常用対数とは?常用対数表の見方や計算、最高位・桁数の求め方

この記事では、「常用対数」とは何かをわかりやすく解説していきます。

常用対数表の見方や使い方、最高位・桁数の計算方法なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

常用対数とは?

常用対数とは、\(10\) を底とする対数 \(\log_{10} N\) のことです。

つまり、「\(10\) を何乗したら \(N\) になるか?」を表す数です。

(例)

  • \(\log_{10}100 = 2\)
    (\(10\) を \(2\) 乗したら \(100\))
  • \(\log_{10}1000 = 3\)
    (\(10\) を \(3\) 乗したら \(1000\))
  • \(\displaystyle \log_{10} \frac{1}{10000} = \log_{10} \frac{1}{10^4} = −4\)
    (\(10\) を \(−4\) 乗したら \(\displaystyle \frac{1}{10000}\))

 

常用対数の式変形には、「対数の性質」を利用します。

忘れている人は先に復習しておきましょう!

対数の性質

  • \(\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N\)
  • \(\displaystyle \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M − \log_{a} N\)
  • \(\log_{a} M^k = k \log_{a} M\)

(ただし、\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\), \(N > 0\)、\(k\) は実数)

 

指数と対数の関係とは?変換公式やグラフの比較、計算問題

 

常用対数表の見方

ここでは、教科書の巻末に必ずついている常用対数表の見方と使い方を解説します。

 

任意の正の数 \(N\) は、必ず「\(\color{red}{N = x \times 10^n}\)(\(1 \leq x < 10\), \(n\) は整数)」の形で表せます。

常用対数でいえば「\(\color{red}{\log_{10} N = \log_{10} x + n}\)」と表せます。

\(\begin{align}\log_{10} N &= \log_{10} (x \times 10^n)\\&= \log_{10} x + \log_{10} 10^n\\&= \log_{10} x + n\end{align}\)

そこで、\(1 \leq x < 10\) のときの \(\log_{10} x\) の値をあらかじめ求めておいたものが「常用対数表」です。

具体的には、\(1.00 \leq x < 9.99\) (\(x\) は \(0.01\) 刻み) の \(\log_{10} x\) の値を小数第 \(5\) 位で四捨五入した値が示してあります。

実際の常用対数表がこちらです(数字が見えない場合は拡大して見てください)。

 

常用対数表の見方には、少し慣れが必要です。

真数 \(x\) の小数第 \(1\) 位までと小数第 \(2\) 位を分けて、直行表のように見て値を探します

 

例題「常用対数表を用いて値を求める」

例題で実際に常用対数の値を求めてみましょう。

例題

\(2850\) の常用対数を常用対数表を用いて求めよ。

 

まずは問題の数字を「\(x \times 10^n\)」の形に変形し、常用対数をとりましょう。

\(2850 = 2.85 \times 10^3\) の常用対数をとると、

\(\begin{align}\log_{10} 2850 &= \log_{10}(2.85 \times 10^3)\\&= \log_{10} 2.85 + 3\end{align}\)

あとは、常用対数表から必要な値を見つけます。

\(\log_{10} 2.85\) が知りたいので、「\(2.8\)」の行、「\(5\)」の列の値を取り出します。

常用対数表より、

\(\log_{10} 2.85 = 0.4548\)

したがって、

\(\begin{align} \log_{10} 2850 &= 0.4548 + 3 \\ &= \color{red}{3.4548} \end{align}\)

常用対数表を読み取る問題はあまり出題されませんが、いざというときに対応できるようにしましょう!

 

常用対数と桁数【公式】

常用対数は、\(10\) のべき乗と密接に関係しています。

私たちは普段十進法で数を数えますから、「\(10\) の何乗か」がわかることで桁数小数首位を把握できます。

補足

小数首位とは、初めて \(0\) でない数字が現れる桁数(小数第◯位)のことです。

(例)

\(0.0038\) の小数首位は小数第 \(3\) 位

 

このことを一般化すると、次が成り立ちます。

常用対数と桁数・小数首位

\(N\) は正の数、\(k\) は正の整数とすると、

  • \(N\) の整数部分が \(k\) 桁であるとき
    \(10^{k−1} \leq N < 10^k\) \(\iff k−1 \leq \log_{10} N < k\)
  • \(N\) の小数第 \(k\) 位に初めて \(0\) でない数字が現れるとき
    \(10^{−k} \leq N < 10^{−k+1}\) \(\iff −k \leq \log_{10} N < −k+1\)

 

不等式の等号の位置、\(k\) の位置は混乱しやすいので、上の図と見比べて確認してください。

また、以下のように具体的な例で確認しても良いでしょう。

(例)

