指数関数とは?グラフや計算公式、微分積分や方程式・不等式

この記事では、「指数関数」とは何かをわかりやすく解説していきます。

指数関数のグラフや方程式などの計算問題、微分積分の公式なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。

 

指数関数とは?

指数関数とは、指数部分に変数を含む関数のことです。

指数

べき乗 \(a^n\) の \(n\) の部分。

底 \(a\) を何回かけたかを示す。

 

指数関数は、一般的に実数 \(a\) \((a > 0, a \neq 1)\) を用いて「\(\color{red}{y = a^x}\)」と表せます。

\(y = a^x\) は、「\(a\) を底とする \(x\) の指数関数」といいます。

補足

指数関数を定義するとき、底 \(a\) には \(a > 0, a \neq 1\) という条件が必ずつきます。

「底の条件」については、以下の記事で詳しく説明しています。

真数条件・底の条件とは?なぜ必要かをわかりやすく解説!

 

指数関数のグラフ

指数関数 \(y = a^x\) のグラフは次のようになります。

底 \(1 < a\) のときは右肩上がりの曲線、底 \(0 < a < 1\) のときは右肩下がりの曲線です。

このような増加の仕方を指して、「指数関数的な増加」と表現することがありますね。

 

また、底 \(a > 1\) のときは底が大きいほど、底 \(0 < a < 1\) のときは底が小さいほど指数関数の傾きが急激に増加します。

 

指数関数の性質

指数関数には、次のような性質があります。

指数関数の性質
  1. 定義域は実数全体、値域は正の数全体 \((y > 0)\)
  2. グラフは必ず点 \((0, 1), (1, a)\) を通る
  3. \(x\) 軸を漸近線とする
  4. 底 \(a\) の範囲によって、グラフの増加傾向が異なる
    1. \(1 < a\) のとき
      単調増加関数となる(\(x\) の値が増加すれば \(y\) の値も増加)
      \begin{align}\color{red}{p < q \iff a^p < a^q}\end{align}
    2. \(0 < a < 1\) のとき
      単調減少関数となる(\(x\) の値が増加すれば \(y\) の値は減少)
      \begin{align}\color{red}{p < q \iff a^p > a^q}\end{align}
      (なお、\(a > 0, a \neq 1\) で「\(p = q \iff a^p = a^q\)」が成り立つ)

どれも大切な性質なので、グラフと見比べて確認してくださいね。

 

指数関数の計算公式

指数関数や指数を含む方程式・不等式の問題を解くには、「指数法則」と「累乗根」を理解しておきましょう。

指数法則

指数法則

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) で、\(r\), \(s\) が有理数のとき、

① \(\color{red}{a^r \times a^s = a^{r + s}}\)

 

② \(\color{red}{\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r − s}}\)

 

③ \(\color{red}{(a^r)^s = a^{rs}}\)

 

④ \(\color{red}{(ab)^r = a^r b^r}\)

 

⑤ \(\color{red}{\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^r = \frac{b^r}{a^r}}\)

 

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) で、\(m\), \(n\) が正の整数、\(r\) が有理数のとき、

⑥ \(\color{red}{\displaystyle a^{−r} = \frac{1}{a^r}}\)

 

⑦ \(\color{red}{\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}\)

なお、\(a^0 = 1\)

はじめて指数法則を習ったときは、指数部分が自然数(正の整数)\(m\), \(n\) の場合と習いましたね。

実は、数の範囲を拡張して、指数部分を有理数(分数)としても指数法則は成り立ちます。

補足

「指数法則」については、以下の記事で詳しく説明しています。

指数法則とは?公式・証明や、分数・ルートを含む計算問題

 

累乗根

指数法則 ⑦ \(\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) で示すように、有理数の指数は「累乗根」と捉えることができます。

累乗根 \(\bf{\sqrt[n]{A}}\)

\(n\) 乗すると \(A\) になる数

 

指数と累乗根の変換はよく行うため、累乗根の性質も理解しておきましょう。

累乗根の性質

\(a > 0\), \(b > 0\) で、\(m\), \(n\), \(p\) が正の整数のとき \((\sqrt[n]{a})^n = a\), \(\sqrt[n]{a} > 0\) であることから、次の性質が成り立つ。

① \(\color{red}{\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}}\)

 

② \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\displaystyle \frac{a}{b}}}\)

 

③ \(\color{red}{(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}}\)

 

④ \(\color{red}{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}}\)

 

⑤ \(\color{red}{\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}}\)

 

指数方程式の解き方【例題】

指数関数を含む方程式を「指数方程式」といいます。

以下の例題で指数方程式の解き方を確認しましょう。

例題

方程式 \(4^x − 2^{x + 2} − 32 = 0\) を解け。

 

指数方程式は次の手順で解くことができます。

STEP.1
底がそろうように式を整理する

まずは、同じべき乗のかたまりが現れるように式を整理します。

\(4^x − 2^{x + 2} − 32 = 0\) より

\((2^x)^2 − 4 \cdot 2^x − 32 = 0\)

