG}^2 = \frac{−a^2 + 2b^2 + 2c^2}{9}}\end{align}

補足

「中線定理」については以下の記事で説明しています。

中線定理とは?定理の証明や問題の解き方をわかりやすく解説!

 

内心とは?

次は内心です。

内心の定義

三角形における内心の定義は次のとおりです。

内心の定義

三角形の内心とは、各頂角の二等分線の交点である。

 

補足

「角の二等分線」については以下の記事で説明しています。

角の二等分線とは?定理や比の性質、証明、問題、作図方法

 

内心の性質

そして、内心には次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】内心は内接円の中心である

補足

「内接円」については以下の記事で説明しています。

内接円とは?内接円の半径の公式や求め方、性質、書き方

 

【性質②】内心から三角形の各辺への距離(垂線の長さ/内接円の半径)は等しい

 

内心の位置ベクトルの求め方

内心の位置ベクトルは以下のように求められます。

内心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\)、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\) とする。

このとき内心 \(\mathrm{I}\) の位置ベクトル \(\vec{i}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a + b + c}}\end{align}

 

内心と頂点の距離の求め方

内心から三角形の各頂点への距離は、次の \(2\) つの求め方があります。

内心と頂点の距離の公式
  1. 頂角で表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内心を \(\mathrm{I}\)、内接円の半径を \(r\)、外接円の半径を \(R\) とすると、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI} = 4R \sin\frac{\mathrm{B}}{2} \sin\frac{\mathrm{C}}{2}}\end{align}
  2. 辺の長さで表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\) とすると、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI} = \sqrt{\frac{bc(−a + b + c)}{a + b + c}}}\end{align}
補足

公式 1 は内接円と外接円の関係から、公式 2 は角の二等分線の性質から得られます。

 

外心とは?

次は外心です。

外心の定義

三角形における外心の定義は次のとおりです。

外心の定義

三角形の外心とは、\(3\) 辺の垂直二等分線の交点である。

 

 

外心の性質

そして、外心には次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】外心は外接円の中心である

補足

「外接円」については以下の記事で説明しています。

外接円とは?半径の公式や求め方、性質、書き方

 

【性質②】外心から 3 つの頂点への距離(外接円の半径)は等しい

 

外心の位置ベクトルの求め方

外心の位置ベクトルは、頂角の正弦(\(\sin\))または余弦(\(\cos\))と辺の長さで表せます。

外心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、各位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とおくと、外心 \(\mathrm{O}\) の位置ベクトル \(\vec{o}\) は、次の 2 通りで表せる。

  1. 角のみで表す場合
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{o} = \frac{\sin2\mathrm{A} \ \vec{a} + \sin2\mathrm{B} \ \vec{b} + \sin2\mathrm{C} \ \vec{c}}{\sin2\mathrm{A} + \sin2\mathrm{B} + \sin2\mathrm{C}}}\end{align}
  2. 辺の長さと角で表す場合
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{o} = \frac{a\cos \mathrm{A} \ \vec{a} + b\cos \mathrm{B} \ \vec{b} + c\cos \mathrm{C} \ \vec{c}}{a\cos \mathrm{A} + b\cos \mathrm{B} + c\cos \mathrm{C}}}\end{align}

 

外心と頂点の距離の求め方

外心から三角形の各頂点への距離は外接円の半径なので、正弦定理で表せますね。

外心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、外接円の半径を \(R\)、外心を \(\mathrm{O}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AO} = R = \frac{a}{2\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{2\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{2\sin \mathrm{C}}}\end{align}

Tips

座標平面で求める場合も、各頂点からの距離が等しいことを利用できます。

(\(\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = R\))

補足

「正弦定理」については以下の記事で説明しています。

正弦定理とは?公式や証明、計算問題をわかりやすく解説

 

垂心とは?

