分数関数とは?グラフや微分・積分、不等式の解き方

この記事では、「分数関数」についてわかりやすく解説していきます。

グラフの書き方や不等式の解き方、微分・積分の計算なども説明しますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

分数関数とは?

分数関数とは、ある変数についての分数式で表された関数のことです。

分数関数

\(f(x)\), \(g(x)\) が \(x\) の多項式であるとき、

\(\color{red}{\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}}\) の形で表される関数を分数関数という。

分数関数は不等式や微分積分に登場したり、グラフの問題で登場したりします。

グラフの問題では、一次分数関数が出てくることが多いです。

 

一次分数関数の基本形

分母と分子が \(x\) の一次式である関数を、「一次分数関数」といいます。

一次分数関数は、どれも反比例の関数 \(\displaystyle y = \frac{a}{x}\) と同じ直角双曲線です。

つまり、反比例の関数を平行移動したものが一次分数関数であるといえますね。

 

一次分数関数は、以下のような「基本形」で表すとグラフの形がわかりやすいです。

一次分数関数の基本形(直角双曲線の平行移動)

関数 \(\displaystyle y = \frac{a}{x}\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動してできるグラフの方程式は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle y = \frac{a}{x − p} + q}\end{align}

 

なお、\(\displaystyle y = \frac{a}{x − p} + q\) の漸近線の方程式は

\(\color{red}{x = p}\) および \(\color{red}{y = q}\)

 

補足

「グラフの平行移動」については以下の記事で説明しています。

平行移動とは?グラフ(二次関数など)の平行移動の公式と作図

 

基本形への直し方

どんな一次分数関数でも、基本形に直せばグラフの概形がわかります。

一次分数関数の式を基本形に直すのは簡単で、\(\bf{\text{(分子)} \div \text{(分母)}}\) をするだけです。

例題

\(\displaystyle y = \frac{3x + 4}{x + 1}\) を基本形に直せ。

 

解答

\(3x + 4\) を \(x + 1\) で割ると、商 \(3\)、余り \(1\) なので、

\(\begin{align} y &= \frac{3x + 4}{x + 1} \\ &= \frac{3(x + 1) + 1}{x + 1} \\ &= \color{red}{\frac{1}{x + 1} + 3} \end{align}\)

これで、\(x = −1\), \(y = 3\) を漸近線にもつ直角双曲線とわかりますね。

 

グラフの書き方

それでは、同じ関数でグラフの書き方も確認していきましょう!

例題

\(\displaystyle y = \frac{3x + 4}{x + 1}\) のグラフを書け。

 

STEP.1
基本形に変形する

以下のように変形できましたね。

\(\displaystyle y = \frac{3x + 4}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} + 3\)

 

STEP.2
漸近線を書く

基本形の式から、漸近線は \(x = −1\), \(y = 3\) とわかります。

座標平面を用意し、漸近線を点線で書き込みましょう。

 

STEP.3
x 軸、y 軸との交点を求める

一次分数関数のグラフを書くときは、最低限「漸近線」と(あれば)「軸との交点」を示す必要があります。

\(x\) 軸との交点は \(y = 0\) を代入、\(y\) 軸との交点は \(x = 0\) を代入してそれぞれ求めます。

\(\displaystyle 0 = \frac{1}{x + 1} + 3\) より \(\displaystyle \left( −\frac{4}{3}, 0 \right)\)

\(\displaystyle y = \frac{1}{0 + 1} + 3 = 4\) より \((0, 4)\)

 

STEP.4
双曲線を書く

あとは双曲線のグラフを書けば完成です!

軸との交点以外の座標は必ずしも示す必要はありませんが、ある程度きれいなグラフを書きたい場合は数点の座標を調べておくと安心です。

漸近線と交わらないようにだけ注意しましょう!

