指数と対数の関係とは?変換公式やグラフの比較、計算問題

この記事では、「指数と対数の関係」をわかりやすく解説していきます。

変換公式やグラフ、計算問題の解き方も説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

指数・対数とは?

指数と対数は根本的には同じもので、何を求めるかによって呼び方が変わります。

  • 指数
    \(a\) のべき乗「\(a^p = M\)」の答え \(M\) を求めるときの \(p\) の部分
  • 対数 \(\log\)
    その指数 \(p\) を求めるための道具
    \(\log_a M\) は「\(a\) を底とする \(M\) の対数」と呼ぶ。

補足

ちなみに、\(a^p = M\) でも \(p = \log_a M\) でも \(a\) は「」、\(M\) は「真数」と呼びます。

 

「\(a\) を \(p\) 乗したら何になるか」を考えるときに使うのが「指数」、「\(a\) を何乗したら \(M\) になるか」を考えるときに使うのが「対数」ということですね。

 

指数と対数の変換公式

指数と対数は、その定義から相互に変換することができます。

基本の変換公式

指数と対数の関係

\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\) のとき

\begin{align}\color{red}{a^p = M \iff p = \log_a M}\end{align}

 

指数・対数の変換は、考えなくてもできるくらい練習しておきましょう。

簡単な例をいくつか示します。

(例)

  • \(2^p = 5\) を満たす数 \(p\)
    \(p = \log_2 5\)
  • \(3^p = 6\) を満たす数 \(p\)
    \(p = \log_3 6\)
  • \(3 = \log_4 M\) を満たす数 \(M\)
    \(M = 4^3 (= 64)\)

 

応用公式

また、指数と対数の関係式から \(M\) や \(p\) を消去した式も成り立つので、よく覚えておきましょう。

指数と対数の関係 2

\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\) のとき

\(M = a^p\) を \(p = \log_a M\) に代入して、

\begin{align}\color{red}{p = \log_a a^p} \text{…①}\end{align}

特に

\(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 = 0\), \(\displaystyle \log_a \frac{1}{a} = −1\)

 

\(p = \log_a M\) を \(M = a^p\) に代入して、

\begin{align}\color{red}{M = a^{\log_a M}} \text{…②}\end{align}

 

①の式は、対数を簡単な値に直すときに便利です。

(例)

  • \(\log_3 81 = \log_\color{salmon}{3} \color{salmon}{3}^4 = 4\)
  • \(\displaystyle \log_{10} \frac{1}{1000} = \log_{\color{salmon}{10}}\color{salmon}{10}^{−3} = −3\)

 

また、②の式をとっさに使えると計算がとても楽になります。

べき乗の指数部分が「対数」で、べき乗の底と対数の底がそろっていたら使える!と覚えておきましょう。

(例)

  • \(\color{salmon}{4}^{\log_\color{salmon}{4} 5} = 5\)
  • \(\color{salmon}{3}^{\log_\color{salmon}{3} 18} = 18\)

 

指数と対数の計算公式

ここでは、指数・対数の計算でよく使う公式について説明していきます。

指数法則

指数・対数の計算公式の多くは、「指数法則」から導けます。

忘れている場合は以下の記事で復習しておきましょう!

指数法則とは?公式・証明や、分数・ルートを含む計算問題

 

対数の性質

対数計算には、「対数の性質」を利用します。

対数の性質

\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\), \(N > 0\)、\(k\) は実数、\(n\) は \(2\) 以上の自然数のとき、

  1. \(\color{red}{\log_a MN = \log_a M + \log_a N}\)
  2. \(\color{red}{\displaystyle \log_a \frac{M}{N} = \log_a M − \log_a N}\)
    特に、\(\color{red}{\displaystyle \log_a \frac{1}{N} = −\log_a N}\)
  3. \(\color{red}{\log_a M^k = k\log_a M}\)
    特に、\(\color{red}{\displaystyle \log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M}\)

それぞれ、どのように導かれるかを確認しましょう。

公式 1 の証明

 

\(\log_a M = p\), \(\log_a N = q\) とすると、

\(M = a^p\), \(N = a^q\)

 

指数法則 \(a^p a^q = a^{p + q}\) より

\(MN = a^{p + q} \iff \) \(\log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N\)

 

よって \(\color{red}{\log_a MN = \log_a M + \log_a N}\)

 

(証明終わり)

 

公式 2 の証明

 

\(\log_a M = p\), \(\log_a N = q\) とすると、

\(M = a^p\), \(N = a^q\)

 

指数法則 \(\displaystyle \frac{a^p}{a^q} = a^{p − q}\) より

\(\displaystyle \frac{M}{N} = a^{p − q} \iff \) \(\displaystyle \log_a \frac{M}{N} = p − q = \log_a M − \log_a N\)

 

よって \(\color{red}{\displaystyle \log_a \frac{M}{N} = \log_a M − \log_a N}\)

 

(証明終わり)

 

公式 3 の証明

 

\(\log_a M = p\) とすると \(M = a^p\)

両辺を \(k\) 乗すると \(M^k = a^{kp}\)

