五心とは?三角形の重心/内心/外心/垂心/傍心の性質と求め方

この記事では、五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)についてできるだけわかりやすく解説していきます。

それぞれの定義、性質、公式(求め方)を詳しく説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

五心とは?

五心とは、三角形の頂点や辺に関連する特徴的な \(5\) つの点、「重心」「内心」「外心」「垂心」「傍心」の総称です。

名前に「心」とついている通り、それぞれあるものの中心になっています。

  • 重心(じゅうしん)
    重さの中心(\(1\) 点で全体をバランスよく支えられる点)。
    英語では「center of Gravity」のため、「点 \(\mathrm{G}\)」と表すことが多い。
  • 内心(ないしん)
    内接円の中心
    英語では「Inner center (または incenter)」のため、「点 \(\mathrm{I}\)」と表すことが多い。
  • 外心(がいしん)
    外接円の中心
    英語では「Outer center (または circumcenter)」のため、「点 \(\mathrm{O}\)」と表すことが多い。
  • 垂心(すいしん)
    垂線が集まる中心
    「Height(垂直方向の高さ)」に由来して「点 \(\mathrm{H}\)」と表すことが多い。
    なお、英語では「orthocenter」。
  • 傍心(ぼうしん)
    傍接円の中心
    内心と似た性質をもつことから、同じ頭文字 \(\mathrm{I}\) か、アルファベット順で次の \(\mathrm{J}\) で「点 \(\mathrm{I_A}\), \(\mathrm{I_B}\), \(\mathrm{I_C}\)」「点 \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{J’}\), \(\mathrm{J’’}\)」などと表すことが多い。
    なお、英語では「excenter」。

それでは、五心それぞれの定義や性質、求め方をまとめていきます!

 

重心とは?

重心とは、物質や図形における重さの中心のことで、その \(1\) 点で全体をバランスよく支えられる点です。

ここでは、三角形における重心の定義・性質・求め方を説明します。

三角形の重心の定義

三角形の重心は次のように定義できます。

三角形の重心の定義

三角形の重心とは、\(3\) 本の中線の交点である。

 

中線

三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結んだ線分。

 

三角形の重心の性質

三角形の重心には、「重心は中線を \(2 : 1\) に内分する」「重心と各頂点を結んでできる \(3\) つの三角形の面積は等しい」という \(2\) つの性質があります。

【性質①】重心は中線を 2 : 1 に内分する

 

【性質②】重心と各頂点を結んでできる 3 つの三角形の面積は等しい

 

三角形の重心の座標の公式

座標平面上において三角形の重心を求める公式は次のとおりです。

重心の座標の公式

\(3\) 点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\), \(\mathrm{C} (x_3, y_3)\) を頂点にもつ \(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の座標は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{G}\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)}\end{align}

「\(3\) つの頂点の座標を足して、\(3\) で割る」と覚えると簡単ですね!

例題

次の \(3\) 点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) を頂点とする \(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) を求めなさい。

\(\mathrm{A}(5, 2)\), \(\mathrm{B}(3, 6)\), \(\mathrm{C}(1, 1)\)

 

実際に図を書かなくても、公式に数値を当てはめるだけで求められます。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の座標を \((x, y)\) とおくと、

\(\begin{align} x &= \frac{5 + 3 + 1}{3} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3 \end{align}\)

 

\(\begin{align} y &= \frac{2 + 6 + 1}{3} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3 \end{align}\)

 

よって、\(\mathrm{G}(3, 3)\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{G}(3, 3)}\)

 

三角形の重心の位置ベクトルの公式

三角形の重心の位置ベクトルは以下のように求められます。

重心の位置ベクトルの公式

原点を \(\mathrm{O}\)、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\)、\(\mathrm{B}(\vec{b})\)、\(\mathrm{C}(\vec{c})\) とすると、重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}\end{align}

 

三角形の重心と頂点の距離の公式

重心から三角形の各頂点への距離は、中線定理と重心の性質(中線を \(\bf{2 : 1}\) に内分)から求められます。

重心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、重心を \(\mathrm{G}\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AG}^2 = \frac{−a^2 + 2b^2 + 2c^2}{9}}\end{align}

 

内心とは?

