この記事では、主要な微分公式の証明を示していきます。
導関数の定義に従った証明方法を一挙に解説するので、ぜひ微分の学習の参考にしてくださいね。
なお、今回紹介する方法とは別の方法でも証明できる公式も多いので、こういう方法でも導出できるんじゃないかな？とぜひ考えてみてください。
目次
【復習】導関数の定義
微分公式の証明には、導関数の定義を利用します。
関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) は
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\end{align}
また、証明途中で不明な部分があれば、その分野を復習しながらしっかりと証明を追っていきましょう。
定数倍の微分公式の証明
定数倍の微分公式の証明です。
\(\alpha\) が定数のとき
\begin{align} (\alpha f(x))’ = \alpha f’(x) \end{align}
\((\alpha f(x))’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\alpha f(x + h) − \alpha f(x)}{h}\)
\(\displaystyle = \alpha \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)
\(= \alpha f’(x)\)
よって、\((\alpha f(x))’ = \alpha f’(x)\) が成り立つ。
（証明終わり）
和と差の微分公式の証明
和と差の微分公式の証明です。
\(\alpha\), \(\beta\) が定数のとき
\begin{align}(f(x) \pm g(x))’ &= f’(x) \pm g’(x)\end{align}
\begin{align}(\alpha f(x) \pm \beta g(x))’ &= \alpha f’(x) \pm \beta g’(x) \end{align}
（見切れる場合は横へスクロール）
\((f(x) \pm g(x))’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x + h) \pm g(x + h)) − (f(x) \pm g(x))}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \) \(\displaystyle \pm \ \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)
\(= f’(x) \pm g’(x)\)
また、
\((\alpha f(x) \pm \beta g(x))’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\alpha f(x + h) \pm \beta g(x + h)) − (\alpha f(x) \pm \beta g(x))}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \alpha \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \) \(\displaystyle \pm \ \lim_{h \to 0} \beta \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)
\(= \alpha f’(x) \pm \beta g’(x)\)
よって、\((\alpha f(x) \pm \beta g(x))’ = \alpha f’(x) \pm \beta g’(x)\) が成り立つ。
（証明終わり）
べき乗の微分公式の証明
次はべき乗の微分公式の証明です。
\(n\) が自然数のとき、
\begin{align} (x^n)’ = nx^{n − 1} \end{align}
※ なお、有理数 \(p\) についても、
\begin{align} (x^p)’ = px^{p − 1} \end{align}
が成り立つ。
\((x^n)’ = nx^{n − 1}\) の証明（自然数の場合）
べき乗の指数部分が自然数 \(n\) の場合の証明には「二項定理」を使います。
二項定理
\((a + b)^n \) \(= {}_nC_0 a^n + {}_nC_1a^{n − 1}b + {}_nC_2a^{n − 2}b^2 \ + \) \( \cdots + {}_nC_r a^{n − r}b^r + \cdots + {}_nC_n h^n\)
（見切れる場合は横へスクロール）
二項定理より
\((x + h)^n\)
\(= {}_nC_0 x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + {}_nC_n h^n\)
\(= x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n\)
よって、
\((x^n)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n − x^n}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n) − x^n}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} ({}_nC_1x^{n − 1} + {}_nC_2 x^{n − 2}h + \cdots + h^{n − 1})\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \{{}_nC_1 x^{n − 1} + h({}_nC_2 x^{n − 2} + \cdots + h^{n − 2})\}\)
\(= {}_nC_1 x^{n − 1}\)
\(= nx^{n − 1}\)
したがって、\((x^n)’ = nx^{n − 1}\) …①
が成り立つ。
（証明終わり）
\((x^p)’ = px^{p − 1}\) の証明（有理数の場合）
べき乗の指数部分が有理数 \(p\) の場合の証明には「逆関数」「指数法則」の知識を使います。
有理数 \(p\) は正の整数 \(n\)、整数 \(m\) を用いて
\(\displaystyle p = \frac{m}{n}\)
と表せ、
\(x^p = x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m\)
とおける。
ここで、\(y = x^{\frac{1}{n}}\) とおくと、
\(x = y^n\)
\(n\) は整数であるから、①のように両辺を \(y\) について微分でき、
\(\displaystyle \frac{dx}{dy} = ny^{n − 1}\) …②
よって
\(\displaystyle (x^p)’\)
\(\displaystyle = \frac{d}{dx} x^p\)
\(\displaystyle = \frac{d}{dx} y^m\)
\(\displaystyle = \frac{d}{dy} y^m \cdot \frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle = \frac{d}{dy} y^m \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) （逆関数の微分）
\(\displaystyle = my^{m − 1} \cdot \frac{1}{ny^{n − 1}}\)（②を代入）
\(\displaystyle = \frac{m}{n} y^{m − n}\)
\(\displaystyle = \frac{m}{n} x^{\frac{m − n}{n}}\)
\(\displaystyle = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} − 1}\)
\(= px^{p − 1}\)
したがって、\((x^p)’ = px^{p − 1}\) が成り立つ。
（証明終わり）
定数の微分公式の証明
定数を微分する公式を証明します。
\(k\) が実数のとき、
\begin{align} (k)’ = 0 \end{align}
\(f(x) = k\) とおくと、
\(f(x + h) = k\) であるから、
