部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり)

この記事では、「部分積分法」の公式や証明をわかりやすく解説していきます。

対数(\(\log\))を含む問題など、解き方のコツも説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

部分積分法とは?【公式】

部分積分法は、種類の異なる関数の積で表される関数を積分するための計算テクニックです。

例えば、「\(\sin x \log x\)」のような関数を積分するときに使用します。

部分積分法の公式

不定積分

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f'(x)g(x) \ dx = f(x)g(x) − \int f(x)g'(x) \ dx}\end{align}

 

定積分

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^b f'(x)g(x) \ dx = \left[f(x)g(x)\right]_a^b − \int_a^b f(x)g'(x) \ dx}\end{align}

 

(見切れる場合は横へスクロール)

かけ算された一方の関数をある関数の微分とみて、式変形を行います。

 

部分積分法の証明

ここでは、部分積分法がなぜ成り立つかを証明します。

部分積分法の公式は、積の微分から導けます。

積の微分

\begin{align}\{f(x)g(x)\}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\end{align}

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

この公式の両辺を積分して左辺と右辺を整理すれば、部分積分法の公式が得られます。

証明

 

積の微分

\(\{f(x)g(x)\}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)

において、両辺を積分すると

 

\(f(x)g(x) \)

\(\displaystyle \ \ = \int f'(x)g(x) \ dx + \int f(x)g'(x) \ dx\)

 

移項すると、

\(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f'(x)}&\color{red}{g(x) \ dx}\\&\color{red}{= f(x)g(x) − \int f(x)g'(x) \ dx}\end{align}\)

 

(証明終わり)

このように導けました。

部分積分法の公式をうっかり忘れてしまったら、「積の微分」から思い出すといいですね。

 

部分積分法のコツ

それでは、部分積分法を使うコツを解説していきます。

部分積分法は、次のような場面で有効です。

Tips
  • 被積分関数が、種類の異なる \(2\) つの関数の積である
  • 積のうち、一方の関数を微分するとよりシンプルな関数になる
  • 積のうち、もう一方の関数は積分しても複雑にならない
補足

積分される関数のことを「被積分関数」といいます。

\(2\) つの関数の積は、そのまま一気に積分することができません。
(\(\displaystyle \int a(x)b(x) \ dx = A(x)B(x) + C\) は誤り)

そこで部分積分法の出番なわけですが、右辺には、左辺の積「\(f'(x)g(x)\)」の微分と積分が入れ替わった形「\(f(x)g'(x)\)」が積の積分として残ります。

ここの形が、元の積よりもシンプルになっていてほしいのです。

つまり、「微分でシンプルになる方を \(f(x)\)、積分で複雑化しない方を \(g'(x)\) とみる」のが最大のコツです!

 

例題①「\((x + 2) \sin x\) の不定積分を求める」

実際に、例題で確認してみましょう。

例題①

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int (x + 2) \sin x \ dx\)

 

\((x + 2)\) と \(\sin x\) の積の積分です。

一方を微分、もう一方を積分したときに、どちらがよりシンプルになるかを考えると、

  • \((x + 2)\) を微分、\(\sin x\) を積分
    → \(1\) と \(−\cos x\)
  • \((x + 2)\) を積分、\(\sin x\) を微分
    → \(\displaystyle \frac{1}{2} x^2 + 2x\) と \(\cos x\)

前者の方がシンプルになりますね。

よって、\((x + 2)\) はそのまま、\(\sin x\) の方を \((−\cos x)’\) と見て部分積分法の公式に当てはめましょう。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle \int (x + 2) \sin x \ dx\)

\(= \displaystyle \int (x + 2) (−\cos x)’ \ dx\)

\(= (x + 2)(−\cos x) − \int (x + 2)’ (−\cos x) \ dx\)

\(\displaystyle = −(x + 2) \cos x + \int \cos x \ dx\)

\(= −(x + 2) \cos x + \sin x + C\)

 (\(C\) は積分定数)

 

答え: 

\(\color{red}{−(x + 2) \cos x + \sin x + C}\)(\(C\) は積分定数)

このように、きれいに積分できましたね!

