正四面体とは？高さ・体積・表面積の公式や求め方

 

正三角形 \(\mathrm{ABC}\) を底面とし、頂点 \(\mathrm{O}\) から下ろした垂線との交点を \(\mathrm{H}\) とする。

 

正三角形 \(\mathrm{ABC}\) を真上から見ると、\(\mathrm{H}\) と \(\mathrm{O}\) は \(1\) 点に重なる。

 

正三角形の対称性により、\(\mathrm{AH}\) と \(\mathrm{BC}\) の交点 \(\mathrm{M}\) は \(\mathrm{BC}\) の中点となる。

つまり、\(\mathrm{BM} = \mathrm{CM}\)

 

同様に、\(\mathrm{BH}\) の延長線は \(\mathrm{AC}\) の中点、\(\mathrm{CH}\) の延長線は \(\mathrm{AB}\) の中点と交わるから、点 \(\mathrm{H}\) は正三角形 \(\mathrm{ABC}\) の重心である。

 

\(\triangle \mathrm{ABM}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{AM}^2 &= \mathrm{AB}^2 − \mathrm{BM}^2 \\ &= a^2 − \left( \frac{a}{2} \right)^2 \\ &= a^2 − \frac{a^2}{4} \\ &= \frac{3}{4}a^2 \end{align}\)

 

\(\mathrm{AM} > 0\) なので、\(\displaystyle \mathrm{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)

 

重心は中線の長さを \(2 : 1\) に内分するので、

\(\mathrm{AH} : \mathrm{HM} = 2 : 1\)

よって

\(\begin{align} \mathrm{AH} &= \frac{2}{3} \mathrm{AM} \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a\\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}a \end{align}\)

 

高さ \(h\)（\(\mathrm{OH}\) の長さ）を求める。

 

\(\triangle \mathrm{OAH}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{OH}^2 &= \mathrm{OA}^2 − \mathrm{AH}^2 \\ &= a^2 − \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 \\ &= a^2 − \frac{1}{3}a^2 \\ &=  \frac{2}{3}a^2\end{align}\)

\(\mathrm{OH} > 0\) より、

\(h = \mathrm{OH} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a = \color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a}\)

 

底面積 \(\triangle \mathrm{ABC}\) は

\(\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AM} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{align}\)

 

よって、正四面体 \(\mathrm{O-ABC}\) の体積 \(V\) は、

\(\begin{align} V &= \frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{ABC} \cdot \mathrm{OH} \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a \\&= \color{red}{\frac{\sqrt{2}}{12}a^3} \end{align}\)

 

（証明終わり）

 

\(1\) 辺の長さが \(a\) である正四面体の高さ \(h\)、体積 \(V\) はそれぞれ

\(h = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a\)

\(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\)

\(a = 4\) であるから、求める高さ \(h\) と体積 \(V\) は

\(h = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 4 = \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}\)

\(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 4^3 = \frac{4^2 \sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}\)

 

答え：　高さ \(\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}\)、体積 \(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{3}\)

 

一辺の長さが \(a\) の正三角形の面積は、

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)

 

\(4\) 倍すると、正四面体の表面積 \(S\) は

\(\displaystyle S = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \color{red}{\sqrt{3} a^2}\)

 

（証明終わり）

 

\(1\) 辺の長さが \(a\) である正四面体の表面積 \(S\) は

\(S = \sqrt{3} a^2\)

 

\(a = 4\) であるから、求める表面積 \(S\) は

\(S = \sqrt{3} \cdot 4^2 = 16\sqrt{3}\)

 

答え：　\(16\sqrt{3}\)

 

内接球の内心を \(\mathrm{I}\) とおくと、\(\mathrm{I}\) から \(4\) 面の三角形に下ろした垂線の長さは内接球の半径 \(r\) に一致する。

よって、正四面体の体積 \(V\) は \(\mathrm{I}\) を頂点とする \(4\) つの合同な三角錐の体積の和で表される。

\(\begin{align} V &= \frac{1}{3} r \triangle \mathrm{ABC} \times 4 \\ &= \frac{4r}{3} \triangle \mathrm{ABC} \end{align}\)

より、

\(\displaystyle r = \frac{3V}{4 \triangle \mathrm{ABC}}\)

