相加・相乗平均とは?使い方や大小関係の証明問題の解き方

この記事では、「相加・相乗平均」の使い方や証明問題の解き方をわかりやすく解説していきます。

\(3\) つの文字の問題なども解説していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

相加・相乗平均とは?

相加・相乗平均とは、相加平均と相乗平均の大小関係を示す不等式のことです。

相加・相乗平均の不等式

相加平均は、必ず相乗平均以上になる。

\begin{align}\color{red}{\text{(相加平均)} \geq \text{(相乗平均)}}\end{align}

この大小関係を指して、「相加・相乗平均の関係」と呼んでいるのですね。

それでは、「相加平均」「相乗平均」とはなんでしょうか。

 

相加平均と相乗平均

相加平均は足し合わせの平均値で、よく目にする「平均」です。

一方で、相乗平均はかけ合わせの平均値です。

相加平均と相乗平均

\(n\) 個の正の数 \(a_1\), \(a_2\), \(\cdots\), \(a_n\) があるとき、

  • 相加平均
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}}\end{align}
  • 相乗平均
    \begin{align}\color{red}{\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}}\end{align}

相乗平均は \(n\) 乗根になりますね。

 

2 変数の公式

\(n\) が何個でも成り立つ相加平均と相乗平均の大小関係ですが、よく使用するのは \(2\) 変数 \((n = 2)\) の公式です。

相加・相乗平均の不等式(2 変数)

\(a \geq 0\), \(b \geq 0\) のとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}}\end{align}

が成り立つ。

(等号成立は \(a = b\) のとき)

左辺の \(2\) を移行して、「\(\color{red}{a + b \geq 2\sqrt{ab}}\)」と書くこともあります。

 

3 変数の公式

また、\(3\) 変数 \((n = 3)\) の公式を使うこともあります。

相加・相乗平均の不等式(3 変数)

\(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\) のとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}}\end{align}

が成り立つ。

(等号成立は \(a = b = c\) のとき)

こちらも、左辺の \(3\) を移行して「\(\color{red}{a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{abc}}\)」と書くことがあります。

 

相加・相乗平均の証明

ここでは、\(2\) 変数および \(3\) 変数の相加・相乗平均の不等式を証明します。

どちらも、「(左辺) \(−\) (右辺)」の計算で証明できます。

【証明①】2 変数の公式

まずは \(2\) 変数の相加・相乗平均の不等式です。

2 変数の不等式の証明

\(a \geq 0\), \(b \geq 0\) のとき、

\begin{align}\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\end{align}

を示せ。

 

証明

 

\(\text{(左辺)} − \text{(右辺)}\)

\(\displaystyle = \frac{a + b}{2} − \sqrt{ab}\)

\(\displaystyle = \frac{a − 2\sqrt{ab} + b}{2}\)

\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{a})^2 − 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2}\)

\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{a} − \sqrt{b})^2}{2} \geq 0\)

 

よって、\(\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\) が示された。

 

また、\(\text{(左辺)} − \text{(右辺)} = 0\) のとき \(a = b\) となるので、

等号成立は \(a = b\) のときである。

 

(証明終わり)

 

【証明②】3 変数の公式

続いて \(3\) 変数の相加・相乗平均の不等式を証明します。

3 変数の不等式の証明

\(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\) のとき、

\begin{align}\displaystyle \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\end{align}

を示せ。

 

右辺に三乗根があるため少し計算が複雑になりますね。

\(a\), \(b\), \(c\) は \(0\) 以上の数なので、何かの \(3\) 乗に置き換えると楽です。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(a = p^3\), \(b = q^3\), \(c = r^3\)

\((p \geq 0, q \geq 0, r \geq 0)\) と置き換えると、

与式は

\(p^3 + q^3 + r^3 \geq 3pqr\) …①

となる。

 

①について、

\(\text{(左辺)} − \text{(右辺)}\)

\(= p^3 + q^3 + r^3 − 3pqr\)

\(= (p + q + r)(p^2 + q^2 + r^2 − pq − qr − rp)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (p + q + r)(2p^2 + 2q^2 + 2r^2 − 2pq − 2qr − 2rp)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (p + q + r) \{(p^2 − 2pq + q^2) + (q^2 − 2qr + r^2) + (r^2 − 2rp + p^2)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (p + q + r) \{(p − q)^2 + (q − r)^2 + (r − p)^2\}\)

 

ここで、

\(p + q + r \geq 0\)、\((p − q)^2 + (q − r)^2 + (r − p)^2 \geq 0\)

であるから、

\(\text{(左辺)} − \text{(右辺)} \geq 0\)

 

①が成り立つので、\(\displaystyle \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\) が成り立つ。

また、 \(\text{(左辺)} − \text{(右辺)} = 0\) のとき \(p = q = r\) が成り立つことから、与式の等号成立は \(a = b = c\) のときである。

 

(証明終わり)

 

