微分公式の証明一覧!導関数の定義どおりの導出を解説

この記事では、主要な微分公式の証明を示していきます。

導関数の定義に従った証明方法を一挙に解説するので、ぜひ微分の学習の参考にしてくださいね。

補足

なお、今回紹介する方法とは別の方法でも証明できる公式も多いので、こういう方法でも導出できるんじゃないかな?とぜひ考えてみてください。

 

【復習】導関数の定義

微分公式の証明には、導関数の定義を利用します。

導関数の定義

関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) は

\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\end{align}

また、証明途中で不明な部分があれば、その分野を復習しながらしっかりと証明を追っていきましょう。

 

定数倍の微分公式の証明

定数倍の微分公式の証明です。

定数倍の微分公式

\(\alpha\) が定数のとき

\begin{align} (\alpha f(x))’ = \alpha f’(x) \end{align}

 

証明

 

\((\alpha f(x))’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\alpha f(x + h) − \alpha f(x)}{h}\)

\(\displaystyle = \alpha \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)

\(= \alpha f’(x)\)

 

よって、\((\alpha f(x))’ = \alpha f’(x)\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

和と差の微分公式の証明

和と差の微分公式の証明です。

和と差の微分公式

\(\alpha\), \(\beta\) が定数のとき

\begin{align}(f(x) \pm g(x))’ &= f’(x) \pm g’(x)\end{align}

\begin{align}(\alpha f(x) \pm \beta g(x))’ &= \alpha f’(x) \pm \beta g’(x) \end{align}

 

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\((f(x) \pm g(x))’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x + h) \pm g(x + h)) − (f(x) \pm g(x))}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \) \(\displaystyle \pm \ \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)

\(= f’(x) \pm g’(x)\)

 

また、

\((\alpha f(x) \pm \beta g(x))’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\alpha f(x + h) \pm \beta g(x + h)) − (\alpha f(x) \pm \beta g(x))}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \alpha \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \) \(\displaystyle \pm \ \lim_{h \to 0} \beta \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)

\(= \alpha f’(x) \pm \beta g’(x)\)

 

よって、\((\alpha f(x) \pm \beta g(x))’ = \alpha f’(x) \pm \beta g’(x)\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

べき乗の微分公式の証明

次はべき乗の微分公式の証明です。

べき乗の微分公式

\(n\) が自然数のとき、

\begin{align} (x^n)’ = nx^{n − 1} \end{align}

 

※ なお、有理数 \(p\) についても、

\begin{align} (x^p)’ = px^{p − 1} \end{align}

が成り立つ。

 

\((x^n)’ = nx^{n − 1}\) の証明(自然数の場合)

べき乗の指数部分が自然数 \(n\) の場合の証明には「二項定理」を使います。

二項定理

\((a + b)^n \) \(= {}_nC_0 a^n + {}_nC_1a^{n − 1}b + {}_nC_2a^{n − 2}b^2 \ + \) \( \cdots + {}_nC_r a^{n − r}b^r + \cdots + {}_nC_n h^n\)

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

二項定理より

\((x + h)^n\)

\(= {}_nC_0 x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + {}_nC_n h^n\)

\(= x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n\)

 

よって、

\((x^n)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n − x^n}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x^n + {}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2 x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n) − x^n}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{}_nC_1 x^{n − 1}h + {}_nC_2x^{n − 2}h^2 + \cdots + h^n}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} ({}_nC_1x^{n − 1} + {}_nC_2 x^{n − 2}h + \cdots + h^{n − 1})\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \{{}_nC_1 x^{n − 1} + h({}_nC_2 x^{n − 2} + \cdots + h^{n − 2})\}\)

\(= {}_nC_1 x^{n − 1}\)

\(= nx^{n − 1}\)

 

したがって、\((x^n)’ = nx^{n − 1}\) …①

が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\((x^p)’ = px^{p − 1}\) の証明(有理数の場合)

べき乗の指数部分が有理数 \(p\) の場合の証明には「逆関数」「指数法則」の知識を使います。

証明

 

