この記事では、「比例式」の意味や計算方法をわかりやすく解説していきます。
比例式の作り方と解き方、比例式の利用問題についても説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね！
目次
比例式とは？
比例式とは、左辺と右辺の比（または比の値）が等しいことを示す式です。
\(A\) に対する \(B\) の割合が、\(X\) に対する \(Y\) の割合と等しいとき、
比または比の値を使って
\begin{align}\color{red}{A : B = X : Y}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{X}{Y}}\end{align}
と表せる。
上記の等式を「比例式」という。
- 比
数量の割合を \(A : B\) のように表したもの。
特に、\(3\) つ以上の数の比は「連比」という（\(A : B : C\) など）。
また、\(A\), \(B\) は「比の項」という。 - 比の値
比の後項に対する前項の割合（前項 \(\div\) 後項の値）。
比 \(A : B\) の比の値は \(\displaystyle \frac{A}{B}\)。
比例式の性質
比例式には、次の性質があります。
\(\color{red}{a : b = c : d}\) ならば \(\color{red}{ad = bc}\)
（比例式の内項の積と外項の積は等しい）
比例式の外側にある項 \(a, d\) を「外項」、内側にある項 \(b, c\) を「内項」といいます。
この性質がなぜ成り立つのかは、比例式を比の値で表してみるとわかります。
\(a : b = c : d\) を比の値で書くと、
\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
両辺に \(bd\) をかけると、
\(\displaystyle \frac{a}{b} \times bd = \frac{c}{d} \times bd\)
\(\color{red}{ad = bc}\)
このように、比例式を変形しただけということですね。
比例式の計算方法
例題を通して、比例式の計算方法を説明します。
例題①「比例式の解き方」
まずは、比例式の解き方を説明します。
次の比例式を解きなさい。
\(x : 5 = 36 : 20\)
「比例式を解く」とは、比例式に含まれる文字の値を求めるということです。
比例式の性質 \(a : b = c : d \iff ad = bc\) より、内項の積と外項の積が等しいことから \(x\) の値を求めます。
比例式の性質より、
\(20x = 5 \times 36\)
\(x = \displaystyle \frac{5 \times 36}{20} = 9\)
答え： \(\color{red}{x = 9}\)
例題②「比例式の作り方」
今度は、文章題を読んで自分で比例式を作り、それを解く方法を説明します。
A さん、B さんが折った鶴の折り紙の合計は \(320\) 羽で、数の比は \(7\) : \(9\) でした。
比例式を立て、それぞれが折った鶴の数を求めなさい。
「(A さんが折った鶴の数) : (B さんが折った鶴の数) \(= 7 : 9\)」だけでは問題を解けません。
\(2\) 人の合計の比も入れた「連比」を立てるのがポイントです。
連比をなす \(3\) 項からどの \(2\) 項を取り出してもその比はくずれないことを利用して、A さん、B さんの鶴の数を順番に求めます。
それぞれが折った鶴の数を \(a\), \(b\) 羽とすると、
\(a : b : 320 = 7 : 9 : 16\)
\(a : 320 = 7 : 16\) より
\(16a = 320 \times 7\)
\(a = \displaystyle \frac{320 \times 7}{16} = 140\)
\(b : 320 = 9 : 16\) より
\(16b = 320 \times 9\)
\(b = \displaystyle \frac{320 \times 9}{16} = 180\)
答え：
A さん \(\color{red}{140}\) 羽、B さん \(\color{red}{180}\) 羽
このように、連比は一部を取り出すこともできるので便利ですね。
比例式の利用問題【中学編】
比例式は、小学校・中学校ですでに習いましたね。
まずは、中学レベルの比例式の利用問題でおさらいです。
利用問題①「比例式を解く」
次の比例式を解きなさい。
\(3 : 8 = 12 : (15 + x)\)
\(15 + x\) で \(1\) つの数字ですね。比例式の性質（内項の積 = 外項の積）を利用しましょう！
比例式の性質より、
\(3 \times (15 + x) = 8 \times 12\)
\(\begin{align}15 + x &= \frac{8 \times 12}{3} \\ &= 32 \end{align}\)
\(x = 32 − 15 = 17\)
答え： \(\color{red}{17}\)
利用問題②「相似比と比例式」
\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) は相似である。
このとき、\(x\) の値を求めなさい。
相似比を使って、辺の長さに関する比例式を作りましょう。
比例式を解けば、辺の長さが求められます。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) ∽ \(\triangle \mathrm{DEF}\) より、
\(\mathrm{BC} : \mathrm{EF} = 2 : 3\) なので、相似比は \(2 : 3\)
よって、
\(\mathrm{AB} : \mathrm{DE} = 2 : 3\)
\(5 : x = 2 : 3\)
比例式の性質より、
\(2x = 15\)
\(\displaystyle x = \frac{15}{2}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{15}{2}}\)
利用問題③「男女比の文章題」
あるクラスの生徒全員の人数は \(40\) 人で、男子と女子の人数の比は \(5 : 3\) です。
このとき、男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。
問題文の情報から、比例式を作りましょう。
このとき、求めたいものを文字でおくのがポイントです。
男子の人数を \(x\) とおくと、女子の人数は \((40 − x)\) とおけますね。
男子の人数を \(x\) 人、女子の人数は \((40 − x)\) 人とおく。
人数の男女比が \(5 : 3\) なので、
\(x : (40 − x) = 5 : 3\)
比例式の性質より、
