外接円とは?半径の公式や求め方、性質、書き方

この記事では、「外接円」の半径の公式や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、外接円の性質から三角形の面積や辺の長さを求める問題も紹介していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

外接円とは?

ある図形の外接円とは、その図形の外にあって、すべての頂点を通る円のことをいいます。

三角形の外接円ならば、その三角形の \(3\) つの頂点をすべて通る円のことです。

四角形ならば \(4\) つ、五角形なら \(5\) つの頂点を通る円、といった具合に増えていきます。

補足

\(1\) つの多角形について、外接円は必ず \(1\) つに定まります

 

外接円の半径の公式

ここでは、三角形の外接円の半径を求める公式について説明します。

外接円の半径の公式には、次の \(2\) 種類があります。

【公式①】正弦定理から求める

外接円の半径の公式①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(3\) つの角 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\)、その外接円の半径を \(R\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{b}{\sin \mathrm{B}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}} = 2R}\end{align}

この公式、実は正弦定理」とまったく同じです。

ゆえに、三角形の \(\bf{1}\) つの角の大きさとその角に向かい合う辺の長さがわかれば、外接円の半径は求められる、ということになります。

補足

「正弦定理」については、以下の記事で詳しく説明しています。

正弦定理とは?公式や証明、計算問題をわかりやすく解説

 

【公式②】3 辺と面積から求める

外接円の半径の公式②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(3\) 辺の長さを \(a\)、\(b\)、\(c\)、その外接円の半径を \(R\) とすると、\(R\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) との間には次の関係がある。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle R = \frac{abc}{4S}}\end{align}

(または \(\color{red}{\displaystyle S = \frac{abc}{4R}}\))

 

三角形の \(3\) 辺の長さと面積から、外接円の半径が求められるのですね。

なお、\(3\) 辺の長ささえわかれば面積は「ヘロンの公式」から導けるので、\(3\) 辺の長さだけわかっている状況でも使える関係式です。

ヘロンの公式

\begin{align}S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\end{align}

(なお、\(\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}\))

ヘロンの公式とは?証明や、四角形版(ブラーマグプタの公式)も

 

Tips

上記 \(2\) つの公式は三角形だけではなく四角形以上の多角形でも補助線を引いて三角形を作れば利用できます。

 

外接円の半径の求め方【例題】

実際に公式を使って、外接円の半径を求めてみましょう。

例題

\(\mathrm{BC} = 4\)、\(\angle \mathrm{A} = 45^\circ\) の \(\triangle \mathrm{ABC}\) における外接円の半径 \(R\) を求めよ。

 

まずは図を書いてみましょう。

\(\angle \mathrm{A}\) と向かい合う辺 \(\mathrm{BC}\) の長さがわかっているので、「正弦定理」で外接円の半径を求めることができそうです。

解答

 

正弦定理 \(\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R\) を変形して、

 

\(\begin{align} R &= \frac{a}{2 \sin A} \\ &= \frac{4}{2 \sin 45^\circ} \\ &= \frac{2}{\sin 45^\circ} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{2\sqrt{2}}\)

 

外接円の性質

外接円には、大きく \(2\) つの性質があります。

【性質①】外心(外接円の中心)と垂直二等分線

多角形のそれぞれの辺から垂直二等分線を引いたその交点が外接円の中心(外心)となります。

 

【性質②】外心と各頂点との距離

多角形の各頂点と外心を線で結んでみましょう。

すると、それぞれの線は外接円の半径になっていますね。ゆえに、長さがすべて等しいのです。

 

外接円の書き方

上記 \(2\) つの性質を利用すると、簡単に外接円を書くことができます。

ここでは、適当な三角形について実際に外接円を作図してみましょう。

STEP.1
2 辺の垂直二等分線を書く

まず、外接円の中心(外心)を求めます。

外心と三角形の各頂点との距離は等しいので、それぞれの辺の垂直二等分線を引きます。

垂直二等分線は、辺の両端から同じ幅のコンパスをとって弧を描き、弧が交わる \(2\) 点を直線で結べば書くことができます。

Tips

このとき、\(2\) 辺分の垂直二等分線がわかっていれば外心は決まるので、\(3\) 辺すべての垂直二等分線を引く必要はありません。

垂直二等分線の交点が外心となります。外心に点を打っておきましょう。

 

STEP.2
外心と三角形の頂点の距離を半径にとり、円を書く

次に、先ほど求めた外心にコンパスの針をおき、\(1\) つの頂点までの距離をコンパスの幅にとり円を書きます。

外心から各頂点への距離は等しいので、外接円はすべての頂点を通っているはずです。

これで外接円の完成です!

 

完了

外接円の性質を理解しておけば、作図も簡単にできますね。

 

外接円の練習問題

最後に、外接円の練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題①「半径から角度を求める」

練習問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = \sqrt{2}\)、外接円の半径が \(R = \sqrt{2}\) のとき、\(\angle \mathrm{A}\) を求めなさい。

 

三角形の \(1\) つの角と向かい合う辺、そして外接円の半径の関係が問われる問題では、「正弦定理」が利用できますね!

