置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど)

この記事では、「置換積分法」の公式や定積分・不定積分の手順をわかりやすく解説していきます。

三角関数などを含む豊富な例題で、置換パターンの見分け方も紹介していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

置換積分法とは?【公式】

置換積分法とは、そのままでは積分が難しい関数を、変数を置き換えることで積分するテクニックです。

不定積分の置換積分法

\(\color{red}{x = g(t)}\) と置換できるとき、関数 \(f(x)\) の不定積分は

\begin{align} \color{red}{\int f(x) \,dx} &\color{red}{= \int f(g(t)) \frac{dx}{dt} \,dt} \\ &\color{red}{= \int f(g(t))g’(t) \,dt} \end{align}

不定積分の置換積分法

\(\color{red}{x = g(t)}\) と置換できるとき、関数 \(f(x)\) の定積分は

\begin{align} \color{red}{\int_a^b f(x) \,dx} &\color{red}{= \int_\alpha^\beta f(g(t)) \frac{dx}{dt} \,dt} \\ &\color{red}{= \int_\alpha^\beta f(g(t)) g’(t) \,dt} \end{align}

(ただし、\(x\) が \(a \to b\) と単調に変化するとき \(t\) は \(\alpha \to \beta\) と単調に変化するものとする。)

上記の公式はそのまま丸暗記するというよりも、置換積分の考え方を知るために眺めましょう。

左辺は \(x\) の関数の \(x\) についての積分である一方、右辺は \(t\) の関数の \(t\) についての積分に変換されていますね。

まずはこの関係を押さえておきましょう!

 

置換積分法による解き方

それでは、置換積分法による解き方を説明します。

不定積分を置換積分法で解く【例題】

不定積分を置換積分法で解く手順を、以下の例題を通して説明します。

例題

\(\displaystyle \int x(x + 3)^2 dx\) を求めよ。

 

STEP.1
被積分関数を別の文字で置換する

まずは、被積分関数を別の文字で置換します。

ここでは文字 \(t\) と置いてみましょう。

\(x + 3 = t\) とおくと、\(x = t − 3\)

 

よって

\(\color{salmon}{x(x + 3)^2} = (t − 3)t^2 = \color{salmon}{t^3 − 3t^2}\) …①

 

STEP.2
dx/dt を求め、「dx = ~ 」で表す

次に \(\displaystyle \frac{dx}{dt}\) を求め、「\(dx =\) ~ 」のかたちで表しておきます。

\(x\) と \(t\) の関係式を「\(x =\) ~ 」に変形し、両辺を \(t\) で微分すると \(\displaystyle \frac{dx}{dt}\) が求められます。

\(x = t − 3\) の両辺を \(t\) で微分して

\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1\)

よって

\(\color{skyblue}{dx} = \color{skyblue}{dt}\) …②

Tips

\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\) という表記は、まるで分数のように式変形できる便利な性質があります。

 

 

STEP.3
不定積分する

これで準備が整ったので、元の式を \(t\) で書き直し、積分します。

②のおかげで、積分対象(\(dx \to dt\))も変換できますね。

①、②より、

\(\displaystyle \int \color{salmon}{x(x + 3)^2} \, \color{skyblue}{dx} \)

\(\displaystyle = \int \color{salmon}{(t^3 − 3t^2)} \, \color{skyblue}{dt}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} t^4 − t^3 + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} t^3(t − 4) + C\) (\(C\) は積分定数)

これで \(t\) について積分ができましたね!

 

STEP.4
答えを元の文字に戻す

さて、\(t\) は勝手に作った変数なので、最後に \(x\) の式に戻します。

\(t = x + 3\) を代入すると

\(\displaystyle \frac{1}{4} t^3 (t − 4) + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{4} (x + 3)^3 (x − 1) + C}\)

よって、 \(\color{red}{\displaystyle \int x(x + 3)^2 dx = \frac{1}{4} (x + 3)^3 (x − 1) + C}\) と求められました!

 

完了

 

定積分を置換積分法で解く【例題】

定積分を置換積分法で解く手順を、以下の例題を通して説明します。

例題

\(\displaystyle \int_{−3}^{−2} x(x + 3)^2 \ dx\) を求めよ。

 

STEP.1
被積分関数を別の文字で置換する

不定積分同様、被積分関数を別の文字で置換します。

\(x + 3 = t\) とおくと、

\(\color{salmon}{x(x + 3)^2} = \color{salmon}{t^3 − 3t^2}\) …①

 

STEP.2
dx/dt を求め、「dx = ~ 」で表す

\(x = (t \ \text{の式})\) を微分して、\(dx\) を \(dt\) で表しましょう。

\(x = t − 3\) より

\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1\)

 

