常用対数とは?常用対数表の見方や計算、桁数・最高位の求め方

この記事では、「常用対数」とは何かをわかりやすく解説していきます。

常用対数表の見方や使い方、最高位・桁数の計算方法なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

常用対数とは?

常用対数とは、\(10\) を底とする対数 \(\log_{10} N\) のことです。

常用対数

正の数 \(N\) は \(a \times 10^n\)(\(1 \leq a < 10\), \(n\) は整数)で表され、

\begin{align}\color{red}{\log_{10} N = \log_{10} a + n、 \ 0 \leq \log_{10} a < 1}\end{align}

 

なお、式変形の過程は以下のとおり。

\begin{align}\log_{10} N &= \log_{10} (a \times 10^n)\\&= \log_{10} a + \log_{10} 10^n \\&= \log_{10} a + n \cdot \log_{10} 10 \\&= \log_{10} a + n \cdot 1 \\&= \log_{10} a + n\end{align}

つまり、「\(10\) を何乗したら \(N\) になるか?」を表す数です。

(例)

\(\log_{10}100 = \log_{10}10^2 = 2\)
(\(10\) を \(2\) 乗したら \(100\))

 

\(\begin{align}\displaystyle \log_{10} \frac{1}{10000} &= \log_{10} \frac{1}{10^4} \\&= \log_{10} 10^{−4} \\&= −4\end{align}\)
(\(10\) を \(−4\) 乗したら \(\displaystyle \frac{1}{10000}\))

 

\(\begin{align}\log_{10}7310 &= \log_{10}(7.31 \times 10^3) \\&= \log_{10}7.31 + \log_{10}10^3 \\&= 0.8639 + 3 \\&= 3.8639\end{align}\)
(\(10\) を約 \(3.8639\) 乗したら \(7310\))

 

常用対数の式変形の過程では、対数の性質を利用します。忘れている人は先に復習しておきましょう!

対数の性質

  • \(\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N\)
  • \(\displaystyle \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M − \log_{a} N\)
  • \(\log_{a} M^k = k \log_{a} M\)

(ただし、\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\), \(N > 0\)、\(k\) は実数)

 

常用対数表とは?

教科書の巻末にある常用対数表について解説します。

常用対数表には、\(1.00 \leq a < 9.99\)(\(a\) は \(0.01\) 刻み)の範囲における \(\log_{10} a\) の値を小数第 \(5\) 位で四捨五入した値が示してあります(数字が見えない場合は拡大して見てください)。

任意の正の数 \(N\) は、必ず「\(N = a \times 10^n\)(\(1 \leq a < 10\), \(n\) は整数)」の形、常用対数でいえば「\(\log_{10} N = \underline{\log_{10} a} + n\)」の形で表せます。

つまり、常用対数表から \(\underline{\log_{10} a}\) の値を見つけ出せば、いかなる正の数 \(N\) であってもその常用対数が求められます。

 

常用対数表の見方

常用対数表の見方を説明します。

\(\log_{10} a\) の真数 \(a\) を「一の位と小数第 \(1\) 位」と「小数第 \(2\) 位」に分けて、直交表のように見て値を探します。

例えば、\(\log_{10} 1.43\) を求めたい場合、「\(1.4\)」の行と「\(3\)」の列が交わるセルの値 \(0.1553\) が答えです。

 

常用対数表を使った常用対数の求め方

例題を通して、実際に常用対数表から常用対数の値を求める手順を説明します。

例題

\(2850\) の常用対数を常用対数表を用いて求めよ。

 

STEP.1
真数を a × 10n に変形する

まずは真数(問題の数字)を \(a \times 10^n\) の形に変形します。

このとき、\(a\) が \(1 \leq a < 10\) の範囲になるようにします。

\(2850 = 2.85 \times 10^3\)

 