\(3x = 5(40 − x)\)
\(3x = 200 − 5x\)
\(8x = 200\)
\(x = 25\)
また、
\(40 − x = 40 − 25 = 15\)
答え： 男子 \(\color{red}{25}\) 人、女子 \(\color{red}{15}\) 人
比例式の利用問題【高校編】
比例式の扱い方は思い出してきましたか？
それではいよいよ、高校レベルの問題を解いていきましょう！
利用問題①「分数の比例式（3 つ）の値」
\(\displaystyle \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} =\frac{x + y}{z}\) のとき、この式の値を求めなさい。
こういった問題では、比例式を任意の文字で表すのがポイントです。
「\(\text{(与式)} = k\)」とおいて、\(k\) の値を求めていきましょう。
途中、場合分けが必要になります。
\(\displaystyle \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = k\) とおく。
\(\displaystyle \frac{y + z}{x} = k\) から、 \(y + z = xk\) …①
\(\displaystyle \frac{z + x}{y} = k\) から、 \(z + x = yk\) …②
\(\displaystyle \frac{x + y}{z} = k\) から、 \(x + y = zk\) …③
①②③の辺々を加えると、
\(y + z + z + x + x + y = xk + yk + zk\)
\(2(x + y + z) = (x + y + z)k\) …④
(i) \(x + y + z \neq 0\) のとき
④の両辺を \((x + y + z)\) で割ると、
\(k = 2\)
①②③に \(k = 2\) を代入すると、
\(y + z = 2x\), \(z + x = 2y\), \(x + y = 2z\)
これらを連立して解くと、
\(x = y = z\)
(ii) \(x + y + z = 0\) のとき
\(y + z = −x\)
①に代入すると、
\(−x = xk\)
\(k = −1\)
答え：
\(\color{red}{x + y + z \neq 0}\) のとき \(\color{red}{2}\)
\(\color{red}{x + y + z = 0}\) のとき \(\color{red}{−1}\)
利用問題②「分数の比例式（3 つ）の利用」
\(xyz \neq 0\) とする。
\(\displaystyle \frac{x + y}{3} = \frac{y + z}{4} = \frac{z + x}{5}\) のとき、\(\displaystyle \frac{x^3 + 2y^3 + z^3}{xyz}\) の値を求めなさい。
比例式を利用して何かの値を求める問題です。
この問題でも \(\text{(比例式)} = k\) とおいて、\(x, y, z\) を \(k\) で表してみましょう。
\(xyz \neq 0\) より、\(x, y, z\) は \(0\) 以外の値をとる。
\(\displaystyle \frac{x + y}{3} = \frac{y + z}{4} = \frac{z + x}{5} = k\) \((k \neq 0)\) とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l} x + y = 3k \text{…①}\\ y + z = 4k \text{…②}\\ z + x = 5k \text{…③}\end{array}\right.\)
①②③の辺々を加えると、
\(x + y + y + z + z + x = 3k + 4k + 5k\)
\(2(x + y + z) = 12k\)
\(x + y + z = 6k\) …④
④ − ①より、
\(z = 3k\)
④ − ②より、
\(x = 2k\)
④ − ③より、
\(y = k\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^3 + 2y^3 + z^3}{xyz}\)
\(\displaystyle = \frac{(2k)^3 + 2k^3 + (3k)^3}{2k \cdot k \cdot 3k}\)
\(\displaystyle = \frac{8k^3 + 2k^3 + 27k^3}{6k^3}\)
\(\displaystyle = \frac{37k^3}{6k^3}\)
\(\displaystyle = \frac{37}{6}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{37}{6}}\)
利用問題③「等式の証明」
\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) のとき、\(\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = \frac{c + d}{c − d}\) が成り立つことを証明しなさい。
証明問題でもやはり、\(\text{(比例式)} = k\) とおくのが定石です！
証明したい等式を \(k\) だけで表す方向にもっていきましょう。
\(\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = \frac{c + d}{c − d}\) …(＊)
\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l} a = bk \text{…①}\\ c = dk \text{…②}\end{array}\right.\)
①②を (＊) の左辺に代入すると、
\(\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = \frac{bk + b}{bk − b} = \frac{b(k + 1)}{b(k − 1)} = \frac{k + 1}{k − 1}\)
①②を (＊) の右辺に代入すると、
\(\displaystyle \frac{c + d}{c − d} = \frac{dk + d}{dk − d} = \frac{d(k + 1)}{d(k − 1)} = \frac{k + 1}{k − 1}\)
よって、\(\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = \frac{c + d}{c − d}\) が成り立つ。
（証明終わり）
以上で問題も終わりです！
比例式の作り方や解き方を覚えておくと、何気ないところでとても役に立ちます。
しっかりとマスターしておきましょう！