よって \(\color{skyblue}{dx} = \color{skyblue}{dt}\) …②

 

STEP.3
積分区間を変換する

続いて、積分区間を \(x\) の区間から \(t\) の区間に変換します。

\(t = x + 3\) より、

\(x\) \(\color{red}{−3} \to \color{red}{−2}\)
\(t\) \(\color{red}{0} \to \color{red}{1}\)

…③

不定積分との違いは、積分区間を変換しておくことです。

ここを見落とすと計算ミスが起こるので、必ず押さえておきましょう。

 

STEP.4
定積分する

これで準備が整ったので、元の式を \(t\) で書き直し、積分します。

積分区間も忘れずに書き直してくださいね。

①、②、③より、

\(\displaystyle \int_{\color{red}{−3}}^{\color{red}{−2}} \color{salmon}{x(x + 3)^2} \, \color{skyblue}{dx}\)

\(= \displaystyle \int_\color{red}{0}^\color{red}{1} \color{salmon}{(t^3 − 3t^2)} \, \color{skyblue}{dt}\)

\(\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} t^4 − t^3 \right]_0^1\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{4} − 1 \right) − (0 − 0)\)

\(\displaystyle = \color{red}{−\frac{3}{4}}\)

よって、\(\color{red}{\displaystyle \int_{−3}^{−2} x(x + 3)^2 \ dx = −\frac{3}{4}}\) と求めることができました!

定積分では具体的な値が求まるので、変数を元に戻す作業は必要ありません。

 

完了

 

置換積分の置換パターン

さて、置換積分法で解く流れはわかったかと思いますが、肝心なのは「何を別の文字でおくか」です。

変な置き換えをするとうまく解けなくなってしまいます。

実は、代表的な置換パターンは以下の \(3\) つしかありません。

Tips

① 被積分関数 \(f(x)\) が \(g(x)\) と \(g’(x)\) で表現できる場合
  \(g(x) = t\) とおく

② ①に当てはまらない場合
  複雑なパーツを \(t\) とおく

③ \(a^2 − x^2\), \(a^2 + x^2\)を含む場合
  \(a^2 − x^2\) → \(x = a \sin\theta\) とおく

  \(a^2 + x^2\) → \(x = a \tan\theta\) とおく

それぞれについて、詳しく見ていきましょう。

 

【パターン①】\(f(x)\) が \(g(x)\) と \(g’(x)\) で表現できる

まずは、問題の関数が「何か \(g(x)\)」と「その微分 \(g’(x)\)」で表現できないかをチェックします。

もし表すことができるなら、「\(\color{salmon}{g(x) = t}\)」と置換すれば 100% うまくいきます。

 

例えば次のような問題です。

例題

\(\displaystyle \int x(x^2 + 5)^3 \ dx\)

 

見極めのポイントは、次数を見ることです。

複雑なパーツの中身の微分が簡単なパーツの次数と合っていれば、このパターンである可能性が高いです。

解答

 

\(\displaystyle \int x(x^2 + 5)^3 \ dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} (2x)(x^2 + 5)^3 \ dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} (x^2 + 5)’(x^2 + 5)^3 \ dx\)

 

\(\color{salmon}{t = x^2 + 5}\) とおくと

\(\displaystyle \int \frac{1}{2} \color{skyblue}{(x^2 + 5)’}\color{salmon}{(x^2 + 5)^3} \ dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} \color{skyblue}{\frac{dt}{dx}} \, \color{salmon}{t^3} \, dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} t^3 \,dt\)

\(\displaystyle = \frac{1}{8} t^4 + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{8} (x^2 + 5)^4 + C}\)

(\(C\) は積分定数)

このように、何か(ここでは \(g(x) = x^2 + 5\))とその微分 \(g’(x)\) が入っていたおかげで、うまく \(dx\) が相殺され、\(t\) の積分に変換できるのですね!

 

このパターンは、慣れてきたら \(g(x) = t\) に置換せず積分できるようになります。

(別解)

 

\(\displaystyle \int x(x^2 + 5)^3 \ dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} \color{skyblue}{(x^2 + 5)’}(x^2 + 5)^3 \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (x^2 + 5)^4 + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{8} (x^2 + 5)^4 + C}\)

要するに、合成関数を積分していると考えるのですね。

補足

「合成関数」については以下の記事で説明しています。

合成関数とは?微分・積分の公式や証明、問題の解き方
Tips

複雑なパーツは、次のようなかたちになっていることが多いです。

  • べき乗
    (例) \(\displaystyle \int x\color{salmon}{(x^2 + 5)^3} \, dx\)
  • 根号(ルート)
    (例) \(\displaystyle \int x\color{salmon}{\sqrt{x^2 + 5}} \, dx\)
  • 分数の分母
    (例) \(\displaystyle \int \frac{x}{\color{salmon}{x^2 + 5}} \, dx\)
  • \(\bf{e}\) の指数関数
    (例) \(\displaystyle \int x\color{salmon}{e^{x^2 + 5}} \, dx\)
  • 三角関数
    (例) \(\displaystyle \int 2x \color{salmon}{\sin \left( x^2 + \frac{\pi}{4} \right)} \, dx\)
補足