STEP.2
常用対数をとる

常用対数をとり、\(\log_{10} N = \log_{10} a + n\) の形に変形します。

\(2850 = 2.85 \times 10^3\) の常用対数をとると、

\(\begin{align}\log_{10} 2850 &= \log_{10}(2.85 \times 10^3)\\&= \log_{10} 2.85 + 3\end{align}\)

 

STEP.3
常用対数表から log10 a を探す

常用対数表から \(\log_{10} a\) の値を見つけます。

今回は \(\log_{10} 2.85\) が知りたいので、「\(2.8\)」の行、「\(5\)」の列の値を取り出します。

常用対数表より、

\(\log_{10} 2.85 = 0.4548\)

 

STEP.4
目的の常用対数を求める

\(\log_{10} N = \log_{10} a + n\) より、表から探した \(\log_{10} a\) と \(n\) の和を求めれば、目的の常用対数の値が得られます。

したがって、

\(\begin{align} \log_{10} 2850 &= \log_{10} 2.85 + 3 \\&= 0.4548 + 3 \\ &= \color{red}{3.4548} \end{align}\)

完了

常用対数表を読み取る問題はあまり出題されませんが、いざというときに対応できるようにしましょう!

 

常用対数の計算問題

それでは、常用対数の計算問題を解いてみましょう。

計算問題①「\(\log_{10} \sqrt{72}\)、\(\log_{10} 0.45\) の値」

計算問題①

次の値を求めよ。ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

(1) \(\log_{10} \sqrt{72}\)

(2) \(\log_{10} 0.45\)

 

\(\log_{10} 2\), \(\log_{10} 3\) の値が与えられているので、問題の真数部分を \(2\) や \(3\) のべき乗の積で表してみましょう。

解答

 

(1)

\(\log_{10} \sqrt{72}\)

\(= \log_{10} (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (\log_{10} 2^3 + \log_{10} 3^2)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (3\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (3 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (0.9030 + 0.9542)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 1.8572\)

\(= 0.9286\)

 

答え: \(\color{red}{0.9286}\)

 

 

(2)

\(\log_{10} 0.45\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{45}{100}\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{3^2 \cdot 5}{100}\)

\(= \log_{10} (3^2 \cdot 5) − \log_{10} 100\)

\(= \log_{10} 3^2 + \log_{10} 5 − \log_{10} 10^2\)

\(\displaystyle = 2\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2} − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 + (\log_{10} 10 − \log_{10} 2) − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 + (1 − \log_{10} 2) − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 − \log_{10} 2 − 1\)

\(= 2 \cdot 0.4771 − 0.3010 − 1\)

\(= 0.9542 − 0.3010 − 1\)

\(= −0.3468\)

 

答え: \(\color{red}{−0.3468}\)

 

計算問題②「\(\log_{10} 0.000514\) の値(常用対数表を利用)」

計算問題②

常用対数表を用いて \(\log_{10} 0.000514\) の値を求めよ。

 

常用対数表から求める場合は、問題の真数部分を \(a \times 10^n\)(\(1 \leq a < 10\), \(n\) は整数)の形で表せばよいですね。

解答

 

\(\begin{align} \log_{10} 0.000514 &= \log_{10} (5.14 \times 10^{−4}) \\ &= \log_{10} 5.14 − 4 \end{align}\)

 

常用対数表より、

\(\log_{10} 5.14 = 0.7110\) であるから

\(\begin{align} \log_{10} 0.000514 &= 0.7110 − 4 \\ &= −3.289 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−3.289}\)

 

常用対数と桁数・小数首位【公式】

常用対数は、\(10\) のべき乗と密接に関係しています。

私たちは普段十進法で数を数えますから、「\(10\) の何乗か」がわかることで桁数小数首位を把握できます。

常用対数と桁数・小数首位の公式

\(N\) は正の数、\(k\) は正の整数とすると、

  • \(N\) の整数部分が \(k\) 桁であるとき
    \(10^{k−1} \leq N < 10^k\) \(\iff k−1 \leq \log_{10} N < k\)
  • \(N\) の小数第 \(k\) 位に初めて \(0\) でない数字が現れるとき
    \(10^{−k} \leq N < 10^{−k+1}\) \(\iff −k \leq \log_{10} N < −k+1\)