内心とは、多角形に内接する円(内接円)の中心のことです。

ここでは、三角形における内心の定義・性質・求め方を説明します。

三角形の内心の定義

三角形の内心は次のように定義できます。

三角形の内心の定義

三角形の内心とは、各頂角の二等分線の交点である。

 

合わせて読みたい

「角の二等分線」について説明しています。

角の二等分線とは?外角・内角の定理や性質をわかりやすく解説

 

三角形の内心の性質

三角形の内心には次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】内心は内接円の中心である

 

【性質②】内心から三角形の各辺への距離(垂線の長さ/内接円の半径)は等しい

 

三角形の内心の位置ベクトルの公式

三角形の内心の位置ベクトルは以下のように求められます。

内心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\)、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\) とする。

このとき内心 \(\mathrm{I}\) の位置ベクトル \(\vec{i}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a + b + c}}\end{align}

 

三角形の内心と頂点の距離の公式

内心から三角形の各頂点への距離は、次の \(2\) つの求め方があります。

内心と頂点の距離の公式
  1. 頂角で表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内心を \(\mathrm{I}\)、内接円の半径を \(r\)、外接円の半径を \(R\) とすると、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI} = 4R \sin\frac{\mathrm{B}}{2} \sin\frac{\mathrm{C}}{2}}\end{align}
  2. 辺の長さで表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\) とすると、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI} = \sqrt{\frac{bc(−a + b + c)}{a + b + c}}}\end{align}
補足

公式 1 は内接円と外接円の関係から、公式 2 は角の二等分線の性質から得られます。

 

外心とは?

外心とは、多角形に外接する円(外接円)の中心のことです。

ここでは、三角形における外心の定義・性質・求め方を説明します。

三角形の外心の定義

三角形の外心は次のように定義できます。

三角形の外心の定義

三角形の外心とは、\(3\) 辺の垂直二等分線の交点である。

 

 

三角形の外心の性質

三角形の外心には次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】外心は外接円の中心である

 

【性質②】外心から 3 つの頂点への距離(外接円の半径)は等しい

 

三角形の外心の位置ベクトルの公式

三角形の外心の位置ベクトルは、頂角の正弦(\(\sin\))または余弦(\(\cos\))と辺の長さで表せます。

外心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、各位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とおくと、外心 \(\mathrm{O}\) の位置ベクトル \(\vec{o}\) は、次の 2 通りで表せる。

  1. 角のみで表す場合
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{o} = \frac{\sin2\mathrm{A} \ \vec{a} + \sin2\mathrm{B} \ \vec{b} + \sin2\mathrm{C} \ \vec{c}}{\sin2\mathrm{A} + \sin2\mathrm{B} + \sin2\mathrm{C}}}\end{align}
  2. 辺の長さと角で表す場合
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{o} = \frac{a\cos \mathrm{A} \ \vec{a} + b\cos \mathrm{B} \ \vec{b} + c\cos \mathrm{C} \ \vec{c}}{a\cos \mathrm{A} + b\cos \mathrm{B} + c\cos \mathrm{C}}}\end{align}

 

三角形の外心と頂点の距離の公式

外心から三角形の各頂点への距離は外接円の半径なので、正弦定理で表せますね。

外心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、外接円の半径を \(R\)、外心を \(\mathrm{O}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AO} = R = \frac{a}{2\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{2\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{2\sin \mathrm{C}}}\end{align}

Tips

座標平面で求める場合も、各頂点からの距離が等しいことを利用できます。

(\(\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = R\))

 

垂心とは?