\(\sin x\) と \(\cos x\) を含む関数では、\((\sin x)’ = \cos x\)、\((\cos x)’ = −\sin x\) の関係が利用できます。

  • (\(\sin x\) の式) と \(\cos x\) の積
    → \(\color{salmon}{g(x) = \sin x}\) とおける
  • (\(\cos x\) の式) と \(\sin x\) の積
    → \(\color{salmon}{g(x) = \cos x}\) とおける

 

(例)

\(\displaystyle \int \sin x \cos^3 x \,dx\)

\(\displaystyle = −\int (\cos x)’ \cos^3 x \,dx\)

\(\displaystyle = −\frac{1}{4} \cos^4 x + C\)

 

【パターン②】複雑なパーツを \(t\) とおく

パターン①に当てはまらない場合は、複雑なパーツ全体を \(t\) とおいてみましょう。

このとき、複雑なパーツの種類に応じて置き換え方を工夫します。

べき乗の場合

べき乗の中身を \(t\) とおくとうまくいくことが多いです。

(例) \(\displaystyle \int x(x + 3)^3 \, dx\)

 

\(\color{salmon}{x + 3 = t}\) とおくと、 \(x = t − 3\)

\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1\) より \(dx = dt\)

 

\(\displaystyle \int x(x + 3)^3 \, dx\)

\(\displaystyle = \int (t − 3)t^3 \, dt\)

\(\displaystyle = \int (t^4 − 3t^3) \, dt\)

\(\displaystyle = \frac{1}{5}t^5 − \frac{3}{4}t^4 + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{20}t^4(4t − 15) + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{20}(x + 3)^4\{4(x + 3) − 15\} + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{20}(x + 3)^4(4x − 3) + C}\)

 (\(C\) は積分定数)

 

根号(ルート)の場合

根号ごと \(t\) とおくとうまくいくことが多いです。

(例) \(\displaystyle \int (x + 1) \sqrt{2x + 1} \,dx\)

 

\(\color{salmon}{\sqrt{2x + 1} = t}\) とおくと、\(\displaystyle x = \frac{1}{2}(t^2 − 1)\)

\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = t\) より \(dx = t \,dt\)

 

\(\displaystyle \int (x + 1)\sqrt{2x + 1} \,dx\)

\(\displaystyle = \int \left\{ \frac{1}{2} (t^2 − 1) + 1 \right\} t \cdot t \,dt\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} (t^2 + 1)t^2 \, dt\)

\(\displaystyle = \int \frac{1}{2} (t^4 + t^2) \, dt\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{3}t^3\right) + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{30} t^3(3t^2 + 5) + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{30} \{\sqrt{2x + 1}\}^3\{3(2x + 1) + 5\} + C\)

\(\displaystyle = \frac{1}{30} (2x + 1)\sqrt{2x + 1}(6x + 8) + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{15} (3x + 4)(2x + 1)\sqrt{2x + 1} + C}\)(\(C\) は積分定数)

 

\(e^x\) を含む場合

\((e^x \pm \text{定数})\) を含む場合は \((e^x \pm \text{定数}) = t\) とおくと計算が楽です。

(\(e^x = t\) とおいても解けます。)

(例)\(\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^x + 2} \,dx\)

 

\(\color{salmon}{e^x + 2 = t}\) とおくと、\(e^x = t − 2\)

\(\displaystyle \frac{dt}{dx} = e^x\) より \(\displaystyle e^x \, dx = dt\)

 

\(\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{e^x}{e^x + 2} \cdot e^x \, dx\)

\(\displaystyle = \int \frac{t − 2}{t} \, dt\)

\(\displaystyle = \int \left( 1 − \frac{2}{t} \right) \, dt\)

\(= t − 2\log t + C\)

 (\(t = e^x + 2 > 0\) より \(\log|t| = \log t\))

\(= \color{red}{(e^x + 2) − 2\log (e^x + 2) + C}\)(\(C\) は積分定数)

 

【パターン③】\(a^2 − x^2\), \(x^2 + a^2\) を含む(発展)

関数に \(a^2 − x^2\) や \(x^2 + a^2\) のかたちを含む場合は、次のような特殊な置換方法が有効です。

Tips
  • \(a^2 − x^2\) を含む場合 → \(\color{salmon}{x = a \sin\theta}\) とおく
  • \(a^2 + x^2\) を含む場合 → \(\color{salmon}{x = a \tan\theta}\) とおく