 

完了

 

二次以上の分数関数についても、同様の手順でグラフの概形を求められます。

ただし、極値を求めるには「微分」や「相加・相乗平均の関係」を利用する必要があります。

(例)\(\displaystyle y = \frac{x^2 + x − 5}{x − 2}\) のグラフ

 

\(\begin{align} y &= \frac{(x − 2)(x + 3) + 1}{x − 2} \\ &= (x + 3) + \frac{1}{x − 2} \end{align}\)

漸近線の方程式は

\(x = 2\), \(y = x + 3\)

 

なお、\(x > 2\) のとき、相加・相乗平均の関係より

\(\begin{align} y &= (x + 3) + \frac{1}{x − 2} \\ &= (x − 2) + \frac{1}{x − 2} + 5 \\ &\geq 2\sqrt{(x − 2) \cdot \frac{1}{x − 2}} + 5 \\ &= 7 \end{align}\)

 

等号成立条件は

\(\displaystyle x − 2 = \frac{1}{x − 2}\) すなわち \(x = 3\)

よって \(x > 2\) において点 \((3, 7)\) で最小値をとる。

対称性を考えると、\(x < 2\) においては点 \((1, 3)\) で最大値をとる。

 

補足

「相加・相乗平均」については、以下の記事で説明しています。

相加・相乗平均とは?使い方や大小関係の証明問題の解き方

 

分数関数の不等式の解き方

ここでは、分数関数の不等式(分数不等式)の解き方を次の例題を通して説明します。

例題

不等式 \(\displaystyle \frac{2}{x + 3} < x + 4\) を解け。

 

分数不等式の解き方には、大きく次の \(3\) 通りがあります。

  1. 分母を払う
  2. 通分する
  3. グラフを書く
Tips

なお、あらかじめ言っておくと 2 の「通分する」方法が一番オススメです。

分母を払う方法は場合分けが必要ですし、グラフを書く方法は式が複雑だと手間になります。

それぞれの解き方を確認しましょう。

 

【解き方①】分母を払う

分数を解消するために、両辺に同じ数をかけて分母を払います。

かける数の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要になります。

例題では両辺に \((x + 3)\) をかければよいので、\(x > −3\) と \(x < −3\) で場合分けしましょう。

補足

左辺が分数式になっているので、分母の \(x + 3\) は \(0\) になり得ないと考えます。

よって、はじめから \(x = −3\) は除外しておきましょう。

解答

 

不等式 \(\displaystyle \frac{2}{x + 3} < x + 4\) を解く。

 

(i) \(x > −3\) のとき

\(x + 3 > 0\) より、両辺に \((x + 3)\) をかけると

\(2 < (x + 4)(x + 3)\)

\(x^2 + 7x + 12 > 2\)

\(x^2 + 7x + 10 > 0\)

\((x + 2)(x + 5) > 0\)

\(x < −5, −2 < x\)

 

\(x > −3\) との共通範囲は

\(−2 < x\) …①

 

 

(ii) \(x < −3\) のとき

\(x + 3 < 0\) より、両辺に \((x + 3)\) をかけると

\(2 > (x + 4)(x + 3)\)

\(x^2 + 7x + 12 < 2\)

\(x^2 + 7x + 10 < 0\)

\((x + 2)(x + 5) < 0\)

\(−5 < x < −2\)

 

\(x < −3\) との共通範囲は

\(−5 < x < −3\) …②

 

 

①、②より

\(−5 < x < −3, \,\, −2 < x\)

 

答え: \(\color{red}{−5 < x < −3, \,\, −2 < x}\)

 

【解き方②】通分する

項をすべて左辺に移動し、通分してから分子を因数分解します。

場合分けが不要なので解答がスッキリとします。

解答

 

不等式 \(\displaystyle \frac{2}{x + 3} < x + 4\) を解く。

 

移項して、

\(\displaystyle \frac{2}{x + 3} − (x + 4) < 0\)

 

\(\displaystyle \frac{2 − (x + 3)(x + 4)}{x + 3} < 0\)

 

\(\displaystyle \frac{2 − (x^2 + 7x + 12)}{x + 3} < 0\)

 

\(\displaystyle −\frac{x^2 + 7x + 10}{x + 3} < 0\)

 

\(\displaystyle −\frac{(x + 2)(x + 5)}{x + 3} < 0\)

分母分子が因数分解された形になったら、不等式を満たす \(x\) の値の範囲を考えます。

\(\text{(因数)} = 0\) となる \(x\) の値が符号の切り替わる境界となります。

分数式のまま考える場合は次のような簡単な符号表を作るか、頭の中で代入計算をするとよいでしょう。

(解答続き)

 

左辺「\(\displaystyle −\frac{(x + 2)(x + 5)}{x + 3}\)」について、

よって答えは

\(−5 < x < −3, \,\, −2 < x\)

 