Tips

部分積分法に慣れるまでは、公式を見ながら計算することをオススメします。

慣れると、スラスラ式変形ができますよ。

 

ちなみに、微分・積分を逆にしてしまうとそれ以上計算できなくなります。

誤解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle \int (x + 2) \sin x \ dx\)

\(\displaystyle = \int \left( \frac{1}{2} x^2 + 2x \right)’ (\sin x) \ dx\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{2} x^2 + 2x \right)\sin x − \int \left( \frac{1}{2} x^2 + 2x \right) (\sin x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{2} x^2 + 2x \right)\sin x − \int \color{orange}{\left( \frac{1}{2} x^2 + 2x \right) \cos x} \ dx\) (結局積の積分のまま)

 

例題②「\(x^3 \log x\) の定積分を求める」

定積分の問題も見てみましょう。考え方は、不定積分と同じです。

例題②

次の定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int_1^e x^3 \log x \ dx\)

 

片方を微分、もう一方を積分した形を確認します。

  • \(x^3\) を微分、\(\log x\) を積分
    → \(3x^2\) と \(x \log x − x\)
  • \(x^3\) を積分、\(\log x\) を微分
    → \(\displaystyle \frac{1}{4} x^4\) と \(\displaystyle \frac{1}{x}\)

前者は項が増えてしまうし、結局 \(\log x\) が残ったままです(そもそも \(\log x\) の積分公式を忘れているかもしれませんね)。

よって、今回は後者の組み合わせで考えましょう。

また、定積分の代入計算と部分積分の計算を同時に行うと頭がこんがらがるので、

  1. 不定積分の状態で部分積分
  2. 積分できたら代入計算

の順番で進めましょう!

 

まず、1. 部分積分です。

解答

 

\(\displaystyle \int x^3 \log x \ dx\)

\(\displaystyle = \int \left( \frac{1}{4} x^4 \right)’ \log x \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} x^4 \log x − \int \frac{1}{4} x^4 (\log x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} x^4 \log x − \int \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{1}{x} \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} x^4 \log x − \int \frac{1}{4} x^3 \ dx\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} x^4 \log x − \frac{1}{16} x^4 + C\)

\(\displaystyle = \color{salmon}{\frac{1}{16} x^4 (4 \log x − 1) + C}\)

 (\(C\) は積分定数)

右辺の第二項がシンプルになり、無事に全体を積分できましたね!

 

あとは 2. 定積分の代入計算を行うだけです。

(解答続き)

 

\(\displaystyle \int x^3 \log x \ dx = \frac{1}{16} x^4 (4 \log x − 1) + C\)

であるから、

 

\(\displaystyle \int_1^e x^3 \log x \ dx\)

\(= \left[\displaystyle \frac{1}{16} x^4 (4 \log x − 1) \right]_1^e\)

\(\displaystyle= \frac{1}{16} \{e^4 (4 \log e − 1) − 1^4 (4 \log 1 − 1)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{16} \{e^4 (4 − 1) − 1(0 − 1)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{16} (3e^4 + 1)\)

 

答え: \(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{16} (3e^4 + 1)}\)

これで、答えが求められましたね!

 

部分積分法の優先順位

あらかじめ、微分でシンプルになる関数、積分で複雑にならない関数を把握しておくのもオススメです。

Tips

優先的に積分する関数 \(g'(x)\) にした方がよいのは…

 

① \(e^x\)、② \(\sin x, \cos x\)、③ \(x^n\)、④ \(\log x\)

 

この関係がイメージできていると、部分積分がうまくいく組み合わせをすぐに作れますよ。

(例)

\(\displaystyle \int \sin x \log x \ dx = −\int (\cos x)’ \log x \ dx\)

\(\displaystyle \int 3x e^x \ dx = \int 3x (e^x)’ \ dx\)

 

部分積分法の練習問題

それでは、部分積分法を使って問題を解いてみましょう。

練習問題①「合成関数を含む部分積分」

練習問題①

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int 2x e^{2x} \ dx\)

 

\(e\) のべき乗は積分しても指数が変わらないので、\(e^{2x}\) を積分する方向で考えましょう。

ただし、\(e^{2x}\) は \(e^{f(x)}\) と \(f(x) = 2x\) の合成関数であることに注意します。

解答

 

\((e^{2x})’ = e^{2x} \cdot (2x)’ = 2e^{2x}\) より、

 

\(2x e^{2x} = x \cdot 2e^{2x} = x (e^{2x})’\)

 

よって、

\(\displaystyle \int 2x e^{2x} \ dx\)

\(\displaystyle = \int x (e^{2x})’ \ dx\)

\(\displaystyle= x e^{2x} − \int (x)’ e^{2x} \ dx\)

\(\displaystyle = x e^{2x} − \int e^{2x} \ dx\)

\(\displaystyle = x e^{2x} − \frac{1}{2} e^{2x} + C\)

 (\(C\) は積分定数)

 