相加・相乗平均の使い方

相加平均と相乗平均の大小関係は、次のような場面で活用できます。

Tips
  • 関数などの最大値・最小値を求める
  • 不等式を証明する

特に、以下のような問題では相加・相乗平均の関係が使えないか疑ってみましょう。

  • 扱う数が正の数である
  • 変数が逆数の位置にある数が出てくる
    (例) \(x\) と \(\displaystyle \frac{2}{x}\) 、 \(3y\) と \(\displaystyle \frac{1}{y}\) など

 

【使い方①】和の最小値を求める

和の最小値を求める問題では、「\(\color{red}{a + b \geq 2\sqrt{ab}}\)」(和が相乗平均の \(2\) 倍以上になる)を利用できます。

例題①

\(x > 0\) のとき \(\displaystyle 3x + \frac{1}{x}\) の最小値を求めよ。

 

ともに \(0\) 以上の数である \(3x\) と \(\displaystyle \frac{1}{x}\) の和の最小値を聞かれています。

このとき、\(2\) 数の積が定数になる(変数が残らない)ことに着目すると相加・相乗平均の不等式が役立ちます。

Tips

相加・相乗平均の関係を使う際は、必ず次の \(2\) 点を守りましょう。

  • \(2\) 数が正の数(\(0\) 以上)であることを確認し、明記する
  • 等号成立条件を確認し、明記する
解答

 

\(x > 0\) より、

\(3x > 0\), \(\displaystyle \frac{1}{x} > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\begin{align} 3x + \frac{1}{x} &\geq 2\sqrt{3x \cdot \frac{1}{x}} \\ &= 2\sqrt{3} \end{align}\)

 

等号は \(\displaystyle 3x = \frac{1}{x}\)、すなわち \(\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) で成り立つ。

 

したがって、\(\displaystyle 3x + \frac{1}{x}\) は \(\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt3}\) のとき最小値 \(2\sqrt3\) をとる。

 

答え: \(\color{red}{2\sqrt3}\)

 

【使い方②】積の最大値を求める

積の最大値を求める問題では、「\(\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)」を変形した「\(\color{red}{\displaystyle ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2}\) 」(積が相加平均の \(2\) 乗以下になる)を利用できます。

例題②

\(\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) のとき、\((1 − \cos x)\cos x\) の最大値を求めよ。

 

\(2\) 数 \((1 − \cos x)\) と \(\cos x\) の積の最大値を聞かれています。

このとき、\(2\) 数の和が定数になる(変数が残らない)ことに着目すると、相加・相乗平均の不等式が役立ちますね。

解答

 

\(\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) より、

\(0 \leq \cos x \leq 1\), \(0 \leq 1 − \cos x \leq 1\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\displaystyle (1 − \cos x)\cos x\)

\(\displaystyle \leq \left\{ \frac{(1 − \cos x) + \cos x}{2} \right\}^2\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right)^2\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4}\)

 

等号は \(1 − \cos x = \cos x\) のとき、

すなわち \(\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}\) より

\(\displaystyle x = \frac{\pi}{3}\) のときに成り立つ。

 

したがって、\(\displaystyle x = \frac{\pi}{3}\) のとき \(\cos x (1 − \cos x)\) は最大値 \(\displaystyle \frac{1}{4}\) をとる。

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{4}}\)

 

【使い方③】不等式の証明

相加平均と相乗平均の大小関係は、不等式の証明問題でも活用できます。

例題③

\(x\), \(y > 0\) のとき、以下の不等式を示せ。

\(\displaystyle \left( x + \frac{1}{y} \right)\left( \frac{1}{x} + 4y \right) \geq 9\)

 

変数が逆数の位置にある数があれば、相加・相乗平均の不等式が使えないか試してみましょう(ここでは \(x\) と \(\displaystyle \frac{1}{x}\)、\(\displaystyle \frac{1}{y}\) と \(4y\) )。

証明

 

左辺を展開すると、

\(\displaystyle \left( x + \frac{1}{y} \right) \left( \frac{1}{x} + 4y \right)\)

\(\displaystyle = 1 + 4xy + \frac{1}{xy} + 4\)

\(\displaystyle = 4xy + \frac{1}{xy} + 5\)

 

ここで、\(xy > 0\), \(\displaystyle \frac{1}{xy} > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\begin{align} 4xy + \frac{1}{xy} + 5 &\geq 2\sqrt{4xy \cdot \frac{1}{xy}} + 5 \\ &= 4 + 5 \\ &= 9 \end{align}\)

 

等号成立は \(\displaystyle 4xy = \frac{1}{xy}\) すなわち \(\displaystyle xy = \frac{1}{2}\) のときに成立する。

 

したがって

\(\displaystyle \left( x + \frac{1}{y} \right)\left( \frac{1}{x} + 4y \right) \geq 9\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

この例題を次のように解くのは間違いです。

(誤解答)

 

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\displaystyle x + \frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}\) …①

\(\displaystyle \frac{1}{x} + 4y \geq 4\sqrt{\frac{y}{x}}\) …②

 

よって

\(\begin{align} \left( x + \frac{1}{y} \right) \left( \frac{1}{x} + 4y \right) &\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot 4\sqrt{\frac{y}{x}} \\ &= 8 \end{align}\)