  • \(3\) 桁の正の数 \(A\)
    \(\iff 100 \leq A < 1000\)
    \(\iff 10^2 \leq A < 10^3\)
    \(\iff 2 \leq \log_{10}A < 3\)
  • 小数第 \(4\) 位が小数首位の正の数 \(B\)
    \(\iff 0.0001 \leq B < 0.001\)
    \(\iff 10^{−4} \leq B < 10^{−3}\)
    \(\iff −4 \leq \log_{10} B < −3\)

 

常用対数と最高位の数字【公式】

ある正の数の常用対数をとり、それを整数部分と小数部分に分けると、最高位の数字小数首位の数字がわかります。

常用対数と最高位・小数首位の数字

正の数 \(N\) の常用対数をとり、

\(\log_{10} N = n + \alpha\)(\(n\) は整数、\(0 \leq \alpha < 1\))

とおく。

 

\(\log_{10} A \leq \alpha < \log_{10} (A + 1)\)(\(A\) は整数)と表せるとき、

\(A \leq 10^{\alpha} < A + 1\)

\(\iff A \cdot 10^n \leq 10^{\alpha} \cdot 10^n < (A + 1) \cdot 10^n\)

\(\iff A \cdot 10^n \leq 10^{n + \alpha} < (A + 1) \cdot 10^n\)

\(\iff A \cdot 10^n \leq N < (A + 1) \cdot 10^n\)

\(\iff\) \(N\) の最高位の数字は \(A\)

常用対数の整数部分はあくまでも桁数にしか影響せず、小数部分が具体的な数字の配列に影響するのですね。

具体的な問題の解き方は、応用問題で解説します!

 

常用対数の計算問題

それでは、常用対数の計算問題を解いてみましょう。

計算問題①「log の値を求める」

計算問題①

次の値を求めよ。ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

(1) \(\log_{10} \sqrt{72}\)

(2) \(\log_{10} 0.45\)

 

\(\log_{10} 2\), \(\log_{10} 3\) の値が与えられているので、問題の真数部分を \(2\) や \(3\) の累乗の積で表してみましょう。

解答

 

(1)

\(\log_{10} \sqrt{72}\)

\(= \log_{10} (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (\log_{10} 2^3 + \log_{10} 3^2)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (3\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (3 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} (0.9030 + 0.9542)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 1.8572\)

\(= 0.9286\)

 

答え: \(\color{red}{0.9286}\)

 

 

(2)

\(\log_{10} 0.45\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{45}{100}\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{3^2 \cdot 5}{100}\)

\(= \log_{10} (3^2 \cdot 5) − \log_{10} 100\)

\(= \log_{10} 3^2 + \log_{10} 5 − \log_{10} 10^2\)

\(\displaystyle = 2\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2} − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 + (\log_{10} 10 − \log_{10} 2) − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 + (1 − \log_{10} 2) − 2\)

\(= 2\log_{10} 3 − \log_{10} 2 − 1\)

\(= 2 \cdot 0.4771 − 0.3010 − 1\)

\(= 0.9542 − 0.3010 − 1\)

\(= −0.3468\)

 

答え: \(\color{red}{−0.3468}\)

 

計算問題②「常用対数表を用いる」

計算問題②

常用対数表を用いて \(\log_{10} 0.000514\) の値を求めよ。

 

常用対数表から求める場合は、問題の真数部分を「\(x \times 10^n\)(\(1 \leq x < 10\), \(n\) は整数)」の形で表せばよいですね。

解答

 

\(\begin{align} \log_{10} 0.000514 &= \log_{10} (5.14 \times 10^{−4}) \\ &= \log_{10} 5.14 − 4 \end{align}\)

 

常用対数表より、

\(\log_{10} 5.14 = 0.7110\) であるから

\(\begin{align} \log_{10} 0.000514 &= 0.7110 − 4 \\ &= −3.289 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−3.289}\)

 

常用対数の応用問題

最後に、常用対数の応用問題に挑戦しましょう。

応用問題①「\(3^{23}\) の桁数と最高位の数字」

応用問題①

\(3^{23}\) の桁数および最高位の数字を求めよ。ただし、\(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

 

常用対数をとれば、桁数や最高位の数字を求められるのでしたね。

解答

 

\(3^{23}\) の常用対数をとって

\(\begin{align} \log_{10} 3^{23} &= 23\log_{10} 3 \\ &= 23 \cdot 0.4771 \\ &= 10.9733 \end{align}\)

 

よって

\(3^{23} = 10^{10.9733}\)

であるから

\(10^{10} < 3^{23} < 10^{11}\)

したがって \(3^{23}\) の桁数は \(11\) 桁

 

また、

\(10^{10.9733} = 10^{10} \cdot 10^{0.9733}\) …①

 

ここで、

\(\log_{10} 9 = 2\log_{10} 3 = 0.9542\)、\(\log_{10} 10 = 1\)