設問の条件を満たす答えが \(\bf{1}\) つだけとは限らないことに注意しましょう。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\)

 

\(\displaystyle \frac{\sin \mathrm{A}}{a} = \frac{1}{2R}\)

 

\(\begin{align} \sin \mathrm{A} &= \frac{a}{2R} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}\)

 

\(0^\circ < \angle \mathrm{A} < 180^\circ\) より、

\(\angle \mathrm{A} = 30^\circ, 150^\circ\)

 

答え: \(30^\circ, 150^\circ\)

 

練習問題②「2 辺と1 角から半径を求める」

練習問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 8\)、\(c = 5\)、\(\angle \mathrm{A} = 60^\circ\) であるとき、次の問いに答えよ。

(1) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の半径 \(R\) を求めよ。

(2) \(\sin \mathrm{C}\) を求めよ。

 

正弦定理を上手に利用しましょう。公式を利用するだけのシンプルな問題ですよ。

解答

 

(1) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\)

 

\(\begin{align} R &= \frac{a}{2 \sin \mathrm{A}} \\ &= \frac{8}{2 \sin 60^\circ} \\ &= \frac{4}{\sin 60^\circ} \\ &= \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{8\sqrt{3}}{3} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}\)

 

 

(2) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = \frac{c}{\sin \mathrm{C}}\)

 

\(\displaystyle \frac{\sin \mathrm{C}}{c} = \frac{\sin \mathrm{A}}{a}\)

 

\(\begin{align} \sin \mathrm{C} &= \frac{c}{a} \sin \mathrm{A} \\ &= \frac{5}{8} \sin 60^\circ \\ &= \frac{5}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{5\sqrt{3}}{16} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{16}\)

 

練習問題③「3 辺の長さから面積、半径を求める」

練習問題③

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 6\)、\(b = 4\)、\(c = 5\) であるとき、次の問いに答えよ。

(1) \(\cos \mathrm{A}\) を求めよ。

(2) \(\sin \mathrm{A}\) を求めよ。

(3) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積を求めよ。

(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の半径を求めよ。

 

正弦定理や余弦定理、三角形の面積の公式をうまく使って答えを出していくことで、次の答えが導かれていきます。

計算ミスをしないよう、丁寧に解いていきましょう。

解答

 

(1) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において余弦定理より、

\(a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{A}\)

\(6^2 = 4^2 + 5^2 − 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \mathrm{A}\)

\(36 = 16 + 25 − 40 \cos \mathrm{A}\)

\(40 \cos \mathrm{A} = 41 − 36\)

\(40 \cos \mathrm{A} = 5\)

\(\displaystyle \cos \mathrm{A} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{1}{8}\)

 

 

(2) \(\sin^2 \mathrm{A} + \cos^2 \mathrm{A} = 1\) および (1) より、

\(\displaystyle \sin^2 \mathrm{A} + \left(\frac{1}{8} \right)^2  = 1\)

\(\begin{align} \sin^2 \mathrm{A} &= 1 − \frac{1}{64} \\ &= \frac{63}{64} \end{align}\)

 

\(0^\circ < \angle \mathrm{A} < 180^\circ\) より \(\sin \mathrm{A} > 0\) であるから、

\(\displaystyle \sin \mathrm{A} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{3\sqrt{7}}{8}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{8}\)

 

 

(3) 三角形の面積の公式より、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} bc \sin \mathrm{A} \\&= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} \\&= \frac{15\sqrt{7}}{4} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}\)

 

 

(4) 正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}} = 2R\)

 

\(\begin{align} R &= \frac{a}{2 \sin \mathrm{A}} \\ &= \frac{6}{2 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}} \\ &= 6 \cdot \frac{4}{3\sqrt{7}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{7}} \\ &= \frac{8\sqrt{7}}{7} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{8\sqrt{7}}{7}\)

なお、(3) 以降はヘロンの公式 + 外接円の半径公式②でも求められます。

(3)、(4) の別解

 

(3)

ヘロンの公式より

\(\begin{align}\displaystyle s &= \frac{a + b + c}{2}\\&= \frac{6 + 4 + 5}{2}\\&= \frac{15}{2}\end{align}\)

 

よって

\(\begin{align}S &= \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\\&= \sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2} − 6\right) \left(\frac{15}{2} − 4\right) \left(\frac{15}{2} − 5\right)}\\&= \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}}\\&= \color{red}{\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}\end{align}\)

 

 

(4)

\(\begin{align} R &= \frac{abc}{4S} \\ &= \frac{6 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}} \\ &= \frac{6 \cdot 4 \cdot 5}{15\sqrt{7}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{7}} \\ &= \color{red}{\frac{8\sqrt{7}}{7}} \end{align}\)

以上で問題も終わりです!

 

外接円の問題は、三角比や三角関数とも関わりが深い内容です。

外接円への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようになりましょう。

補足

なお、「内接円」について知りたい方は以下の記事を参考にしてくださいね!

内接円とは?内接円の半径の公式や求め方、性質、書き方

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