 

よって

\(\log_a M^k = \log_a a^{kp} = kp = k \log_a M\)

 

したがって \(\color{red}{\log_a M^k = k \log_a M}\)

 

(証明終わり)

 

底の変換公式

対数の底は、自在に変換することができます。

底の変換公式

\(a, b, c\) は正の数で \(a \neq 1\), \(b \neq 1\), \(c \neq 1\) のとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}}\end{align}

特に、\(\color{red}{\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a}}\)

証明

 

\(\log_a b = p\) とすると \(a^p = b\)

両辺の底を \(c\) とする対数をとって

\(\log_c a^p = \log_c b\)

③より \(p \log_c a = \log_c b\)

よって

\(\displaystyle p = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)

 

ゆえに \(\color{red}{\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}}\)

 

(証明終わり)

 

【発展】対数の関係式

さらに、教科書ではあまり強調されませんが、以下の関係式も知っていると便利です。

対数の関係式

\(b > 0\), \(b \neq 1\), \(a > 0\), \(c > 0\) のとき

\begin{align}\color{red}{a^{\log_b c} = c^{\log_b a}}\end{align}

証明

 

\((\log_b c)(\log_b a) = (\log_b a)(\log_b c)\) より、

\(\log_b (a^{\log_b c}) = \log_b (c^{\log_b a})\)

したがって

\(\color{red}{a^{\log_b c} = c^{\log_b a}}\)

 

(証明終わり)

 

この式を使うと、次のような問題で簡単な値に変形できます。

(例)

  • \(32^{\log_2 3} = 3^{\log_2 32} = 3^5 = 243\)
  • \(25^{\log_5 4} = 4^{\log_5 25} = 4^2 = 64\)

べき乗の指数部分が「対数」のとき、左端と右端の数を交換するイメージですね。

 

指数関数・対数関数のグラフ

指数関数 \(y = a^x\) と対数関数 \(y = \log_a x\) は、\(x\) と \(y\) を入れ替えた関係、すなわち逆関数の関係にあります。

よって、底 \(a\) の値が同じならば、指数関数と対数関数のグラフは \(y = x\) に関して対称です。

補足

「指数関数」「対数関数」の詳しい内容については、以下の記事を参考にしてください。

指数関数とは?グラフや計算公式、微分積分や方程式・不等式 対数関数とは?グラフや計算公式、微分積分や方程式・不等式

また、「逆関数」の意味や性質については以下の記事で説明しています。

逆関数とは?逆関数の求め方や微分・積分の公式、計算問題

 

指数・対数の計算問題

最後に、指数と対数の計算問題に挑戦しましょう。

計算問題①「指数が log の値」

計算問題①

\(9^{\log_3 5}\) を求めよ。

 

このような問題では、求めたい値を別の文字でおき、両辺の対数をとると計算しやすいです。

解答

 

\(9^{\log_3 5} = M\) とおく。

左辺は正であるから、両辺の \(3\) を底とする対数をとると

\(\log_3 (9^{\log_3 5}) = \log_3 M\)

\(\log_3 5 \log_3 9 = \log_3 M\)

\(2\log_3 5 = \log_3 M\)

\(\log_3 5^2 = \log_3 M\)

よって

\(M = 5^2 = 25\)

 

したがって

\(9^{\log_3 5} = M = 25\)

 

答え: \(\color{red}{25}\)

Tips

「\(\color{red}{a^{\log_a p} = p}\) \(\color{red}{(a > 0, a \neq 1)}\)」を利用すると、より簡単に求められます。

\(\begin{align} 9^{\log_3 5} &= (3^2)^{\log_3 5} \\ &= 3^{2\log_3 5} \\ &= 3^{\log_3 5^2} \\ &= 3^{\log_3 25} \\ &= 25 \end{align}\)

 

計算問題②「指数の関係式と対数の利用」

計算問題②

\(2^x = 5^y = \sqrt{10}\) が成り立つとき、 \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) の値を求めなさい。

 

指数のままでは扱いにくい問題は、各辺の対数をとると計算しやすくなります。

解答

 

\(2^x = 5^y = \sqrt{10}\) の各辺は正であるから、各辺の \(2\) を底とする対数をとって

\(\log_2 2^x = \log_2 5^y = \log_2 10^{\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle x = y \log_2 5 = \frac{1}{2} \log_2 10\)

 

\(\log_2 10 = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5\) より、

\(\displaystyle x = \frac{1 + \log_2 5}{2}\)

\(\displaystyle y = \frac{1 + \log_2 5}{2\log_2 5}\)

 

よって

\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

\(\displaystyle = \frac{2}{1 + \log_2 5} + \frac{2\log_2 5}{1 + \log_2 5}\)

\(\displaystyle = \frac{2(1 + \log_2 5)}{1 + \log_2 5}\)

\(= 2\)

 

答え: \(\color{red}{2}\)

以上で問題も終わりです!

 

指数と対数は密接に関係しているので、それぞれを関連づけて理解するとよいですね。

いろいろな計算を練習して、ぜひ指数・対数を使いこなしてくださいね!

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