角の二等分線とは?定理や比の性質、証明、問題、作図方法

この記事では、「角の二等分線」の定理や性質をついてわかりやすく解説をしていきます。

また、定理の証明や作図方法、問題の解き方も紹介していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

角の二等分線とは?

角の二等分線とは、その名の通り、ある角を二等分した線のことです。

角を内分する「内角の二等分線」と、外分する「外角の二等分線」の \(2\) 種類があります。

内角でも外角でも、辺の比は同じ関係式で表されます(角の二等分線の定理)。

いつも「\(\triangle \mathrm{ABC}\)」の問題ばかりが出るわけではないので、記号で覚えるのではなく、視覚的に理解しておきましょう!

内角・外角それぞれの定理を以下で示します。

 

内角の二等分線の定理

まずは、内角の二等分線の定理です。

内角の二等分線の定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{A}\) の内角を二等分した線分と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}}\end{align}

が成り立つ。

 

内角の二等分線と向かい合う辺との交点は、\(\triangle \mathrm{ABC}\) の中にあります。

 

外角の二等分線の定理

続いて、外角の二等分線の定理です。

外角の二等分線の定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{A}\) の外角を二等分した線分と \(\mathrm{BC}\) の延長の交点を \(\mathrm{D}\) とおくと、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}}\end{align}

が成り立つ。

 

辺の比の関係式は内角の二等分線とまったく同じなので、別々に暗記する必要はありません。

ただし、二等分線と向かい合う辺の交点の位置が元の \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外側にあることに注意しておきましょう。

 

角の二等分線の性質

次に、角の二等分線の性質についてまとめていきます。

 

【性質①】二等分線の長さ

角の二等分線の長さは三角形の辺の長さを使って表せます。

内角の二等分線の長さ

内角の二等分線の長さ

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\angle \mathrm{A}\) の内角の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) との交点を \(\mathrm{D}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AD}^2 = \mathrm{AB} \times \mathrm{AC} − \mathrm{BD} \times \mathrm{DC}}\end{align}

 

外角の二等分線の長さ

外角の二等分線の長さ

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\angle \mathrm{A}\) の外角の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) の延長との交点を \(\mathrm{D}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AD}^2 = \mathrm{BD} \times \mathrm{DC} − \mathrm{AB} \times \mathrm{AC}}\end{align}

外角の公式では、内角の公式と項の順序が逆になっていることに注意しましょう。

 

【性質②】二等分線と辺の比

さらに、角の二等分線によって分けられた辺とそれ以外の辺との間に、以下の性質が成り立ちます。

角の二等分線と辺の比

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\angle \mathrm{A}\) の角の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) との交点を \(\mathrm{D}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} \times \mathrm{DC} = \mathrm{AC} \times \mathrm{BD}}\end{align}

この公式は、内角・外角の両方で成り立ちます

これらを覚えておくと、三角形の辺の長さを求める時に、大変役に立ちますよ!

補足

角の二等分線の性質は、内角外角ともに、その逆の命題も成り立ちます

 

角の二等分線の作図方法

ここでは、角の二等分線の作図方法を説明します。

\(\angle \mathrm{AOB}\) の二等分線を作図するとして、手順を見ていきましょう。

STEP.1
二等分する角の頂点から弧を書く

二等分線の起点となる頂点 \(\mathrm{O}\) にコンパスの針を置き、弧を書きます。

 

STEP.2
辺と弧の交点からさらに弧を書く

先ほどの弧と、辺 \(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\) との交点にコンパスの針を置き、さらに弧を書きます。

このとき、コンパスを開く間隔は必ず同じにしておきます。

 

STEP.3
2 つの弧の交点と角の頂点を結ぶ

STEP.2 で書いた \(2\) つの弧の交点と、 二等分する角の頂点 \(\mathrm{O}\) を通る直線を引きます。

この直線が、\(\angle \mathrm{AOB}\) の二等分線です!

 

完了

角の二等分線という名の通り、角を二等分することを頭に置いておけば、とても簡単な作図ですね!