すると、\(2^x\) の二次方程式と見ることができそうですね。

 

STEP.2
べき乗を変数に置き換える

\(2^x = X\) と変数を置き換えてあげると見やすくなります。

このとき、変数 \(X\) のとりうる値の範囲は必ず確認しておきましょう。

\(2^x = X\) とおくと、\(X > 0\)

 

方程式 \((2^x)^2 − 4 \cdot 2^x − 32 = 0\) は

\(X^2 − 4X − 32 = 0\) と書き換えられる。

 

STEP.3
方程式を解く

置き換えた変数について、方程式を解きます。

\(X^2 − 4X − 32 = 0\) より

\((X + 4)(X − 8) = 0\)

\(X > 0\) より、\(X = 8\)

 

STEP.4
元の形に戻し、答えを求める

変数 \(X\) の値がわかったら、元の形に戻して \(x\) を求めましょう。

その際、指数関数の以下の性質を利用します。

指数関数の性質

\(a > 0, a \neq 1\) のとき、

\begin{align}\color{red}{a^p = a^q \iff p = q}\end{align}

つまり、方程式の左辺と右辺の指数の底がそろっていれば、指数部分は等しいといえますね。

\(X = 8\) より、\(2^x = 8\)

すなわち \(2^x = 2^3\)

よって \(x = 3\)

 

答え: \(\color{red}{x = 3}\)

 

完了

 

指数不等式の解き方【例題】

指数関数を含む不等式を「指数不等式」といいます。

以下の例題で指数不等式の解き方を確認しましょう。

例題

不等式 \(\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)^x − 9 \left( \frac{1}{2} \right)^{x − 1} + 32 \leq 0\) を解け。

 

途中までは指数方程式と同様の流れです。最後に、指数の大小関係を考えます。

STEP.1
底がそろうように式を整理する

まずは同じべき乗のかたまりが現れるように式を整理します。

\(\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)^x − 9 \left( \frac{1}{2} \right)^{x − 1} + 32 \leq 0\) より

\(\displaystyle \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^x \right\}^2 − 18 \left( \frac{1}{2} \right)^x + 32 \leq 0\)

 

STEP.2
べき乗を変数に置き換える

\(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^x = X\) と変数を置き換えてあげると、\(X\) の二次不等式と見ることができますね。

変数 \(X\) のとりうる値の範囲は必ず確認しておきましょう。

\(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^x = X\) とおくと、\(X > 0\)

 

不等式 \(\displaystyle \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^x \right\}^2 − 18 \left( \frac{1}{2} \right)^x + 32 \leq 0\) は

\(X^2 − 18X + 32 \leq 0\) と書き換えられる。

 

STEP.3
不等式を解く

置き換えた変数について、不等式を解きます。

\(X^2 − 18X + 32 \leq 0\) より、

\((X − 2)(X − 16) \leq 0\)

よって \(2 \leq X \leq 16\)

 

STEP.4
元の形に戻し、答えを求める

変数 \(X\) のとりうる値の範囲がわかったら、元の形に戻して \(x\) の値の範囲を求めます。

その際、指数関数の以下の性質を利用します。

指数関数の性質
  • \(a > 1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{a^p < a^q \iff p < q}\end{align}
  • \(0 < a < 1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{a^p > a^q \iff p < q}\end{align}

\(a > 1\) のときは不等式と指数部分の大小関係が一致しますが、\(0 < a < 1\) のときは大小関係が入れ替わることに注意しましょう。

\(2 \leq X \leq 16\) より

\(\displaystyle 2 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^x \leq 16\)

\(2^1 \leq 2^{−x} \leq 2^4\)

 

底 \(2\) は \(1\) より大きいから

\(1 \leq −x \leq 4\)

各辺に \(−1\) をかけて

\(−4 \leq x \leq −1\)

 

答え: \(\color{red}{−4 \leq x \leq −1}\)

 

なお、最後の部分で底を \(\displaystyle \frac{1}{2}\) に統一しても構いません。

別解

 

\(\displaystyle 2 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^x \leq 16\) より \(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{−1} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^x \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{−4}\)

底 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) は \(1\) より小さいから

\(\color{red}{−4 \leq x \leq −1}\)

 

完了

 

指数関数の微分公式

指数関数の微分公式は次の通りです。

指数関数の微分

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

  • \(\color{red}{(a^x)’ = a^x \log a}\)
  • \(\color{red}{(e^x)’ = e^x}\)
補足

\(e\) は自然対数の底で、「ネイピア数」とも呼ばれます。

自然対数やネイピア数については、以下の記事で詳しく説明しています。

自然対数 ln、自然対数の底 e とは?定義や微分積分の計算公式

また、「対数 \(\log\)」については、次の記事も参考にしてみてください。

指数と対数の関係とは?変換公式やグラフの比較、計算問題 対数関数とは?グラフや計算公式、微分積分や方程式・不等式

 