\(\begin{align}(k)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{k − k}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\&= 0 \end{align}\)
よって、\((k)’ = 0\) が成り立つ。
（証明終わり）
三角関数の微分の証明
三角関数の微分公式の証明を示します。
- \((\sin x)’ = \cos x\)
- \((\cos x)’ = −\sin x\)
- \(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\)
証明には以下の知識を使います。不安な方は復習しておきましょう。
- 加法定理（\(\sin, \tan\)）
\(\displaystyle \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
\(\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 − \tan \alpha \tan \beta}\) - 三角関数の変換公式 \(\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + \theta\right)\)
\(\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\)
\(\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = −\sin \theta\) - 三角関数の極限
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
\((\sin x)’ = \cos x\) の証明
\((\sin x)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) − \sin x}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) − \sin x}{h}\)
（\(\sin\) の加法定理）
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h − \sin x (1 − \cos h)}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} − \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 − \cos h)}{h}\) …①
ここで
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h}\)
\(\displaystyle = \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}\)
\(= \cos x\) …②
また
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 − \cos h)}{h}\)
\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{1 − \cos^2 h}{h(1 + \cos h)}\)
\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h(1 + \cos h)}\)
\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \cdot \frac{h}{1 + \cos h}\)
\(\displaystyle= \sin x \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot h \cdot \frac{1}{1 + \cos h}\)
\(= \sin x \cdot 0 = 0\) …③
①に②、③を代入して
\((\sin x)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} − \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 − \cos h)}{h}\)
\(= \cos x − 0\)
\(= \cos x\)
よって、\((\sin x)’ = \cos x\) が成り立つ。
（証明終わり）
\((\cos x)’ = −\sin x\) の証明
\(\displaystyle (\cos x)’\)
\(\displaystyle = \left\{ \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right\}’\)（三角関数の変換公式）
\(\displaystyle = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right)\)
\(= −\sin x\)
よって、\((\cos x)’ = −\sin x\) が成り立つ。
（証明終わり）
\(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\) の証明
（見切れる場合は横へスクロール）
\((\tan x)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x + h) − \tan x}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\tan x + \tan h}{1 − \tan x \tan h} − \tan x}{h}\)
（\(\tan\) の加法定理）
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\tan x + \tan h) − \tan x(1 − \tan x \tan h)}{h(1 − \tan x \tan h)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h + \tan^2 x \tan h}{h(1 − \tan x \tan h)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h (1 + \tan^2 x)}{h(1 − \tan x \tan h)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{\cos^2 x \cdot h \cdot (1 − \tan x \tan h)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h} \cdot \frac{1}{\cos^2 x (1 − \tan x \tan h)}\)
ここで
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{\cos h} \cdot \frac{1}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos h}\)
\(= 1\)
また
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 − \tan x \tan h) = 1\)
よって
\((\tan x)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h} \cdot \frac{1}{\cos^2 x (1 − \tan x \tan h)}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{\cos^2 x}\)
したがって、\(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\) が成り立つ。
（証明終わり）
\(\tan x\) の微分は、\(\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) として商の微分公式を使うとより簡単に示せます。
余裕があればぜひ自分の手で導出してみましょう！
指数関数の微分公式の証明
続いて、指数関数の微分公式の証明です。
\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、
- \((e^x)’ = e^x\)
- \((a^x)’ = a^x \log a\)