答え: 

\(\color{red}{\displaystyle x e^{2x} − \frac{1}{2} e^{2x} + C}\) (\(C\) は積分定数)

補足

「合成関数」については以下の記事で説明しています。

合成関数とは?微分・積分の公式や証明、問題の解き方

 

練習問題②「部分積分法で \(\log x\) を積分する」

練習問題②

\(\displaystyle \int \log x \ dx\) を、部分積分法を利用して求めよ。

 

一見、単一の関数なので部分積分ができないように感じますね。

しかしながら、\(\log x = 1 \cdot \log x\) と見るとどうでしょうか。

解答

 

\(\log x = 1 \cdot \log x = (x)’ \log x\)

より、

 

\(\displaystyle \int \log x \ dx\)

\(\displaystyle = \int (x)’ \log x \ dx\)

\(\displaystyle = x \log x − \int  x (\log x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = x \log x − \int  x \cdot \frac{1}{x} \ dx\)

\(\displaystyle = x \log x − \int 1 \ dx\)

\(= x \log x − x + C\)

 (\(C\) は積分定数)

 

答え: 

\(\color{red}{x \log x − x + C}\) (\(C\) は積分定数)

\(\log x\) の積分公式を忘れてしまったときは、この問題のように部分積分法で簡単に導くことができますね!

 

練習問題③「2 回部分積分する」

練習問題③

次の定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x \ dx\)

 

\(e^x\) は積分してもそのままなので、こちらを積分する方針でいいですね。

しかし、\(1\) 回部分積分しただけでは、右辺に積の積分が残ったままになります。

そこで、もう一度部分積分を繰り返すことで \(x\) の次数を下げ、積の積分を解消しましょう。

解答

 

\(\displaystyle \int x^2 e^x \ dx\)

\(\displaystyle = \int x^2 (e^x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = x^2 e^x − \int (x^2)’ e^x \ dx\)

\(\displaystyle = x^2 e^x − 2\int x e^x \ dx\)

\(\displaystyle = x^2 e^x − 2\int x (e^x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = x^2 e^x − 2 \left( x e^x − \int x’ e^x \ dx \right)\)

\(\displaystyle = x^2 e^x − 2x e^x + 2 \int e^x \ dx\)

\(= x^2 e^x − 2x e^x + 2e^x + C\)

\(= e^x (x^2 − 2x + 2) + C\)

 (\(C\) は積分定数)

 

よって、

\(\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x \ dx\)

\(\displaystyle = \left[e^x (x^2 − 2x + 2)\right]_0^1\)

\(= e(1 − 2 + 2) − 1 \cdot 2\)

\(= e − 2\)

 

答え: \(\color{red}{e − 2}\)

 

練習問題④「文字でおいて部分積分する」

練習問題④

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int e^x \cos x \ dx\)

 

指数関数 \(e^x\) と三角関数(\(\sin x\) または \(\cos x\))の積は少しやっかいです。

部分積分を繰り返しても \(e^x \sin x\) と \(e^x \cos x\) がループしてしまい、一向に積を解消できません。

このようなときは、求めたい式を「\(\displaystyle \int e^x \cos x \ dx = I\)」などと文字でおき、\(I\) が出てきたところで計算を止めるとうまくいきます。

解答

 

\(\displaystyle \int e^x \cos x \ dx = I\) とおく。

 

\(I\)

\(\displaystyle = \int e^x \cos x \ dx\)

\(\displaystyle = \int e^x (\sin x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = e^x \sin x − \int (e^x)’ \sin x \ dx\)

\(\displaystyle = e^x \sin x + \int e^x (−\sin x) \ dx\)

\(\displaystyle = e^x \sin x + \int e^x (\cos x)’ \ dx\)

\(\displaystyle = e^x \sin x + e^x \cos x − \int (e^x)’ \cos x \ dx\)

\(\displaystyle = e^x \sin x + e^x \cos x − \int e^x \cos x \ dx\)

\(= e^x \sin x + e^x \cos x − I\)

 

\(I = e^x \sin x + e^x \cos x − I\)

より、

\(2I = e^x (\sin x + \cos x)\)

 

したがって、積分定数を \(C\) とすると、

\(\displaystyle I = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C\)

 

答え: 

\(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C}\)(\(C\) は積分定数)

Tips

積分定数を忘れないように注意しましょう!

以上で問題も終わりです!

 

部分積分法は一見使いにくそうな公式ですが、積の積分を解消する重要なテクニックです。

コツを押さえて、必ずマスターしましょうね!

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