補足

小数首位とは、初めて \(0\) でない数字が現れる桁数(小数第◯位)のことです。

(例)\(0.0038\) の小数首位は小数第 \(3\) 位

上記の公式における不等式の等号の位置、\(k\) の位置は混乱しやすいので、具体的な例で確認して頭に定着させましょう。

(例)

  • \(3\) 桁の正の数 \(A\)
    \(\iff 100 \leq A < 1000\)
    \(\iff 10^2 \leq A < 10^3\)
    \(\iff 2 \leq \log_{10}A < 3\)
  • 小数第 \(4\) 位が小数首位の正の数 \(B\)
    \(\iff 0.0001 \leq B < 0.001\)
    \(\iff 10^{−4} \leq B < 10^{−3}\)
    \(\iff −4 \leq \log_{10} B < −3\)

 

常用対数と最高位・小数首位の数字【公式】

ある正の数の常用対数をとり、それを整数部分と小数部分に分けると、最高位の数字小数首位の数字がわかります。

常用対数と最高位・小数首位の数字の公式

正の数 \(N\) の常用対数をとり、

\(\log_{10} N = n + \alpha\)(\(n\) は整数、\(0 \leq \alpha < 1\))

とおく。

 

\(\log_{10} A \leq \alpha < \log_{10} (A + 1)\)(\(A\) は整数)と表せるとき、

\begin{align}& \color{red}{A \leq 10^{\alpha} < A + 1} \\&\iff A \cdot 10^n \leq 10^{\alpha} \cdot 10^n < (A + 1) \cdot 10^n \\&\iff A \cdot 10^n \leq 10^{n + \alpha} < (A + 1) \cdot 10^n \\&\iff A \cdot 10^n \leq N < (A + 1) \cdot 10^n \\& \color{red}{\iff N \text{の最高位の数字は} A} \end{align}

常用対数の整数部分はあくまでも桁数にしか影響せず、小数部分が具体的な数字の配列に影響するのですね。

具体的な問題の解き方は、次の応用問題で解説します!

 

常用対数の応用問題

常用対数の応用問題に挑戦しましょう。

応用問題①「\(3^{23}\) の桁数と最高位の数字」

応用問題①

\(3^{23}\) の桁数および最高位の数字を求めよ。ただし、\(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

 

常用対数をとれば桁数を求められるのでしたね。

また、常用対数の小数部分に注目して最高位の数字も求めましょう。

解答

 

\(3^{23}\) の常用対数をとって

\(\begin{align} \log_{10} 3^{23} &= 23\log_{10} 3 \\ &= 23 \cdot 0.4771 \\ &= 10.9733 \end{align}\)

 

よって

\(3^{23} = 10^{10.9733}\)

であるから

\(10^{10} < 3^{23} < 10^{11}\)

したがって \(3^{23}\) の桁数は \(11\) 桁

 

また、

\(10^{10.9733} = 10^{10} \cdot 10^{0.9733}\) …①

 

ここで、

\(\log_{10} 9 = 2\log_{10} 3 = 0.9542\)、\(\log_{10} 10 = 1\)

より

\(\log_{10} 9 < 0.9733 < \log_{10} 10\)

すなわち

\(9 < 10^{0.9733} < 10\)

各辺に \(10^{10}\) をかけると、①より

\(9 \cdot 10^{10} < 10^{10.9733} < 10 \cdot 10^{10}\)

よって \(9 \cdot 10^{10} < 3^{23} < 10 \cdot 10^{10}\)

 

したがって、最高位の数字は \(9\)

 

答え: 桁数 \(\color{red}{11}\) 桁、最高位の数字 \(\color{red}{9}\)

 