\(e^x\) を \(x\) で微分しても形が変わらないのは、そもそも \((a^x)’ = a^x\) を満たす数として \(a = e\) が定義されたためです。
証明には「\(e\) の定義」を用いるので、不安な方は復習しておきましょう。
\(\bf{e}\) の定義
\begin{align} e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{x \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{align}
(\(\displaystyle h = \frac{1}{x}\) とおくと、\(h \to +0\) のとき \(x \to +\infty\)、\(h \to −0\) のとき \(x \to −\infty\))
\((e^x)’ = e^x\) の証明
\(\begin{align}(e^x)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} − e^x}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h − e^x}{h} \\&= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h}\end{align}\)
ここで、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e\) より
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h − e^h) = 0\)
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h} = 1\)
したがって
\(\begin{align}(e^x)’ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h} \\&= e^x\end{align}\)
よって、\((e^x)’ = e^x\) が成り立つ。
（証明終わり）
\((a^x)’ = a^x \log a\) の証明
\(\begin{align}(a^x)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x + h} − a^x}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{a^x a^h − a^x}{h} \\&= a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h − 1}{h}\end{align}\)
ここで、\(a^h = (e^{\log a})^h = e^{h \log a}\) より、
\(\displaystyle a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h − 1}{h}\)
\(\displaystyle = a^x \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h}\)
\(\displaystyle = a^x \lim_{h \to 0} \log a \cdot \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a}\)
\(\displaystyle = a^x \log a \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a}\)
ここで、\(h \log a = t\) とおくと
\(h \to 0\) のとき \(t \to 0\) であるから
\(\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} −1}{h\log a} &= \lim_{t \to 0} \frac{e^t − 1}{t} \\&= 1\end{align}\)
よって、
\(\begin{align}(a^x)’ &= a^x \log a \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a} \\&= a^x \log a\end{align}\)
したがって、\((a^x)’ = a^x \log a\) が成り立つ。
（証明終わり）
対数関数の微分公式の証明
次は対数関数 \(\log\) の微分公式の証明です。
\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、
- \(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\)
- \(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\)
- \(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\)
- \(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\)
証明には「\(e\) の定義」「底の変換」の知識を使います。
- \(\bf{e}\) の定義
\begin{align} e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{x \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{align}
(\(\displaystyle h = \frac{1}{x}\) とおくと、\(h \to +0\) のとき \(x \to +\infty\)、\(h \to −0\) のとき \(x \to −\infty\)) - 底の変換
\begin{align} \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{align}
(\(a, b, c\) は \(1\) でない正の数)
\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\) の証明
\((\log x)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\log (x + h) − \log x}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{x + h}{x}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left\{ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} \right\}^{\frac{1}{x}}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{h}{x} = t\) と置くと
\(h \to 0\) のとき \(t \to 0\) であるから
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \left\{ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} \right\}^{\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle = \lim_{t \to 0} \{ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \}^{\frac{1}{x}}\)
\(= e^{\frac{1}{x}}\)
したがって
\((\log x)’ = \log e^{\frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{1}{x}\)
よって、\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\) が成り立つ。
（証明終わり）
\(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\) の証明
\(\begin{align}(\log_a x)’ &= \left( \frac{\log x}{\log a} \right)’ \\&= \frac{(\log x)’}{\log a} \\&= \frac{1}{x \log a}\end{align}\)