答え: \(\color{red}{−5 < x < −3, \,\, −2 < x}\)

 

分数式のままだと頭がこんがらがるという場合は、分母の \(\bf{2}\) を両辺にかけて分母を払い、\(y = \text{(左辺)}\) のグラフと \(x\) 軸との関係を考えましょう。

(続きの別解)

両辺に \((x + 3)^2\) をかけても不等号の向きは変わらないので、

\(−(x + 2)(x + 5)(x + 3) < 0\)

よって、

\(\color{red}{−5 < x < −3, \,\, −2 < x}\)

Tips

わざわざ両辺の「\(2\) 乗」をかけるのは、不等号の向きを変えないためです。

何かの \(2\) 乗は必ず \(0\) 以上の数になりますね。

 

【解き方③】グラフを書く

\(y = \text{(左辺)}\) と \(y = \text{(右辺)}\) のグラフを書いて、グラフの上下関係を考えます。

解答

 

不等式 \(\displaystyle \frac{2}{x + 3} < x + 4\) を解くには、

\(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle y = \frac{2}{x + 3} \ \text{…①}\\ y = x + 4 \ \text{…②}\end{array}\right.\)

のグラフにおいて、①よりも②が上側にくる \(x\) の範囲を求めればよい。

①は \(y = 0\), \(x = −3\) を漸近線とする直角双曲線、②は直線である。

 

\(\displaystyle \frac{2}{x + 3} = x + 4\) のとき、

\(2 = (x + 4)(x + 3)\)

\(x^2 + 7x + 10 = 0\)

\((x + 2)(x + 5) = 0\)

よって \(x = −2, −5\)

\(x = −2\) のとき \(y = −2 + 4 = 2\)

\(x = −5\) のとき \(y = −5 + 4 = −1\)

であるから、①と②の交点は \((−2, 2), (−5, −1)\)

 

したがって、①、②のグラフは次の通りとなる。

 

よって、求める \(x\) の範囲は

\(−5 < x < −3, \,\, −2 < x\)

 

答え: \(\color{red}{−5 < x < −3, \,\, −2 < x}\)

例題のように一次分数関数程度のグラフであればささっと書けますが、二次以上になると少し大変になります。

ただ、グラフを書いて求めよと指定される場合もあるので、流れは理解しておきましょう!

 

分数関数の微分

ここでは、分数関数を微分する方法について説明します。

分数関数は関数同士の商で表されるので、商の微分公式で微分できます。

商の微分公式

\(\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}\) の導関数は、

\begin{align} \color{red}{y’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}} \end{align}

 

特に、\(f(x) = 1\) のとき

\begin{align} \color{red}{y’ = \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2}} \end{align}

項の順序を間違えやすいので、「分子 \(f(x)\) を先に微分する!」と覚えておきましょう。

補足

上記公式を含む、「微分の公式」について知りたい方は以下の記事を参考にしてください。

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

 

例題「分数関数を微分する」

それでは、例題を解いてみましょう。

例題

以下の関数を \(x\) について微分せよ。

(1) \(\displaystyle y = \frac{x + 2}{2x^3 − 1}\)

(2) \(\displaystyle y = \frac{2\sqrt{x}}{\log x}\)

 

慣れるまでは、ていねいに式展開しましょう。

分母、分子の微分を先に調べておくのも計算ミスを減らすポイントです。

解答

 

(1)

\((x + 2)’ = 1\)

\((2x^3 − 1)’ = 6x^2\)

 

よって

\(\displaystyle y’\)

\(\displaystyle = \frac{(x + 2)’(2x^3 − 1) − (x + 2)(2x^3 − 1)’}{(2x^3 − 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{(2x^3 − 1) − 6x^2(x + 2)}{(2x^3 − 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{2x^3 − 1 − 6x^3 − 12x^2}{(2x^3 − 1)^2}\)

\(\displaystyle = \frac{−4x^3 − 12x^2 − 1}{(2x^3 − 1)^2}\)

\(\displaystyle = −\frac{4x^3 + 12x^2 + 1}{(2x^3 − 1)^2}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y’ = −\frac{4x^3 + 12x^2 + 1}{(2x^3 − 1)^2}}\)

 

 

(2)

\(\begin{align} (2\sqrt{x})’ &= (2x^{\frac{1}{2}})’ \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} x^{−\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} \end{align}\)