パターン①, ② を試してもうまくいかないなぁと思ったとき、このパターンを疑いましょう。

(例1) \(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{9 − x^2} \, dx\)

 

\(\color{salmon}{x = 3 \sin\theta}\) とおくと、

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = 3 \cos\theta\) より \(dx = 3\cos\theta \,d\theta\)

 

\(x\) \(0 \to 3\)
\(\theta\) \(\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}\)

なお、この範囲で \(\cos\theta \geq 0\)

 

\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{9 − x^2} \, dx\)

\(\displaystyle = \int_0^{\pi/2} \sqrt{9 − 9 \sin^2 \theta} \cdot 3 \cos\theta \, d\theta\)

\(\displaystyle = \int_0^{\pi/2} 3\sqrt{1 − \sin^2 \theta} \cdot 3 \cos\theta \, d\theta\)

 (\(1 − \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\) 利用)

\(\displaystyle =  \int_0^{\frac{\pi}{2}} 9\sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \cos\theta \, d\theta\)

 (\(\cos \theta \geq 0\) より \(\sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos\theta| = \cos\theta\))

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \cos^2 \theta \, d\theta\)

 (半角の公式 \(\displaystyle \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\) 利用)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{9(1 + \cos 2\theta)}{2} \, d\theta\)

\(\displaystyle = \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta\)

\(\displaystyle = \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle = \frac{9}{2} \left\{ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) − (0 + 0) \right\}\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{9}{4}\pi}\)

(例2) \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)

 

\(\color{salmon}{x = \tan\theta}\) とおくと

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}\) より \(\displaystyle dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta\)

 

\(x\) \(0 \to 1\)
\(\theta\) \(\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}\)

 

\(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta\)

 (\(\displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\) 利用)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta\)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \, d\theta\)

\(\displaystyle = \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{\pi}{4}}\)

補足

この置換方法の根拠には、\(\sin\) や \(\tan\) の「逆関数」が関わっています。

逆関数とは?逆関数の求め方や微分・積分の公式、計算問題
Tips

なお、根号(ルート)の中に \(x^2 \pm a^2\) がある場合は \(t = x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\) とおく方法もあります。

 

置換積分法の練習問題

最後に、確認の意味を込めて \(1\) 問だけ練習問題に挑戦してみましょう。

「何を \(t\) とおくか」は、パターン①から順番に疑っていくといいですよ。

置換パターン

① \(f(x)\) が \(g(x)\) と \(g’(x)\) で表現できる

② 複雑なパーツを \(t\) とおく

③ \(a^2 − x^2\), \(a^2 + x^2\) を含む

 

練習問題「分数(分母がルート)の不定積分」

練習問題

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{4 − x^2}} \, dx\)

 

\(\sqrt{ }\) もあるし、\(a^2 − x^2\) のかたちもあるし、「\(t = 4 − x^2\)」「\(t = \sqrt{4 − x^2}\)」「\(x = a \sin\theta\)」、どれでおけばいいんだ?と混乱しますが、まずはパターン①から疑います。

\((4 − x^2)’ = −2x\) なので、分子は \(\displaystyle x = −\frac{1}{2} (−2x) = −\frac{1}{2} (4 − x^2)’\) と表現できますね。

解答

 

\(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4 − x^2}} = −\frac{1}{2} \frac{−2x}{\sqrt{4 − x^2}} \) より、

 

\(t = 4 − x^2\) とおくと、 \(\displaystyle \frac{dt}{dx} = −2x\)

 

よって

\(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{4 − x^2}} \, dx\)

\(\displaystyle = −\int \frac{1}{2} \frac{−2x}{\sqrt{4 − x^2}} \, dx\)

\(\displaystyle = −\frac{1}{2} \int \frac{\frac{dt}{dx}}{\sqrt{t}} \, dx\)

\(\displaystyle = −\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt\)

\(\displaystyle = −\frac{1}{2} \int t^{−\frac{1}{2}} \, dt\)

\(\displaystyle = −\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + C\)

\(= −t^{\frac{1}{2}} + C\)

\(= −\sqrt{t} + C\)

\(= −\sqrt{4 − x^2} + C\)

(\(C\) は積分定数)

 

答え: 

\(\color{red}{−\sqrt{4 − x^2} + C}\)(\(C\) は積分定数)

以上で問題も終わりです!

 

置換積分は、ざっくりとパターン化できるとはいえ複雑で難しいテクニックです。

置換積分を使いこなすには、多くの問題を解いてカンをつけていくのが一番の近道です。

失敗や成功を重ねて、置換積分法をマスターしてくださいね!

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