応用問題②「初めて 0 でない数字が現れるのは小数第何位?」

応用問題②

\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100}\) を小数で表すと、小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるか。また、その数字を求めよ。

ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

 

小数の場合も求め方は同じです。

ただし、不等式と桁数の関係に注意しましょう。

解答

 

\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100}\) の常用対数をとって

\(\begin{align} \log_{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{100} &= 100\log_{10} \frac{2}{3} \\ &= 100(\log_{10} 2 − \log_{10} 3) \\ &= 100(0.3010 − 0.4771) \\ &= −17.61 \end{align}\)

 

よって \(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100} = 10^{−17.61}\)

であるから

\(\displaystyle 10^{−18} < \left( \frac{2}{3} \right)^{100} < 10^{−17}\)

したがって小数第 \(18\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。

 

また、

\(10^{−17.61} = 10^{−18} \cdot 10^{0.39}\) …①

 

ここで、

\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\)

より

\(\log_{10} 2 < 0.39 < \log_{10} 3\)

すなわち

\(2 < 10^{0.39} < 3\)

各辺に \(10^{−18}\) をかけると、①より

\(2 \cdot 10^{−18} < 10^{−17.61} < 3 \cdot 10^{−18}\)

よって \(\displaystyle 2 \cdot 10^{−18} < \left( \frac{2}{3} \right)^{100} < 3 \cdot 10^{−18}\)

 

したがって、初めて現れる \(0\) でない数字は \(2\)

 

答え: 小数第 \(\color{red}{18}\) 位、初めて現れる \(\color{red}{0}\) でない数字 \(\color{red}{2}\)

 

応用問題③「金利計算(複利)の文章題」

応用問題③

預金の年利(複利)が \(0.8 \ \text{%}\) であるとき、預金が初めて元金の \(1.5\) 倍以上になるのは何年後か。

ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\)、\(\log_{10} 3 = 0.4771\)、\(\log_{10} 7 = 0.8451\) とする。

 

常用対数は、金利計算にも活用できます。

問題で与えられた常用対数の値を利用できるように、うまく式変形しましょう。

補足

複利とは、\(1\) 年ごとに利息を元金に繰り入れる方式のことで、利息分にもまた利息がつきます。

年利(複利)\(\alpha\)、元金 \(A\) の \(n\) 年後の預金は \(A(1 + \alpha)^n\) と計算できます。

解答

 

元金を \(x\) 円とすると、\(n\) 年後の預金は

\((1 + 0.008)^n x = 1.008^n x\)

\(n\) 年後の預金が元金の \(1.5\) 倍以上になるとき、

\(1.008^n x \geq 1.5x\)

 

したがって、\(1.008^n \geq 1.5\) を満たす最小の自然数 \(n\) を求めればよい。

両辺の常用対数をとると

\(n \log_{10} 1.008 \geq \log_{10} 1.5\)

 

ここで、

\(\log_{10} 1.008\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{1008}{1000}\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7}{10^3}\)

\(= \log_{10} 2^4 + \log_{10} 3^2 + \log_{10} 7 − \log_{10} 10^3\)

\(= 4\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 + \log_{10} 7 − 3\)

\(= 1.204 + 0.9542 + 0.8451 − 3\)

\(= 0.0033\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\begin{align} \log_{10}1.5 &= \log_{10} \frac{3}{2} \\ &= \log_{10} 3 − \log_{10} 2 \\ &= 0.4771 − 0.3010 \\ &= 0.1761 \end{align}\)

であるから、

 

\(0.0033n \geq 0.1761\)

\(n \geq 53.36\cdots\)

 

よって、\(54\) 年後に元金の \(1.5\) 倍以上となる。

 

答え: \(\color{red}{54}\) 年後

以上で応用問題も終わりです。

 

常用対数は十進数と相性がよく、工学・実験科学・経済学などの実学でよく使われます。

常用対数の特徴や使い方をつかんで、ぜひマスターしてくださいね!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です