\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\)

 

よって

\(\begin{align}\displaystyle y’ &= \frac{(2\sqrt{x})’ \log x − 2\sqrt{x} (\log x)’}{(\log x)^2}\\&= \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \log x − \frac{2\sqrt{x}}{x}}{(\log x)^2}\\&= \frac{\frac{\log x}{\sqrt{x}} − \frac{2}{\sqrt{x}}}{(\log x)^2}\\&= \frac{\log x − 2}{\sqrt{x} (\log x)^2}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y’ = \displaystyle \frac{\log x − 2}{\sqrt{x} (\log x)^2}}\)

 

分数関数の積分

分数関数の積分は、式の形によって解き方を工夫する必要があります。

代表的なパターンを確認していきましょう。

① 分子に分母の微分が隠れているパターン

分子に分母の微分の形があれば、次の積分公式を利用できます。

合成関数の積分

\(\displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx = \log x + C\) より、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int \frac{f’(x)}{f(x)} \ dx = \log|f(x)| + C}\end{align}

(\(C\) は積分定数)

分母よりも分子の次数が \(1\) 低い場合は、このパターンでないか確認しましょう。

(例1)

\(\displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 3} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 3} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{(x^2 + 3)’}{x^2 + 3} \ dx\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{2} \log(x^2 + 3) + C}\)

 

(例2)

\(\displaystyle \int \frac{x^2 + 1}{2x^3 + 6x + 1} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{6} \int \frac{6x^2 + 6}{2x^3 + 6x + 1} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{6} \int \frac{(2x^3 + 6x + 1)’}{2x^3 + 6x + 1} \ dx\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{1}{6} \log|2x^3 + 6x + 1| + C}\)

補足

「合成関数の積分」については、以下の記事で説明しています。

合成関数とは?微分・積分の公式や証明、問題の解き方

 

② 分母が因数分解できるパターン

分母が一次式の因数で因数分解できる場合は、部分分数分解で項をわけると積分しやすくなります。

(例1)\(\displaystyle \int \frac{2}{x^2 + 3x + 2} \ dx\)

 

\(\begin{align}\displaystyle \frac{2}{x^2 + 3x + 2} &= \frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\\&= 2 \left( \frac{1}{x + 1} − \frac{1}{x + 2} \right)\end{align}\)

より、

\(\displaystyle \int \frac{2}{x^2 + 3x + 2} \ dx\)

\(\displaystyle = 2 \int \left( \frac{1}{x + 1} − \frac{1}{x + 2} \right) \ dx\)

\(= 2(\log|x + 1| − \log|x + 2|) + C\)

\(\displaystyle = \color{red}{2\log \left| \frac{x + 1}{x + 2} \right| + C}\)

 

 

(例2)\(\displaystyle \int \frac{3x − 1}{x^2 + 4x + 4} \ dx\)

 

\(\begin{align}\displaystyle \frac{3x − 1}{x^2 + 4x + 4} &= \frac{3x − 1}{(x + 2)^2}\\&= \frac{A}{(x + 2)^2} + \frac{B}{x + 2}\end{align}\)

とおく。

両辺を整理すると

\(3x − 1 = A + Bx + 2B\)

これが \(x\) についての恒等式となればよいので、

\(B = 3\), \(A + 2B = −1\) より \(A = −7\)

 

よって

\(\displaystyle \int \frac{3x − 1}{x^2 + 4x + 4} \ dx\)

\(\displaystyle = \int \left\{ −\frac{7}{(x + 2)^2} + \frac{3}{x + 2} \right\} \ dx\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{7}{x + 2} + 3\log|x + 2| + C}\)

補足

「部分分数分解」のやり方を忘れている人は、以下の記事で復習しましょう!