なぜかというと、相加・相乗平均の不等式を複数回利用する場合は、すべての等号が同時に成り立つ必要があるからです。

①の等号成立は \(xy = 1\) のとき、②の等号成立は \(xy = 4\) のときであり、同時に成り立つような \(x\), \(y\) は存在しません。

このように、相加・相乗平均の関係を使うときには、常に等号成立条件を意識しましょう。

 

相加・相乗平均の練習問題

最後に、練習問題に取り組みましょう。

練習問題①「2 つ、3 つの和の最小値を求める」

練習問題①

(1) \(x > 0\) のとき、\(\displaystyle x + \frac{4}{x + 1}\) の最小値を求めよ。

 

(2) \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) のとき、\(\displaystyle (x + y + z)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)\) の最小値を求めよ。

 

ともに相加・相乗平均の不等式を使って求められます。

公式が使えるように、式変形を工夫してみましょう。

解答

 

(1)

\(\displaystyle x + \frac{4}{x + 1} = (x + 1) + \frac{4}{x + 1} − 1\)

 

ここで、\(x + 1 > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\begin{align} (x + 1) &+ \frac{4}{x + 1} − 1 \\ &\geq 2\sqrt{(x + 1) \cdot \frac{4}{x + 1}} − 1 \\ &= 4 − 1 \\ &= 3 \end{align}\)

 

等号は \(\displaystyle x + 1 = \frac{4}{x + 1}\) のとき、

すなわち \((x + 1)^2 = 4\) より

\(x = 1\)

のときに成り立つ。

 

よって、\(x = 1\) のとき、\(\displaystyle x + \frac{4}{x + 1}\) は最小値 \(3\) をとる。

 

答え: \(\color{red}{3}\)

 

 

(2)(見切れる場合は横へスクロール)

\(\displaystyle (x + y + z) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)\)

\(\displaystyle = 1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1\)

\(\displaystyle = \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) + \left( \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \right) + 3\)

 

ここで、\(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\)

\(\displaystyle \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{z} \cdot \frac{z}{y}} = 2\)

\(\displaystyle \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2\sqrt{\frac{z}{x} \cdot \frac{x}{z}} = 2\)

これらはすべて、\(x = y = z\) のときに等号が成立する。

 

よって、

\(\displaystyle (x + y + z) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)\)

\(\geq 2 + 2 + 2 + 3\)

\(= 9\)

 

したがって、\(x = y = z\) のとき最小値 \(9\) をとる。

 

答え: \(\color{red}{9}\)

 

練習問題②「分数の最大値を求める」

練習問題②

以下の最大値を求めよ。

\(x > 0\) のとき \(\displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\)

 

これも、実は相加・相乗平均の不等式で求められます。

今度はどのように変形すれば公式が使えるでしょうか。

解答

 

\(\displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\) の分母・分子を \(x\) で割ると、

\(\displaystyle \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\)

 

ここで、\(x > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\displaystyle x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\)

(等号成立は \(\displaystyle x = \frac{1}{x}\)、すなわち \(x = 1\) のとき)

 

\(\displaystyle x + \frac{1}{x} \geq 2\) より、

\(\displaystyle \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \leq \frac{1}{2}\)

 

したがって、

\(\displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\) は最大値 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) をとる。

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{2}}\)

 

練習問題③「不等式を証明する」

練習問題③

\(\displaystyle (x^2 + y^2) \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) \geq 4\) を示せ。

 

\(x^2\), \(y^2\) は常に \(0\) 以上の数なので、相加・相乗平均の不等式が使えますね。

証明

 

左辺を展開すると、

\(\displaystyle (x^2 + y^2) \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) = 2 + \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\)

 

ここで、\(x^2 > 0\), \(y^2 > 0\) であるから、

相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\begin{align}\displaystyle 2 + \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} &\geq 2 + 2\sqrt{\frac{x^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{x^2}} \\&= 4\end{align}\)

 

等号は \(x^2 = y^2\)、すなわち \(x = \pm y\) のときに成り立つ。

 

したがって

与式 \(\displaystyle (x^2 + y^2) \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) \geq 4\) は成り立つ。

 

(証明終わり)

 

練習問題④「面積の最大値を求める」

練習問題④

周の長さが \(4\) である長方形の面積の最大値を求めよ。

 

長方形の辺の長さを文字でおいて、周の長さや面積の条件式を立ててみましょう。

解答

 

長方形の辺の長さを \(x\), \(y\) \((x \geq y > 0)\) とおく。

 

周の長さが \(4\) であるから、

\(2x + 2y = 4\) すなわち \(x + y = 2\)

 

また、長方形の面積は \(xy\) である。

 

ここで、相加平均と相乗平均の大小関係より

\(\displaystyle xy \leq \left( \frac{x + y}{2} \right)^2 = \left( \frac{2}{2} \right)^2 = 1\)

 

等号は \(x = y = 1\) のときに成り立つ。

 

よって、求める最大値は \(1\)

 

答え: \(\color{red}{1}\)

以上で解説は終わりです。

 

相加・相乗平均の不等式は、最大値・最小値を求める問題、不等式の証明問題などで切り札になることが多いです。

しっかりと理解を深めておきましょう!

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