この記事では「内接円」について、性質や半径・三角形の面積の求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。
また、内接円の書き方も紹介していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。
目次
内接円とは？
ある図形の内接円とは、その図形の中にあって、すべての辺に接する円のことをいいます。
三角形の内接円ならば、その三角形の \(3\) つの辺すべてに接する円のことです。
四角形ならば \(4\) つ、五角形なら \(5\) つの辺に接する円、といった具合に増えていきます。
\(1\) つの多角形について、内接円は必ず \(1\) つに定まります。
内接円の半径の公式
次に、三角形の内接円の半径を求める公式を確認しましょう。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積を \(S\)、\(3\) つの角 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) に向かい合う辺の長さをそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\)、その内接円の半径を \(r\) とすると、
\begin{align}\color{red}{\displaystyle r = \frac{2S}{a + b + c}}\end{align}
内接円の半径の証明
なぜ内接円の半径が上記の公式で求められるのかは、\(\triangle \mathrm{ABC}\) を内心 \(\mathrm{I}\)（内接円の中心）で \(3\) つに分割してみるとわかります。
三角形 \(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心を \(\mathrm{I}\) とおくと、
\(\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{IAB} + \triangle \mathrm{IBC} + \triangle \mathrm{ICA}\)
と分割できる。
ここで、内接円の半径を \(r\) とおくと、\(r\) は分割した三角形の高さに相当するから
\(\left\{\begin{array}{l} \triangle \mathrm{IAB} = \displaystyle \frac{1}{2}cr\\\triangle \mathrm{IBC} = \displaystyle \frac{1}{2}ar \\\triangle \mathrm{ICA} = \displaystyle \frac{1}{2}br\end{array}\right.\)
よって、三角形 \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) は
\(\begin{align}S &= \displaystyle \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br \\&= \displaystyle \frac{1}{2}r(a + b + c)\end{align}\)
したがって、
\(\displaystyle r = \frac{2S}{a + b + c}\)
（証明終わり）
【参考】三角形の面積の公式
なお、三角形の \(\bf{3}\) 辺の長ささえわかっていれば、「ヘロンの公式」を用いて三角形の面積も求められます。
三角形の面積を \(S\)、\(3\) 辺の長さを \(a\)、\(b\)、\(c\) とおくと、三角形の面積は
\begin{align}\color{red}{S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}}\end{align}
ただし、\(\color{red}{\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}}\)
内接円の問題では三角形の面積を求める問題とセットになることも多いので、覚えておいて損はないですよ！
「ヘロンの公式」については以下の記事で詳しく説明しています。
ヘロンの公式とは？証明や、四角形版（ブラーマグプタの公式）も
内接円の半径の求め方【例題】
それでは、実際に公式を使って内接円の半径を求めてみましょう。
\(3\) 辺の長さが \(a = 5\)、\(b = 6\)、\(c = 3\) の \(\triangle \mathrm{ABC}\) における内接円の半径 \(r\) を求めよ。
まずは \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積を求めます。
ヘロンの公式を知っていると便利ですね。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) は、ヘロンの公式より
\(S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\)
\(\begin{align} s &= \frac{a + b + c}{2} \\ &= \frac{5 + 6 + 3}{2} \\ &= 7 \end{align}\)
よって
\(\begin{align} S &= \sqrt{7(7 − 5)(7 − 6)(7 − 3)} \\ &= \sqrt{7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4} \\ &= 2\sqrt{14} \end{align}\)
三角形の面積がわかれば、あとは内接円の半径の公式に当てはめるだけです。
内接円の半径 \(r\) は
\(\begin{align} r &= \frac{2S}{a + b + c} \\ &= \frac{2 \cdot 2\sqrt{14}}{5 + 6 + 3} \\ &= \frac{2 \cdot 2\sqrt{14}}{14} \\ &= \frac{2\sqrt{14}}{7} \end{align}\)
よって内接円の半径は \(\color{red}{\displaystyle \frac{2\sqrt{14}}{7}}\) と求められました！
三角形の内接円の半径は公式化されていますが、四角形以上の多角形では別の方法で求める必要があります。
内接円の性質や、多角形の性質を利用して求めることが多いです。
内接円の性質
内接円には、大きく \(2\) つの性質があります。
【性質①】内心と各辺の距離
多角形のそれぞれの辺が内接円の接線となっていて、各接点から引いた垂線の交点が内接円の中心（内心）となります。
【性質②】角の二等分線と内心
多角形の頂点から角の二等分線をそれぞれ引くと、\(1\) 点で交わります。その交点が内接円の中心（内心）となります。
内接円の書き方
上記 \(2\) つの性質を利用すると、内接円を簡単に書くことができます。
ここでは、適当な三角形について実際に内接円を作図してみましょう。
まず、内接円の中心（内心）を求めます。
性質②から、角の二等分線の交点を求めればよいですね。
角の二等分線は、各頂点からコンパスをとって弧を描き、弧と辺が交わる \(2\) 点からさらに弧を描き、その交点と頂点を直線で結べば作図できます。
このとき、\(2\) つの角の二等分線がわかっていれば内心は決まるので、\(3\) つの角すべての角の二等分線を引く必要はありません。
角の二等分線の交点が、内接円の中心（内心）となります。内心に点を打っておきましょう。
先ほど求めた内心にコンパスの針をおき、三角形の任意の辺と \(2\) 点で交わるような弧を描きます。
その \(2\) 点から同じコンパスの幅で弧を描き、交点を得ます。
あとは、内心とその交点を直線で結べば、内心から辺への垂線となります。
そして、辺と垂線の交点が、内接円との接点となります。
接点に点を打っておきましょう。
この際も、\(3\) 辺すべての接点ではなく \(1\) 辺の接点がわかれば十分です。
あとは、円を描くだけですね。
内心と接点までの距離をコンパスの幅にとって円を書けば内接円の完成です！
内心から各辺への距離は等しいので、内接円はすべての辺と接しているはずです。
内接円の性質を理解しておけば、作図も簡単にできますね。
内接円の練習問題
最後に、内接円の練習問題に挑戦してみましょう。
練習問題①「3 辺と面積から r を求める」
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 4\)、\(b = 7\)、\(c = 9\)、面積 \(S = 6\sqrt{5}\) のとき、内接円の半径 \(r\) を求めなさい。