例題「指数関数を微分する」

少しだけ例題を見てみましょう。

例題

次の関数を微分せよ。

(1) \(y = 2^x\)

(2) \(y = e^{2x + 1}\)

 

(1) は公式に当てはめるだけですね。

(2) は、\(y = e^u\) と \(u = 2x + 1\) の合成関数なので、合成関数の微分が必要です(数III)。

解答

 

(1) \(y’ = \color{red}{2^x \log 2}\)

(2) \(y’ = e^{2x + 1} \cdot (2x + 1)’ = \color{red}{2e^{2x + 1}}\)

補足

「合成関数の微分」については以下の記事で説明しています。

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

 

指数関数の積分公式

指数関数の積分公式は次の通りです。

指数関数の積分

積分定数を \(C\) とおくと、\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき

  • \(\color{red}{\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C}\)
  • \(\color{red}{\displaystyle \int e^x dx = e^x + C}\)

ネイピア数 \(e\) のべき乗は、微分・積分してもかたちが変わらないのですね。

 

例題「指数関数を積分する」

\(1\) 問だけ例題を解いてみましょう。

例題

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int 2^x dx\)

 

公式に当てはめましょう。

解答

 

\(\displaystyle \int 2^x dx = \color{red}{\frac{2^x}{\log 2} + C}\)\(\color{red}{C}\) は積分定数)

補足

例題ほど単純な問題が出ることは少なく、他の種類の関数(多項式、三角関数など)との合成関数の積分がよく出題されます。

その際には、「置換積分法」や「部分積分法」などのテクニックが必要です。

詳しくは以下の記事で説明していますので、参考にしてください。

不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など) 部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり) 置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど)

 

指数関数の応用問題

最後に、指数関数のグラフや性質に関する知識を利用して、応用問題に挑戦しましょう。

応用問題①「指数関数の平行移動とグラフの作成」

応用問題①

\(y = 3^{x − 1} + 2\) のグラフは、\(y = 3^x\) のグラフを \(x\) 軸方向、\(y\) 軸方向にどれだけ平行移動したグラフであるか。

また、グラフの概形を書け。

 

グラフの平行移動の考え方は、指数関数であっても同じです。

また、指数関数のグラフを書く際は漸近線に注意しましょう。

グラフの平行移動

\(y = f(x)\) を \(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動した関数は

\begin{align}y − q = f(x − p)\end{align}

平行移動とは?グラフ(二次関数など)の平行移動の公式と作図
解答

 

\(y − 2 = 3^{x − 1}\) より、

\(y = 3^x\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(1\)、\(y\) 軸方向に \(2\) だけ平行移動したグラフである。

 

値域は \(y > 2\)

底 \(3\) は \(1\) より大きいので、グラフは単調増加する。

\(x = 0\) のとき \(\displaystyle y = 3^{−1} + 2 = \frac{7}{3}\)

 

よって、グラフは以下の通り。

答え:

\(y = 3^x\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(1\)、\(y\) 軸方向に \(2\) だけ平行移動したグラフ

 

応用問題②「指数関数の最大値・最小値」

応用問題②

関数 \(y = 4^{x + 1} − 2^{x + 2} + 2\) \((x \leq 2)\) の最大値と最小値を求めよ。

 

指数方程式のように変数の置き換えを行うと、二次関数の最大・最小問題に落とし込めます。

置き換えた変数の定義域を調べること、最後は \(x\) について解くことを忘れないようにしましょう。

解答

 

\(2^x = t\) とおくと、\(t > 0\)

\(x \leq 2\) より \(0 < t \leq 4\) …①

 

\(\begin{align} y &= 4^{x + 1} − 2^{x + 2} + 2 \\ &= 4 \cdot 4^x − 4 \cdot 2^x + 2 \\ &= 4(2^x)^2 − 4 \cdot 2^x + 2 \\ &= 4t^2 − 4t + 2 \\ &= 4 \left( t − \frac{1}{2} \right)^2 + 1 \end{align}\)

 

①の範囲において、\(y\) は \(t = 4\) で最大、\(\displaystyle t = \frac{1}{2}\) で最小となる。

\(t = 4\) のとき \(2^x = 4\)、すなわち \(x = 2\)

\(\displaystyle t = \frac{1}{2}\) のとき \(\displaystyle 2^x = \frac{1}{2}\)、すなわち \(x = −1\)

 

したがって、\(y\) は

\(x = 2\) のとき最大値 \(50\)、\(x = −1\) のとき最小値 \(1\) をとる。

 

答え:

\(x = 2\) のとき最大値 \(50\)、\(x = −1\) のとき最小値 \(1\)

以上で応用問題も終わりです!

 

指数・指数関数は数I, II, III とずっとついて回るので、苦手なままだとかなり困ります。

指数関数の性質や問題を解くコツをつかんで、ぜひマスターしてくださいね!

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