三角形の各頂点から対辺に引いた \(3\) 本の垂線は必ず \(1\) 点で交わり、これを垂心といいます。

垂心は三角形特有の点であるといえますね。

三角形の垂心の定義・性質・求め方を説明します。

三角形の垂心の定義

三角形の垂心は次のように定義できます。

三角形の垂心の定義

三角形の垂心とは、各頂点から向かい合う辺に下ろした垂線の交点である。

 

 

三角形の垂心の性質

三角形の垂心には、重心と外心との間に面白い性質が成り立ちます。

垂心・重心・外心の関係

ある三角形の垂心を \(\mathrm{H}\)、重心を \(\mathrm{G}\)、外心を \(\mathrm{O}\) とすると、三角形の形や大きさに関係なく、次の性質が成り立つ。

  • \(3\) 点 \(\mathrm{H, G, O}\) は一直線上に存在する
  • \(\mathrm{OG : GH = 1 : 2}\)

補足

ちなみに、この \(3\) 点を結ぶ直線は「オイラー線」と呼ばれます。

 

三角形の垂心の位置ベクトルの公式

三角形の垂心の位置も、内心・外心と同様に各頂点の位置ベクトルを用いて表すことができます。

垂心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とする。

このとき垂心 \(\mathrm{H}\) の位置ベクトル \(\vec{h}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{h} = \frac{\tan \mathrm{A} \ \vec{a} + \tan \mathrm{B} \ \vec{b} + \tan \mathrm{C} \ \vec{c}}{\tan \mathrm{A} + \tan \mathrm{B} + \tan \mathrm{C}}}\end{align}

 

三角形の垂心と頂点の距離の公式

垂心から三角形の各頂点への距離は、三角比を使って次のように求められます。

垂心と頂点の距離の公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、外接円の半径を \(R\)、垂心を \(\mathrm{H}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AH} = 2R|\cos \mathrm{A}|}\end{align}

 

傍心とは?

傍心とは、三角形の \(1\) 辺と他の \(2\) 辺の延長とに接する円(傍接円)の中心のことです。

三角形の傍心の定義・性質・求め方を説明します。

三角形の傍心の定義

三角形の傍心は次のように定義できます。

三角形の傍心の定義

傍心とは、\(1\) つの頂角の二等分線と、\(2\) つの頂角の外角の二等分線の交点である。

 

角の二等分線の交点であるという特徴は、内心と共通していますね。

 

三角形の傍心の性質

三角形の傍心には次の \(3\) つの性質があります。

【性質①】傍心は傍接円の中心である

傍接円

三角形の \(3\) 辺(\(1\) 辺と \(2\) 辺の延長線)に外側で接する円。

三角形 \(1\) つにつき \(3\) 個の傍接円が存在する。

 

【性質②】傍心から三角形の 1 辺と、他 2 辺の延長線への距離(垂線の長さ/傍接円の半径)は等しい

 

【性質③】\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心 \(\mathrm{I}\) は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の傍心を頂点とする \(\triangle \mathrm{I_A I_B I_C}\) の垂心となる

 

三角形の傍心の位置ベクトルの公式

三角形の傍心の位置ベクトルの求め方を説明していきます。

傍心は内心と共通の性質をもつため、内心と同じような計算で求められます。

傍心の位置ベクトルの公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺の長さを \(a\), \(b\), \(c\)、各頂点の位置ベクトルを \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) とする。

このとき \(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心 \(\mathrm{I_A}\) の位置ベクトル \(\vec{i_\mathrm{A}}\) は、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{i_\mathrm{A}} = \frac{−a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{−a + b + c}}\end{align}

 

三角形の傍心と頂点の距離の公式

傍心から三角形の各頂点への距離には、次の \(2\) つの求め方があります。

傍心と頂点の距離の公式
  1. 頂角と外接円の半径で表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の半径を \(\mathrm{R}\)、\(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心を \(\mathrm{I_A}\) とおくと、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI_A} = 4R \cos \frac{\mathrm{B}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}}{2}}\end{align}
  2. 辺の長さで表す場合
    \(\triangle \mathrm{ABC}\) の各辺を \(a\), \(b\), \(c\)、\(\angle \mathrm{A}\) の二等分線上にある傍心 \(\mathrm{I_A}\) とおくと、
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{AI_A} = \sqrt{\frac{bc(a + b + c)}{−a + b + c}}}\end{align}

 

以上で五心についての解説は終わりです!

垂心や傍心は問題で聞かれることは少ないですが、それぞれの定義や性質はしっかりと区別しておきましょう。

合わせて読みたい

なお、三角形の五心の作図方法については以下の記事で説明しています。

三角形の五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の作図方法まとめ!

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