内接円とは？半径の公式や求め方、性質をわかりやすく解説！

三角形 \(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心を \(\mathrm{I}\) とおくと、

\(\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{IAB} + \triangle \mathrm{IBC} + \triangle \mathrm{ICA}\)

と分割できる。

ここで、内接円の半径を \(r\) とおくと、\(r\) は分割した三角形の高さに相当するから

\(\left\{\begin{array}{l} \triangle \mathrm{IAB} = \displaystyle \frac{1}{2}cr\\\triangle \mathrm{IBC} = \displaystyle \frac{1}{2}ar \\\triangle \mathrm{ICA} = \displaystyle \frac{1}{2}br\end{array}\right.\)

よって、三角形 \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) は

\(\begin{align}S &= \displaystyle \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br \\&= \displaystyle \frac{1}{2}r(a + b + c)\end{align}\)

したがって、

\(\displaystyle r = \frac{2S}{a + b + c}\)

（証明終わり）

(1) \(\triangle \mathrm{ABO}\) において、底辺を \(c\) とすると、高さは \(r\) となる。

よって、

\(\begin{align} S_1 &= \frac{1}{2} cr \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot r \\ &= \frac{3}{2} r \end{align}\)

答え：　\(\displaystyle \frac{3}{2} r\)

(2) \(\triangle \mathrm{BCO}\) において、

\(\begin{align} S_2 &= \frac{1}{2} ar \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot r \\ &= \frac{5}{2} r \end{align}\)

答え：　 \(\displaystyle \frac{5}{2} r\)

(3) \(\triangle \mathrm{CAO}\) において、

\(\begin{align} S_3 &= \frac{1}{2} br \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot r \\ &= 2r \end{align}\)

答え：　\(2r\)

(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{BAC}= 90^\circ\) であるから、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 6 \end{align}\)

また、 \(S = S_1 + S_2 + S_3\) なので、

\(\displaystyle 6 = \frac{3}{2} r + \frac{5}{2} r + 2r = 6r\)

\(6r = 6\)

\(r = 1\)

答え：　\(1\)

(1) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より

\(\begin{align} \cos \mathrm{A} &= \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc} \\ &= \frac{3^2 + 2^2 − 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= \frac{9 + 4 − 16}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= −\frac{3}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= −\frac{1}{4} \end{align}\)

答え：　\(\displaystyle −\frac{1}{4}\)

(2) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より

\(\begin{align} \sin^2 \mathrm{A} &= 1 − \cos^2 \mathrm{A} \\ &= 1 − \left(− \frac{1}{4} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16} \end{align}\)

\(\sin \mathrm{A} > 0\) より、

\(\displaystyle \sin \mathrm{A} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)

答え：　\(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\)

(3) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、三角形の面積の公式より

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} bc \sin \mathrm{A} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \\ &= \frac{3\sqrt{15}}{4} \end{align}\)

答え：　\(\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}\)

(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内接円の半径の公式より

\(\begin{align} r &= \frac{2S}{a + b + c} \\ &= \frac{2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4}}{4 + 3 + 2} \\ &= \frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{9}\\ &= \frac{\sqrt{15}}{6} \end{align}\)

答え：　\(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{6}\)