よって、\(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\) が成り立つ。
（証明終わり）
\(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\) の証明
(i) \(x > 0\) のとき
\(\displaystyle (\log |x|)’ = (\log x)’ = \frac{1}{x}\)
(ii) \(x < 0\) のとき
\(\displaystyle x + h < 0 \iff 1 + \frac{h}{x} > 0\) としてよく、
\((\log |x|)’\)
\(= (\log (−x))’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\log (−(x + h)) − \log (−x)}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{−(x + h)}{−x}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{x}\)
(i), (ii) より、
\(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\)
が成り立つ。
（証明終わり）
\(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\) の証明
\(\begin{align}(\log_a |x|)’ &= \left( \frac{\log |x|}{\log a} \right)’ \\&= \frac{(\log |x|)’}{\log a} \\&= \frac{1}{x \log a}\end{align}\)
よって、\(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\) が成り立つ。
（証明終わり）
積の微分公式の証明
積の微分公式の証明です。
\begin{align} (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) \end{align}
式変形を工夫すると、\(f’(x)\), \(g’(x)\) を作ることができます。
（見切れる場合は横へスクロール）
\((f(x)g(x))’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x) + f(x + h)g(x) − f(x + h)g(x)}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x + h) − f(x)) + f(x + h)(g(x + h) − g(x))}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} g(x) \cdot \frac{f(x + h) − f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} f(x + h) \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)
\(= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\)
よって、\((f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\) が成り立つ。
（証明終わり）
商の微分公式の証明
次は商の微分公式の証明です。
\begin{align} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align}
特に \(f(x) = 1\) のとき
\begin{align} \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align}
複雑で覚えにくい公式ですが、証明を通して暗記に役立てましょう。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x + h)}{g(x + h)} − \frac{f(x)}{g(x)}}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) − f(x)g(x + h)}{h g(x + h)g(x)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) − f(x)g(x + h) + f(x)g(x) − f(x)g(x)}{h g(x + h)g(x)}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ g(x) \frac{f(x + h) − f(x)}{h} − f(x) \frac{g(x + h) − g(x)}{h} \right\} \frac{1}{g(x + h)g(x)}\)
\(\displaystyle = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)
よって、\(\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\) が成り立つ。
また、\(f(x) = 1\) のとき
\(f’(x) = 0\) より
\(\displaystyle \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ \) \(\displaystyle = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)
（証明終わり）
合成関数の微分公式の証明
最後は、合成関数の微分公式の証明です。
\(y\) が \(u\) の関数で、\(u\) が \(x\) の関数であるとき、\(y\) を \(x\) について微分すると
\begin{align} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{align}
\(y = f(u)\), \(u = g(x)\) とおくと
\begin{align} \{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x) \end{align}
(全体の微分) \(=\) (外側の微分) \(\times\) (中身の微分) です。
この証明も少し特別な変形に注目しながら見ていきましょう。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(\{f(g(x))\}’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)} \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)
ここで \(g(x + h) − g(x) = k\) とすると、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) であり、さらに \(g(x) = u\) として
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)}\)
\(\displaystyle = \lim_{k \to 0} \frac{f(u + k) − f(u)}{k}\)
\(= f’(u)\)
\(= f’(g(x))\)
よって
\(\{f(g(x))\}’\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)} \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)
\(\displaystyle = f’(g(x)) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) −g(x)}{h}\)
\(= f’(g(x))g’(x)\)
したがって、\(\{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x)\) が成り立つ。
（証明終わり）
微分公式の証明は以上です！
複数の微分公式を組み合わせて解く問題も多いので、使いこなすにはそれぞれの公式への深い理解が必要です。
証明を確認することで、微分公式への理解を深めてくださいね！