より

\(\log_{10} 9 < 0.9733 < \log_{10} 10\)

すなわち

\(9 < 10^{0.9733} < 10\)

各辺に \(10^{10}\) をかけると、①より

\(9 \cdot 10^{10} < 10^{10.9733} < 10 \cdot 10^{10}\)

よって \(9 \cdot 10^{10} < 3^{23} < 10 \cdot 10^{10}\)

 

したがって、最高位の数字は \(9\)

 

答え: 桁数 \(\color{red}{11}\) 桁、最高位の数字 \(\color{red}{9}\)

 

応用問題②「初めて 0 でない数字が現れるのは小数第何位?」

応用問題②

\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100}\) を小数で表すと、小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるか。また、その数字を求めよ。

ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\) とする。

 

小数の場合も求め方は同じです。

ただし、不等式と桁数の関係に注意しましょう。

解答

 

\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100}\) の常用対数をとって

\(\begin{align} \log_{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{100} &= 100\log_{10} \frac{2}{3} \\ &= 100(\log_{10} 2 − \log_{10} 3) \\ &= 100(0.3010 − 0.4771) \\ &= −17.61 \end{align}\)

 

よって \(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{100} = 10^{−17.61}\)

であるから

\(\displaystyle 10^{−18} < \left( \frac{2}{3} \right)^{100} < 10^{−17}\)

したがって小数第 \(18\) 位で初めて \(0\) でない数字が現れる。

 

また、

\(10^{−17.61} = 10^{−18} \cdot 10^{0.39}\) …①

 

ここで、

\(\log_{10} 2 = 0.3010\), \(\log_{10} 3 = 0.4771\)

より

\(\log_{10} 2 < 0.39 < \log_{10} 3\)

すなわち

\(2 < 10^{0.39} < 3\)

各辺に \(10^{−18}\) をかけると、①より

\(2 \cdot 10^{−18} < 10^{−17.61} < 3 \cdot 10^{−18}\)

よって \(\displaystyle 2 \cdot 10^{−18} < \left( \frac{2}{3} \right)^{100} < 3 \cdot 10^{−18}\)

 

したがって、初めて現れる \(0\) でない数字は \(2\)

 

答え: 小数第 \(\color{red}{18}\) 位、初めて現れる \(\color{red}{0}\) でない数字 \(\color{red}{2}\)

 

応用問題③「金利計算(複利)の文章題」

応用問題③

預金の年利(複利)が \(0.8 \ \text{%}\) であるとき、預金が初めて元金の \(1.5\) 倍以上になるのは何年後か。

ただし、\(\log_{10} 2 = 0.3010\)、\(\log_{10} 3 = 0.4771\)、\(\log_{10} 7 = 0.8451\) とする。

 

常用対数は、金利計算にも活用できます。

問題で与えられた常用対数の値を利用できるように、うまく式変形しましょう。

補足

複利とは、\(1\) 年ごとに利息を元金に繰り入れる方式のことで、利息分にもまた利息がつきます。

年利(複利)\(\alpha\)、元金 \(A\) の \(n\) 年後の預金は \(A(1 + \alpha)^n\) と計算できます。

解答

 

元金を \(x\) 円とすると、\(n\) 年後の預金は

\((1 + 0.008)^n x = 1.008^n x\)

\(n\) 年後の預金が元金の \(1.5\) 倍以上になるとき、

\(1.008^n x \geq 1.5x\)

 

したがって、\(1.008^n \geq 1.5\) を満たす最小の自然数 \(n\) を求めればよい。

両辺の常用対数をとると

\(n \log_{10} 1.008 \geq \log_{10} 1.5\)

 

ここで、

\(\log_{10} 1.008\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{1008}{1000}\)

\(\displaystyle = \log_{10} \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7}{10^3}\)

\(= \log_{10} 2^4 + \log_{10} 3^2 + \log_{10} 7 − \log_{10} 10^3\)

\(= 4\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 + \log_{10} 7 − 3\)

\(= 1.204 + 0.9542 + 0.8451 − 3\)

\(= 0.0033\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\begin{align} \log_{10}1.5 &= \log_{10} \frac{3}{2} \\ &= \log_{10} 3 − \log_{10} 2 \\ &= 0.4771 − 0.3010 \\ &= 0.1761 \end{align}\)

であるから、

 

\(0.0033n \geq 0.1761\)

\(n \geq 53.36\cdots\)

 

よって、\(54\) 年後に元金の \(1.5\) 倍以上となる。

 

答え: \(\color{red}{54}\) 年後

以上で応用問題も終わりです。

 

常用対数は十進数と相性がよく、工学・実験科学・経済学などの実学でとても役に立ちます。

常用対数の特徴や使い方をつかんで、ぜひマスターしてくださいね!

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