有理数 \(p\) は正の整数 \(n\)、整数 \(m\) を用いて

\(\displaystyle p = \frac{m}{n}\)

と表せ、

\(x^p = x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m\)

とおける。

 

ここで、\(y = x^{\frac{1}{n}}\) とおくと、

\(x = y^n\)

\(n\) は整数であるから、①のように両辺を \(y\) について微分でき、

\(\displaystyle \frac{dx}{dy} = ny^{n − 1}\) …②

 

よって

\(\displaystyle (x^p)’\)

\(\displaystyle = \frac{d}{dx} x^p\)

\(\displaystyle = \frac{d}{dx} y^m\)

\(\displaystyle = \frac{d}{dy} y^m \cdot \frac{dy}{dx}\)

\(\displaystyle = \frac{d}{dy} y^m \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) (逆関数の微分)

\(\displaystyle = my^{m − 1} \cdot \frac{1}{ny^{n − 1}}\)(②を代入)

\(\displaystyle = \frac{m}{n} y^{m − n}\)

\(\displaystyle = \frac{m}{n} x^{\frac{m − n}{n}}\)

\(\displaystyle = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} − 1}\)

\(= px^{p − 1}\)

 

したがって、\((x^p)’ = px^{p − 1}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

定数の微分公式の証明

定数を微分する公式を証明します。

定数の微分公式

\(k\) が実数のとき、

\begin{align} (k)’ = 0 \end{align}

 

証明

 

\(f(x) = k\) とおくと、

\(f(x + h) = k\) であるから、

 

\(\begin{align}(k)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{k − k}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\&= 0 \end{align}\)

 

よって、\((k)’ = 0\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

三角関数の微分の証明

三角関数の微分公式の証明を示します。

三角関数の微分公式
  • \((\sin x)’ = \cos x\)
  • \((\cos x)’ = −\sin x\)
  • \(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\)

証明には以下の知識を使います。不安な方は復習しておきましょう。

  • 加法定理(\(\sin, \tan\))
    \(\displaystyle \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
    \(\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 − \tan \alpha \tan \beta}\)
  • 三角関数の変換公式 \(\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + \theta\right)\)
    \(\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\)
    \(\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = −\sin \theta\)
  • 三角関数の極限
    \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

 

\((\sin x)’ = \cos x\) の証明

証明

 

\((\sin x)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) − \sin x}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) − \sin x}{h}\)

 (\(\sin\) の加法定理)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h − \sin x (1 −  \cos h)}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} − \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 −  \cos h)}{h}\) …①

 

ここで

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h}\)

\(\displaystyle = \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}\)

\(= \cos x\) …②

 

また

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 − \cos h)}{h}\)

\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{1 − \cos^2 h}{h(1 + \cos h)}\)

\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h(1 + \cos h)}\)

\(\displaystyle = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \cdot \frac{h}{1 + \cos h}\)

\(\displaystyle= \sin x \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right)^2 \cdot h \cdot \frac{1}{1 + \cos h}\)

\(= \sin x \cdot 0 = 0\) …③

 

①に②、③を代入して

\((\sin x)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} − \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (1 − \cos h)}{h}\)

\(= \cos x − 0\)

\(= \cos x\)

 

よって、\((\sin x)’ = \cos x\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\((\cos x)’ = −\sin x\) の証明

証明

 

\(\displaystyle (\cos x)’\)

\(\displaystyle = \left\{ \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right\}’\)(三角関数の変換公式)

\(\displaystyle = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right)\)

\(= −\sin x\)

 

よって、\((\cos x)’ = −\sin x\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\) の証明

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\((\tan x)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x + h) − \tan x}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\tan x + \tan h}{1 − \tan x \tan h} − \tan x}{h}\)

 (\(\tan\) の加法定理)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\tan x + \tan h) − \tan x(1 − \tan x \tan h)}{h(1 − \tan x \tan h)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h + \tan^2 x \tan h}{h(1 − \tan x \tan h)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h (1 + \tan^2 x)}{h(1 − \tan x \tan h)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{\cos^2 x \cdot h \cdot (1 − \tan x \tan h)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h} \cdot \frac{1}{\cos^2 x (1 − \tan x \tan h)}\)

 

ここで

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{\cos h} \cdot \frac{1}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos h}\)

\(= 1\)

 

また

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 − \tan x \tan h) = 1\)

 

よって

\((\tan x)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h} \cdot \frac{1}{\cos^2 x (1 − \tan x \tan h)}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{\cos^2 x}\)

 

したがって、\(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

補足

\(\tan x\) の微分は、\(\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) として商の微分公式を使うとより簡単に示せます。

余裕があればぜひ自分の手で導出してみましょう!