続いて、垂心です。

垂心の定義

三角形における垂心の定義は次のとおりです。

垂心の定義

三角形の垂心とは、各頂点から向かい合う辺に下ろした垂線の交点である。

 

 

垂心の性質

そして、垂心には、重心と外心との間に面白い性質が成り立ちます。

垂心・重心・外心の関係

ある三角形の垂心を \(\mathrm{H}\)、重心を \(\mathrm{G}\)、外心を \(\mathrm{O}\) とすると、三角形の形や大きさに関係なく、次の性質が成り立つ。

  • \(3\) 点 \(\mathrm{H, G, O}\) は一直線上に存在する
  • \(\mathrm{OG : GH = 1 : 2}\)

補足

ちなみに、この \(3\) 点を結ぶ直線は「オイラー線」と呼ばれます。

 

垂心の位置ベクトルの求め方

垂心の位置も、内心・外心と同様に各頂点の位置ベクトルを用いて表すことができます。

垂心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とする。

このとき垂心 \(\mathrm{H}\) の位置ベクトル \(\vec{h}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{h} = \frac{\tan \mathrm{A} \ \vec{a} + \tan \mathrm{B} \ \vec{b} + \tan \mathrm{C} \ \vec{c}}{\tan \mathrm{A} + \tan \mathrm{B} + \tan \mathrm{C}}}\end{align}

 

垂心と頂点の距離の求め方

垂心から三角形の各頂点への距離は、三角比を使って次のように求められます。

垂心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、外接円の半径を \(R\)、垂心を \(\mathrm{H}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AH} = 2R|\cos \mathrm{A}|}\end{align}

 

傍心とは?

最後に、傍心です。

傍心の定義

三角形における傍心の定義は次のとおりです。

傍心の定義

傍心とは、\(1\) つの頂角の二等分線と、\(2\) つの頂角の外角の二等分線の交点である。

 

角の二等分線の交点であるという特徴は、内心と共通していますね。

 

傍心の性質

そして、傍心には次の \(3\) つの性質があります。

【性質①】傍心は傍接円の中心である

傍接円

三角形の \(3\) 辺(\(1\) 辺と \(2\) 辺の延長線)に外側で接する円。

三角形 \(1\) つにつき \(3\) 個の傍接円が存在する。

 

【性質②】傍心から三角形の 1 辺と、他 2 辺の延長線への距離(垂線の長さ/傍接円の半径)は等しい

 

【性質③】\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心 \(\mathrm{I}\) は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の傍心を頂点とする \(\triangle \mathrm{I_A I_B I_C}\) の垂心となる

 

傍心の位置ベクトルの求め方

傍心の位置ベクトルの求め方を説明していきます。

傍心は内心と共通の性質をもつため、内心と同じような計算で求められます。

傍心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とする。

このとき \(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心 \(\mathrm{I_A}\) の位置ベクトル \(\vec{i_\mathrm{A}}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{i_\mathrm{A}} = \frac{−a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{−a + b + c}}\end{align}

 

傍心と頂点の距離の求め方

傍心から三角形の各頂点への距離には、次の \(2\) つの求め方があります。

傍心と頂点の距離の公式
  1. 頂角と外接円の半径で表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の半径を \(\mathrm{R}\)、\(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心を \(\mathrm{I_A}\) とおくと、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI_A} = 4R \cos \frac{\mathrm{B}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}}{2}}\end{align}
  2. 辺の長さで表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺を \(a\), \(b\), \(c\)、\(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心 \(\mathrm{I_A}\) とおくと、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI_A} = \sqrt{\frac{bc(a + b + c)}{−a + b + c}}}\end{align}

 

以上で五心についての解説は終わりです!

垂心や傍心は問題で聞かれることは少ないですが、それぞれの定義や性質はしっかりと区別できるようにしておきましょう。

補足

なお、五心の作図方法については以下の記事で説明しているので、ぜひ確認してくださいね!

三角形の五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の作図方法まとめ!

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