 

ここで、\(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\)、\(\displaystyle \triangle \mathrm{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) より

\(\begin{align} r &= \frac{3V}{4 \triangle \mathrm{ABC}} \\&= \displaystyle \frac{3 \frac{\sqrt{2}}{12} a^3}{4 \frac{\sqrt{3}}{4} a^2} \\&= \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} a^3}{\sqrt{3} a^2} \\&= \frac{\sqrt{2}}{4} a^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} a^2} \\&= \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} a \\&= \color{red}{\frac{\sqrt{6}}{12} a} \end{align}\)

 

（証明終わり）

 

外接球の外心を \(\mathrm{J}\) とおく。

頂点 \(\mathrm{O}\) 側から球を見下ろすと、\(3\) 点 \(\mathrm{O}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{H}\) は一点に重なる。

 

ここで三角形 \(\mathrm{AOM}\) が面となるように立体を切り出すと、次のようになる。

 

\(\mathrm{OJ}\)、\(\mathrm{AJ}\) は外接球の半径なので \(\mathrm{OJ} = \mathrm{AJ} = R\)

点 \(\mathrm{H}\) は正三角形の重心なので \(\displaystyle \mathrm{AH} = \frac{\sqrt{3}}{3} a\)

\(\mathrm{OH}\) は正四面体の高さなので \(\mathrm{OH} = \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} a\)

また、

\(\begin{align} \mathrm{JH} &= \mathrm{OH} − \mathrm{OJ} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{3} a − R \end{align}\)

 

ここで、直角三角形 \(\mathrm{AJH}\) について三平方の定理より

\(\mathrm{AJ}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{JH}^2\)

\(\begin{align}\displaystyle R^2 &= \left( \frac{\sqrt{3}}{3} a \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{3} a − R \right)^2\\&= \frac{1}{3} a^2 + \frac{2}{3} a^2 − \frac{2\sqrt{6}}{3} aR + R^2\end{align}\)

\(\displaystyle 0 = a^2 − \frac{2\sqrt{6}}{3} aR\)

\(\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3} aR = a^2\)

 

よって

\(\begin{align} R &= \frac{3a}{2\sqrt{6}} \\ &= \frac{3\sqrt{6}a}{12} \\ &= \color{red}{\frac{\sqrt{6}}{4} a} \end{align}\)

 

（証明終わり）

 

\(\triangle \mathrm{OMH}\) について、

 

\(\displaystyle \mathrm{MO} = \frac{\sqrt{3}}{2} a\)

 

\(\begin{align} \mathrm{MH} &= \frac{1}{3} \mathrm{AM} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} a \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{OMH}\) は直角三角形であるから、

\(\begin{align} \cos \theta &= \frac{\mathrm{MH}}{\mathrm{MO}} \\&= \displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{6} a}{\frac{\sqrt{3}}{2} a} \\&= \color{red}{\frac{1}{3}} \end{align}\)

 

（証明終わり）

 

(1)

正四面体の表面積 \(S = \sqrt{3} a^2\) より、

\(\sqrt{3} (2\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3}\)

 

答え：　\(12\sqrt{3} \, \mathrm{cm^2}\)

 

 

(2)

正四面体の体積 \(\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\) より、

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} (2\sqrt{3})^3 = 2\sqrt{6}\)

 

答え：　\(2\sqrt{6} \, \mathrm{cm^3}\)

 

 

(3) 正四面体の \(2\) 面のなす角 \(\theta\) について、

\(\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}\) \((0^\circ < \theta < 90^\circ)\)

が成り立つ。

 

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) より、

\(\begin{align} \sin^2 \theta &= 1 − \cos^2 \theta \\ &= 1 − \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\ &= \frac{8}{9} \end{align}\)

\(\sin \theta > 0\) より、\(\displaystyle \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 

 

(4)

内接球の半径 \(\displaystyle r = \frac{\sqrt{6}}{12} a\) より、

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \, \mathrm{cm}\)

 

 

(5)

外接球の半径 \(\displaystyle R = \frac{\sqrt{6}}{4} a\) より、

外接球の直径は

\(\displaystyle 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2}\)

 

答え：　\(3\sqrt{2} \, \mathrm{cm}\)