 

指数関数の微分公式の証明

続いて、指数関数の微分公式の証明です。

指数関数の微分公式

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

  • \((e^x)’ = e^x\)
  • \((a^x)’ = a^x \log a\)

\(e^x\) を \(x\) で微分しても形が変わらないのは、そもそも \((a^x)’ = a^x\) を満たす数として \(a = e\) が定義されたためです。

証明には「\(e\) の定義」を用いるので、不安な方は復習しておきましょう。

\(\bf{e}\) の定義

\begin{align} e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{x \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{align}

(\(\displaystyle h = \frac{1}{x}\) とおくと、\(h \to +0\) のとき \(x \to +\infty\)、\(h \to −0\) のとき \(x \to −\infty\))

 

\((e^x)’ = e^x\) の証明

証明

 

\(\begin{align}(e^x)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} − e^x}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h − e^x}{h} \\&= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h}\end{align}\)

 

ここで、

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e\) より

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h − e^h) = 0\)

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h} = 1\)

 

したがって

\(\begin{align}(e^x)’ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h − 1}{h} \\&= e^x\end{align}\)

 

よって、\((e^x)’ = e^x\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\((a^x)’ = a^x \log a\) の証明

証明

 

\(\begin{align}(a^x)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x + h} − a^x}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{a^x a^h − a^x}{h} \\&= a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h − 1}{h}\end{align}\)

 

ここで、\(a^h = (e^{\log a})^h = e^{h \log a}\) より、

\(\displaystyle a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h − 1}{h}\)

\(\displaystyle = a^x \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h}\)

\(\displaystyle = a^x \lim_{h \to 0} \log a \cdot \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a}\)

\(\displaystyle = a^x \log a \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a}\)

 

ここで、\(h \log a = t\) とおくと

\(h \to 0\) のとき \(t \to 0\)  であるから

\(\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} −1}{h\log a} &= \lim_{t \to 0} \frac{e^t − 1}{t} \\&= 1\end{align}\)

 

よって、

\(\begin{align}(a^x)’ &= a^x \log a \lim_{h \to 0} \frac{e^{h \log a} − 1}{h\log a} \\&= a^x \log a\end{align}\)

 

したがって、\((a^x)’ = a^x \log a\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

対数関数の微分公式の証明

次は対数関数 \(\log\) の微分公式の証明です。

対数関数の微分公式

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

  • \(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\)
  • \(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\)
  • \(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\)
  • \(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\)

 

証明には「\(e\) の定義」「底の変換」の知識を使います。

  • \(\bf{e}\) の定義
    \begin{align} e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{x \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{align}
    (\(\displaystyle h = \frac{1}{x}\) とおくと、\(h \to +0\) のとき \(x \to +\infty\)、\(h \to −0\) のとき \(x \to −\infty\))
  • 底の変換
    \begin{align} \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{align}
    (\(a, b, c\) は \(1\) でない正の数)

 

\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\) の証明

証明

 

\((\log x)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\log (x + h) − \log x}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{x + h}{x}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left\{ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} \right\}^{\frac{1}{x}}\)

 

ここで、\(\displaystyle \frac{h}{x} = t\) と置くと

\(h \to 0\) のとき \(t \to 0\) であるから

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \left\{ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} \right\}^{\frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle = \lim_{t \to 0} \{ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \}^{\frac{1}{x}}\)

\(= e^{\frac{1}{x}}\)

 

したがって

\((\log x)’ = \log e^{\frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{1}{x}\)

