二次方程式とは？計算問題の解き方をわかりやすく解説

解の公式より、

\(\begin{align}x &= \displaystyle \frac{− 7 \pm \sqrt{7^2 − 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \\&= \displaystyle \frac{− 7 \pm \sqrt{49 − 12}}{6} \\&= \displaystyle \frac{− 7 \pm \sqrt{37}}{6}\end{align}\)

答え：　\(x = \displaystyle \frac{− 7 \pm \sqrt{37}}{6}\)

\((2x − 3)^2 = 7\) の両辺の平方根をとって

\(2x − 3 =  \pm \sqrt{7}\)

\(− 3\) を右辺に移項して

\(2x = 3 \pm \sqrt{7}\)

両辺を \(2\) で割って

\(x = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)

答え：　\(x = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)

\(12x^2 − 4x − 5 = 0\)

左辺を因数分解して、

\(\begin{array}{rr}　2　　　1&　→ 　6 \\　6　　−5&　→ −10 \\ \hline　12　　−5& 　 −4 \end{array}\)

\((2x + 1)(6x − 5) = 0\)

\(x = − \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{5}{6}\)

答え：　\(x = − \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{5}{6}\)

\(2x^2 − 9x + 5 = 0\)

解の公式より、

\(\begin{align}x&= \displaystyle \frac{− (− 9) \pm \sqrt{( − 9)^2 − 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}\\\\&= \displaystyle \frac{9 \pm \sqrt{81 − 40}}{4}\\\\&= \displaystyle \frac{9 \pm \sqrt{41}}{4}\end{align}\)

答え：　\(x = \displaystyle \frac{9 \pm \sqrt{41}}{4}\)

\(3\) つの連続した自然数を \(x − 1\), \(x\), \(x + 1\) とすると、題意より

\((x + 1)^2 = \{(x − 1) + x\}^2 − 9\)

\((x + 1)^2 = (2x − 1)^2 − 9\)

両辺を展開して

\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 − 4x + 1 − 9\)

\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 − 4x − 8\)

右辺を左辺へ移行して

\(x^2 − 4x^2 + 2x + 4x + 1 + 8 = 0\)

\(− 3x^2 + 6x + 9 = 0\)

両辺を \(− 3\) で割ると

\(x^2 − 2x − 3 = 0\)

左辺を因数分解して

\((x + 1)(x − 3) = 0\)

\(x + 1 = 0\)、\(x − 3 = 0\)

\(x = − 1, 3\)

\(x\) は自然数であるから、\(x = − 1\) は適さない。

よって、 \(x = 3\)

このとき、\(x − 1 = 2\), \(x + 1 = 4\)

答え：　連続する \(3\) つの自然数は \(2 , 3 , 4\)

\(x^2 − 2kx + 3k + 4 = 0\) の解の個数は、二次関数 \(y = x^2 − 2kx + 3k + 4\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数に等しい。

\(\begin{align}y &= x^2 − 2kx + 3k + 4 \\&= (x^2 − 2kx + k^2) − k^2 + 3k + 4 \\&= (x − k)^2 − k^2 + 3k + 4\end{align}\)

よって、このグラフは

• 下に凸
• 頂点の座標 \((k , − k^2 + 3k + 4)\)
• 軸の方程式 \(x = k\)
• \(y\) 切片 \(3k + 4\)

であることがわかる。

したがって、二次方程式 \(x^2 − 2kx + 3k + 4 = 0\) が \(2\) 個の正の実数解をもつには、\(k\) が以下の \(3\) つの条件を満たせばよい。

(i) \(k > 0\)（軸の \(x\) 座標が正）

(ii) \(3k + 4 >  0\)（\(y\) 切片が正）

(iii) \(− k^2 + 3k + 4 < 0\)（頂点の \(y\) 座標が負）

(i) より、\(k > 0\) …①

(ii) より、

\(3k + 4 > 0\)

\(3k > − 4\)

\(k > − \displaystyle \frac{4}{3}\) …②

(iii) より、

\(− k^2 + 3k + 4 < 0\)

\(k^2 − 3k − 4 > 0\)

\((k + 1)(k − 4) > 0\)

\(k <− 1, k > 4\) …③

① 〜 ③より、

\(k > 4\)

答え：　\(k > 4\)

他の解を \(x = a\) とおくと、

\(x^2 − 8x + k = (x − 4 + \sqrt{3})(x − a)\) …①

と表せる。

①の右辺を展開すると、

\(x^2 − 4x + \sqrt{3}x − ax + 4a − \sqrt{3}a\)

\(x^2 − (4 − \sqrt{3} + a)x + a(4 − \sqrt{3})\)

よって、①は

\(x^2 − 8x + k\) \(\ = x^2 − (4 − \sqrt{3} + a)x + a(4 − \sqrt{3})\)

と書き直せる。

両辺の係数を比較して、

\(8 = 4 − \sqrt{3} + a\) …②

\(k = a(4 − \sqrt{3})\) …③

②より、

\(4 − \sqrt{3} + a = 8\)

\(\begin{align}a &= 8 − 4 + \sqrt{3} \\&= 4 + \sqrt{3}\end{align}\)

③に \(a = 4 + \sqrt{3}\) を代入して、

\(\begin{align}k &= (4 + \sqrt{3})(4 − \sqrt{3}) \\&= 16 − 3\\&= 13\end{align}\)

答え：　\(k = 13\)、他の解は \(4 + \sqrt{3}\)