部分分数分解とは?公式とやり方、積分・数列の計算問題

 

③ 分母に \(x^2 + a^2\) の形があるパターン

「\(\color{red}{x = a\tan\theta}\)」に置換するとうまく積分できることが多いです。

(例)\(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} \ dx\)

 

\(x = \sqrt{3} \tan\theta\) とおくと、

\(\displaystyle \frac{1}{x^2 + 3} = \frac{1}{3(\tan^2\theta + 1)}\)

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta}\) より \(\displaystyle dx = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} \ d\theta\)

 

また、

\(x\) \(0 \longrightarrow \sqrt{3}\)
\(\theta\) \(0 \longrightarrow \displaystyle \frac{\pi}{4}\)

 

よって

\(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} \ dx\)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{3(\tan^2\theta + 1)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} \ d\theta\)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2\theta}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} \ d\theta\)

\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{3}} \ d\theta\)

\(\displaystyle = \left[ \frac{\theta}{\sqrt{3}} \right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle = \color{red}{\frac{\pi}{4\sqrt{3}}}\)

補足

「置換積分法」については、以下の記事で説明しています。

置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど)

 

分数関数の練習問題

最後に、分数関数の練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「漸近線と通る 1 点から分数関数を求める」

練習問題①

漸近線の方程式が \(x = 1\), \(y = −3\) で点 \((2, 1)\) を通る双曲線について、次の問いに答えよ。

(1) 方程式を求めよ。

(2) グラフを書け。

 

分数関数の基本形がわかっていれば簡単ですね。

グラフはていねいに書きましょう!

解答

 

(1)

求める双曲線の方程式は、

\(\displaystyle y = \frac{a}{x − 1} − 3\)

とおける。

 

これが点 \((2, 1)\) を通るから、

\(\displaystyle 1 = \frac{a}{2 − 1} − 3\)

\(1 = a − 3\)

\(a = 4\)

 

よって

\(\displaystyle y = \frac{4}{x − 1} − 3\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{4}{x − 1} − 3}\)

(または \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{−3x + 7}{x − 1}}\)

 

 

(2)

グラフは以下の通り。

答え:

 

練習問題②「分数関数を平行移動する」

練習問題②

\(\displaystyle y = \frac{2x + 3}{x − 1}\) のグラフは、\(\displaystyle y = \frac{−x + 1}{x + 4}\) を \(x\) 軸、\(y\) 軸方向にどれだけ平行移動したグラフか。

 

平行移動の問題では、符号に注意しましょう。

解答

 

\(y = \displaystyle \frac{2x + 3}{x − 1} = \frac{5}{x − 1} + 2 \) …①

 

また、

\(\displaystyle y = \frac{−x + 1}{x + 4} = \frac{5}{x + 4} − 1\)

これが \(x\) 軸方向に \(p\), \(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動したグラフを①とすると、

\(\displaystyle y = \frac{5}{x + 4 − p} − 1 + q\) …②

 

①と②が一致するから、

\(−1 = 4 − p\)、すなわち \(p = 5\)

\(2 = −1 + q\)、すなわち \(q = 3\)

 

答え:

\(\color{red}{x}\) 軸方向に \(\color{red}{5}\)\(\color{red}{y}\) 軸方向に \(\color{red}{3}\) だけ平行移動したグラフ

 

練習問題③「分数関数の不等式を解く」

練習問題③

不等式 \(\displaystyle \frac{4x − 3}{x − 2} \geq 5x − 6\) を解け。

 

分数関数の不等式は、\(3\) 通りの解き方がありましたね。

ここでは、通分による方法を示します。

解答

 

左辺より、\(x \neq 2\)

 

\(\displaystyle \frac{4x − 3}{x − 2} \geq 5x − 6\) より

\(\displaystyle \frac{4x − 3}{x − 2} − (5x − 6) \geq 0\)

 

\(\displaystyle \frac{(4x − 3) − (x − 2)(5x − 6)}{x − 2} \geq 0\)

 

\(\displaystyle \frac{(4x − 3) − (5x^2 − 16x + 12)}{x − 2} \geq 0\)

 

\(\displaystyle \frac{−5x^2 + 20x − 15}{x − 2} \geq 0\)

 

\(\displaystyle −\frac{5(x^2 − 4x + 3)}{x − 2} \geq 0\)

 

\(\displaystyle \frac{(x − 3)(x − 1)}{x − 2} \leq 0\)

 

 

ここで、両辺に \((x − 2)^2\) をかけても不等号の向きは変わらないので

\((x − 3)(x − 2)(x − 1) \leq 0\)

よって

\(x \leq 1, 2 < x \leq 3\)

 

答え: \(\color{red}{x \leq 1, 2 < x \leq 3}\)

以上で問題も終わりです!

 

分数関数の式変形が素早くできると、グラフを書いたり問題を解いたりするのがとても楽になります。

しっかりと練習しておきましょうね!

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