 

よって、\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\) の証明

証明

 

\(\begin{align}(\log_a x)’ &= \left( \frac{\log x}{\log a} \right)’ \\&= \frac{(\log x)’}{\log a} \\&= \frac{1}{x \log a}\end{align}\)

 

よって、\(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\) の証明

証明

 

(i) \(x > 0\) のとき

\(\displaystyle (\log |x|)’ = (\log x)’ = \frac{1}{x}\)

 

(ii) \(x < 0\) のとき

\(\displaystyle x + h < 0 \iff 1 + \frac{h}{x} > 0\) としてよく、

\((\log |x|)’\)

\(= (\log (−x))’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\log (−(x + h)) − \log (−x)}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{−(x + h)}{−x}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{x}\)

 

(i), (ii) より、

\(\displaystyle (\log|x|)’ = \frac{1}{x}\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

\(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\) の証明

証明

 

\(\begin{align}(\log_a |x|)’ &= \left( \frac{\log |x|}{\log a} \right)’ \\&= \frac{(\log |x|)’}{\log a} \\&= \frac{1}{x \log a}\end{align}\)

 

よって、\(\displaystyle (\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

積の微分公式の証明

積の微分公式の証明です。

積の微分公式

\begin{align} (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) \end{align}

 

式変形を工夫すると、\(f’(x)\), \(g’(x)\) を作ることができます。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\((f(x)g(x))’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x) + f(x + h)g(x) − f(x + h)g(x)}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x + h) − f(x)) + f(x + h)(g(x + h) − g(x))}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} g(x) \cdot \frac{f(x + h) − f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} f(x + h) \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)

\(= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\)

 

よって、\((f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

商の微分公式の証明

次は商の微分公式の証明です。

商の微分公式

\begin{align} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align}

 

特に \(f(x) = 1\) のとき

\begin{align} \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align}

 

複雑で覚えにくい公式ですが、証明を通して暗記に役立てましょう。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x + h)}{g(x + h)} − \frac{f(x)}{g(x)}}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) − f(x)g(x + h)}{h g(x + h)g(x)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) − f(x)g(x + h) + f(x)g(x) − f(x)g(x)}{h g(x + h)g(x)}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ g(x) \frac{f(x + h) − f(x)}{h} − f(x) \frac{g(x + h) − g(x)}{h} \right\} \frac{1}{g(x + h)g(x)}\)

\(\displaystyle = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)

 

よって、\(\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\) が成り立つ。

 

また、\(f(x) = 1\) のとき

\(f’(x) = 0\) より

\(\displaystyle \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ \) \(\displaystyle = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)

 

(証明終わり)

 

合成関数の微分公式の証明

最後は、合成関数の微分公式の証明です。

合成関数の微分公式

\(y\) が \(u\) の関数で、\(u\) が \(x\) の関数であるとき、\(y\) を \(x\) について微分すると

\begin{align} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{align}

 

\(y = f(u)\), \(u = g(x)\) とおくと

\begin{align} \{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x) \end{align}

 

(全体の微分) \(=\) (外側の微分) \(\times\) (中身の微分) です。

この証明も少し特別な変形に注目しながら見ていきましょう。

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\{f(g(x))\}’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{h}\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)} \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)

 

ここで \(g(x + h) − g(x) = k\) とすると、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) であり、さらに \(g(x) = u\) として

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)}\)

\(\displaystyle = \lim_{k \to 0} \frac{f(u + k) − f(u)}{k}\)

\(= f’(u)\)

\(= f’(g(x))\)

 

よって

\(\{f(g(x))\}’\)

\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{g(x + h) − g(x)} \cdot \frac{g(x + h) − g(x)}{h}\)

\(\displaystyle = f’(g(x)) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) −g(x)}{h}\)

\(= f’(g(x))g’(x)\)

 

したがって、\(\{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x)\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

微分公式の証明は以上です!

 

複数の微分公式を組み合わせて解く問題も多いので、使いこなすにはそれぞれの公式への深い理解が必要です。

証明を確認することで、微分公式への理解を深めてくださいね!

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