三角形の \(3\) 辺の長さと面積がわかっているので、内接円の半径の公式がそのまま使えますね！
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内接円の半径の公式より、
\(\begin{align} r &= \frac{2S}{a + b + c} \\ &= \frac{2 \cdot 6\sqrt{5}}{4 + 7 + 9} \\ &= \frac{12\sqrt{5}}{20} \\ &= \frac{3\sqrt{5}}{5} \end{align}\)
答え： \(\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}\)
練習問題②「余弦定理、三角形の面積公式の利用」
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(3\) 辺の長さが \(a = 4\)、\(b = 3\)、\(c = 2\) であるとき、次の問いに答えよ。
(1) \(\cos \mathrm{A}\) を求めよ。
(2) \(\sin \mathrm{A}\) を求めよ。
(3) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
余弦定理や三角形の面積の公式を上手に利用しましょう。得られた答えをもとに次の問題を解いていくので、計算ミスのないように注意しましょう！
余弦定理
\begin{align}\cos \mathrm{A} = \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc}\end{align}
余弦定理とは？公式の覚え方や証明、計算問題の解き方
三角形の面積公式
\begin{align} S = \frac{1}{2} bc \sin \mathrm{A}\end{align}
三角形とは？面積公式、角度・辺の長さ・重心・比の計算
(1) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より
\(\begin{align} \cos \mathrm{A} &= \frac{b^2 + c^2 − a^2}{2bc} \\ &= \frac{3^2 + 2^2 − 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= \frac{9 + 4 − 16}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= −\frac{3}{2 \cdot 3 \cdot 2} \\ &= −\frac{1}{4} \end{align}\)
答え： \(\displaystyle −\frac{1}{4}\)
(2) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より
\(\begin{align} \sin^2 \mathrm{A} &= 1 − \cos^2 \mathrm{A} \\ &= 1 − \left(− \frac{1}{4} \right)^2 \\ &= 1 − \frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16} \end{align}\)
\(\sin \mathrm{A} > 0\) より、
\(\displaystyle \sin \mathrm{A} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)
答え： \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\)
(3) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、三角形の面積の公式より
\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} bc \sin \mathrm{A} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \\ &= \frac{3\sqrt{15}}{4} \end{align}\)
答え： \(\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}\)
(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内接円の半径の公式より
\(\begin{align} r &= \frac{2S}{a + b + c} \\ &= \frac{2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4}}{4 + 3 + 2} \\ &= \frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{9}\\ &= \frac{\sqrt{15}}{6} \end{align}\)
答え： \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{6}\)
練習問題③「面積比を r で表す」
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(a = 5\)、\(b = 4\)、\(c = 3\)、内接円の内心が \(\mathrm{O}\)、半径が \(r\) のとき、次の問いに答えよ。
(1) \(\triangle \mathrm{ABO}\) の面積 \(S_1\) を \(r\) を用いて表せ。
(2) \(\triangle \mathrm{BCO}\) の面積 \(S_2\) を \(r\) を用いて表せ。
(3) \(\triangle \mathrm{CAO}\) の面積 \(S_3\) を \(r\) を用いて表せ。
(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) を \(3\) つに分けた面積の和と等しいという式にもっていくと、答えが出てきます。
(1) \(\triangle \mathrm{ABO}\) において、底辺を \(c\) とすると、高さは \(r\) となる。
よって、
\(\begin{align} S_1 &= \frac{1}{2} cr \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot r \\ &= \frac{3}{2} r \end{align}\)
答え： \(\displaystyle \frac{3}{2} r\)
(2) \(\triangle \mathrm{BCO}\) において、
\(\begin{align} S_2 &= \frac{1}{2} ar \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot r \\ &= \frac{5}{2} r \end{align}\)
答え： \(\displaystyle \frac{5}{2} r\)
(3) \(\triangle \mathrm{CAO}\) において、
\(\begin{align} S_3 &= \frac{1}{2} br \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot r \\ &= 2r \end{align}\)
答え： \(2r\)
(4) \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{BAC}= 90^\circ\) であるから、
\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 6 \end{align}\)
また、 \(S = S_1 + S_2 + S_3\) なので、
\(\displaystyle 6 = \frac{3}{2} r + \frac{5}{2} r + 2r = 6r\)
\(6r = 6\)
\(r = 1\)
答え： \(1\)
以上で練習問題も終わりです！
内接円の問題は、三角比や三角関数とも関わりが深い内容です。
内接円への理解を深めて、さまざまな問題に対応できるようにしましょう。
なお、「外接円」について知りたい方は以下の記事を参考にしてくださいね！
外接円とは？半径の公式や求め方、性質、書き方