 

角の二等分線の証明

ここでは、角の二等分線の定理の証明方法を説明します。

【証明①】内角の二等分線の定理

内角の二等分線の定理は、「二等辺三角形の性質」と「平行線と比の性質」を用いて証明できます。

証明

 

以下の図において、点 \(\mathrm{C}\) を通り、\(\mathrm{AD}\) と平行な直線と \(\mathrm{BA}\) の交点を \(\mathrm{E}\) とする。

 

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{EC}\) より、平行線の同位角は等しいので 、

\(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{AEC}\) …①

 

同じく、平行線の錯角は等しいので、

\(\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACE}\) …②

 

仮定より、

\(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{DAC}\) …③

 

①、②、③より、

\(\angle \mathrm{AEC} = \angle \mathrm{ACE}\)

となり、\(\triangle \mathrm{ACE}\) は \(\mathrm{AE} = \mathrm{AC}\) の二等辺三角形である。 …④

 

ここで、\(\triangle \mathrm{BCE}\) において、\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{EC}\) より、

\(\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{BA} : \mathrm{AE}\) …⑤

 

④、⑤より、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

となり、内角の二等分線の定理が成立する。

 

(証明終わり)

 

【証明②】外角の二等分線の定理

次に、外角の二等分線の定理を証明します。

図が少し違うだけで、基本的な証明の流れは内角の二等分線の定理と同じです。

証明

 

点 \(\mathrm{C}\) を通り、直線 \(\mathrm{AD}\) に平行な直線と、辺 \(\mathrm{BA}\) との交点を \(\mathrm{E}\) とする。

また、線分 \(\mathrm{BA}\) の \(\mathrm{A}\) 側の延長上の点を \(\mathrm{F}\) とする。

 

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{EC}\) より、平行線の同位角は等しいので、

\(\angle \mathrm{FAD} = \angle \mathrm{AEC}\) …①

 

同じく、平行線の錯角は等しいので、

\(\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACE}\) …②

 

仮定より、\(\angle \mathrm{FAD} = \angle \mathrm{DAC}\) …③

 

①、②、③より、

\(\angle \mathrm{AEC} = \angle \mathrm{ACE}\)

 

よって、\(\triangle \mathrm{ACE}\) は \(\mathrm{AE} = \mathrm{AC}\) の二等辺三角形である。 …④

 

ここで、\(\triangle \mathrm{ABD}\) において、\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{EC}\) より

\(\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{BA} : \mathrm{AE}\) …⑤

 

④、⑤より、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

となり、外角の二等分線の定理が成立する。

 

(証明終わり)

 

角の二等分線の練習問題

練習問題で、角の二等分線の定理の使い方を学びましょう。

練習問題①「内角の二等分線を利用する」

練習問題①

図において、\(\mathrm{AD}\) が \(\angle \mathrm{A}\) の二等分線のとき、\(\mathrm{DC}\) の長さを求めなさい。

 

\(\mathrm{AD}\) が \(\angle \mathrm{A}\) の内角の二等分線になっていますね。

内角の二等分線の定理を利用しましょう。

解答

 

角の二等分線の定理より、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

 

よって、

\(\begin{align} \mathrm{BD} : \mathrm{DC} &= 9 : 6 \\ &= 3 : 2 \end{align}\)

 

よって、

\(\mathrm{DC} = \displaystyle \frac{2}{5} \mathrm{BC} = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{DC} = 4}\)

 

練習問題②「外角の二等分線を利用する」

練習問題②

線分 \(\mathrm{AD}\) は \(\angle \mathrm{BAC}\) の外角の二等分線である。

\(\mathrm{AB} = 30\)、\(\mathrm{AC} = 18\)、\(\mathrm{BC} = 24\) であるとき、線分 \(\mathrm{CD}\) の長さを求めなさい。

 

\(\mathrm{AD}\) が \(\angle \mathrm{BAC}\) の外角の二等分線となっているので、外角の二等分線の定理が使えそうですね。

解答

 

角の二等分線の定理より、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

\(30 : 18 = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

\(\mathrm{BD} : \mathrm{CD} = 5 : 3\) …①

 

ここで、\(\mathrm{BD} = \mathrm{BC} + \mathrm{CD}\) なので、

\(\mathrm{BD} = 24 + \mathrm{CD}\) …②

 

①、②より、

\((24 + \mathrm{CD}) : \mathrm{CD} = 5 : 3\)

\(5\mathrm{CD} = 3 (24 + \mathrm{CD})\)

\(5\mathrm{CD} = 3 \cdot 24 + 3\mathrm{CD}\)

\(2\mathrm{CD} = 3 \cdot 24\)

よって、\(\mathrm{CD} = 36\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{CD} = 36}\)

となります。

どこの比が対応しているか間違えないように、わかった値はどんどん図に書き込んでいきましょう!

 

角の二等分線の応用問題

最後に、応用問題に挑戦しましょう。

応用問題①「2 組の二等分線から辺の比を求める」

応用問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\mathrm{AD}\) は \(\angle \mathrm{A}\) の内角の二等分線であり、\(\mathrm{BE}\) は \(\angle \mathrm{B}\) の二等分線である。

このとき、\(\mathrm{AF} : \mathrm{FD}\) を求めなさい。

 

どちらも内角の二等分線ですね。

求めたい辺の比を出すには、どの三角形に注目すればよいかを考えましょう。

解答

 

\(\angle \mathrm{A}\) において、角の二等分線の定理より

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{DC}\)

\(10 : 6 = \mathrm{BD} : \mathrm{DC}\)

\(\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = 5 : 3\)

\(\begin{align} \mathrm{BD} &= \frac{5}{8} \mathrm{BC} \\&= \frac{5}{8} \cdot 12 \\ &= \frac{15}{2} \end{align}\)

 

また、\(\angle \mathrm{B}\) において、角の二等分線の定理より

\(\mathrm{BA} : \mathrm{BD} = \mathrm{AF} : \mathrm{FD}\)

\(\displaystyle 10 : \frac{15}{2} = \mathrm{AF} : \mathrm{FD}\)

したがって、

\(\mathrm{AF} : \mathrm{FD} = 4 : 3\)

 

答え: \(4 : 3\)

 

応用問題②「内角と外角の二等分線から辺の長さを求める」

応用問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{C} = 90^\circ\)、\(\mathrm{AB} = 5\)、\(\mathrm{BC} = 3\) で \(\angle \mathrm{A}\) の内角の二等分線と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\)、\(\angle \mathrm{A}\) の外角の二等分線と \(\mathrm{BC}\) の延長との交点を \(\mathrm{E}\) とする。

このとき、\(\mathrm{DE}\) の長さを求めなさい。

 

内角の二等分線と外角の二等分線があります。

両方に定理を適用して解いていきましょう。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{AC}^2 &= \mathrm{AB}^2 − \mathrm{BC}^2 \\ &= 5^2 − 3^2 \\ &= 25 − 9 \\ &= 16 \end{align}\)

\(\mathrm{AC} > 0\) より、\(\mathrm{AC} = 4\)

 

また、\(\angle \mathrm{A}\) において、内角の二等分線の定理より

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\)

\(\mathrm{BD} : \mathrm{CD} = 5 : 4\)

よって、

\(\begin{align} \mathrm{CD} &= \frac{4}{9} \mathrm{BC} \\ &= \frac{4}{9} \cdot 3 \\ &= \frac{4}{3} \end{align}\)

 

また \(\angle \mathrm{A}\) において、外角の二等分線の定理より

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BE} : \mathrm{CE}\)

すなわち

\(\mathrm{BE} : \mathrm{CE} = 5 : 4\)

であるから、

\(\mathrm{BC} : \mathrm{CE} = 1 : 4\)

\(\mathrm{BC} = 3\) より、

\(3 : \mathrm{CE} = 1 : 4\)

\(\mathrm{CE} = 12\)

 

したがって、

\(\begin{align}\mathrm{DE} &= \mathrm{DC} + \mathrm{CE} \\ &= \frac{4}{3} + 12 \\ &= \frac{40}{3} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{40}{3}\)

以上で問題も終わりです!

 

角の二等分線について理解は深まりましたか?

定理や性質を意外と忘れがちなので、図とともに、しっかりと覚えておきましょう!

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