二次関数のグラフの書き方と、頂点・軸・切片の求め方

この記事では「二次関数のグラフ」の書き方について、できるだけわかりやすく解説していきます。

頂点や軸を求める公式や実際の問題も解説しますので、ぜひマスターしてくださいね。

 

二次関数のグラフの書き方

以下の例題を用いて、二次関数のグラフの書き方を解説します。

例題
二次関数 \(y = x^2 + 6x + 5\) のグラフを書きなさい。

 

① グラフに必要な情報を集める

まずは、二次関数のグラフを書くのに必要な次の情報を集めます。

  • 放物線の頂点と軸
  • グラフの向き
  • 軸との交点

次のステップで求めていきます。

STEP.1
平方完成する

まずは、与えられた式を平方完成します。

\(\begin{align}y &= x^2 + 6x + 5\\&= x^2 + 2 \cdot 3x + 5\\&= {(x^2 + 2 \cdot 3x + 9) − 9} + 5\\&= (x + 3)^2 − 9 + 5\\&= \color{salmon}{(x + 3)^2 − 4}\end{align}\)

平方完成とは?公式ややり方を実際の問題でわかりやすく解説!

 

STEP.2
頂点と軸を求める

平方完成した式から、頂点の座標と軸の方程式を求めます。

\(\begin{align}y &= x^2 + 6x + 5\\&= (x + 3)^2 − 4\end{align}\)

より、頂点の座標は \(\color{red}{(− 3 , − 4)}\)、軸は \(\color{red}{x = −3}\)

二次関数の頂点と軸

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) を \(y = a(x − p)^2 + q\) と平方完成できるとき、

  • 頂点の座標: \((p , q)\)
  • 軸の方程式: \(x = p\)
二次関数とは?平方完成の公式や最大値・最小値、決定の問題

 

STEP.3
グラフの向きを求める

次に、グラフの向きを求めます。

二次関数では、\(a\)(\(x^2\) の係数)の正負で向きが決まります。

\(a\) が正のときのグラフは下に凸となり、\(a\) が負のときは上に凸になります。

\(y = x^2 + 6x + 5\) の \(x^2\) の係数は \(+1\) なので、下に凸のグラフ

 

STEP.4
軸との交点を求める

次に、二次関数のグラフと \(x\) 軸、\(y\) 軸との交点(\(x\) 切片、\(y\) 切片)をそれぞれ求めます。

 

\(\bf{x}\) 切片

\(x\) 軸との交点なので、\(y = 0\) を代入して \(x\) 座標を求めます。

このとき、平方完成した式ではなく、元の式で考えた方が計算が楽になります!

\(y = x^2 + 6x + 5\) に \(y = 0\) を代入すると、

\(x^2 + 6x + 5 = 0\)

\((x + 5)(x + 1) = 0\)

\(\color{red}{x = − 5, − 1}\)

 

よって、\(x\) 切片は \(\color{red}{(− 5, 0)}\) と \(\color{red}{(− 1, 0)}\)

 

\(\bf{y}\) 切片

\(y\) 軸との交点なので、\(x = 0\) のときの座標です。

一次関数の切片と同じで、元の式の定数項の部分が\(y\) 切片の値になります(\(y = ax^2 + bx + c\) の \(c\))。

\(y = x^2 + 6x + 5\) の \(y\) 切片は \(\color{red}{(0, 5)}\)

 

完了

これで、必要な情報が集まりましたね。

  • 頂点 \((−3 , − 4)\)、軸 \((x = −3)\)
  • グラフの向きは下に凸
  • \(x\) 切片 \((− 5 , 0)\), \((− 1 , 0)\)、\(y\) 切片 \((0 , 5)\)

 

② グラフを書く

必要な情報が集まったら、いよいよグラフを書きます。

STEP.1
軸を用意する

まずは、グラフの下準備です。

\(x\) 軸と \(y\) 軸、原点 \(\mathrm{O}\) を書きます。

 

STEP.2
点を打つ

これまでに求めた以下の点をグラフに打ちましょう。

  • 頂点:\((−3 , − 4)\)
  • \(x\) 切片:\((− 5 , 0)\), \((− 1 , 0)\)
  • \(y\) 切片:\((0 , 5)\)

点の位置はだいたいで大丈夫ですよ。

 

STEP.3
曲線でつなぐ

最後に、グラフに打った点をなめらかな曲線でつなぎ、放物線を描きます。

先ほど調べたとおり、下に凸のグラフになっていることを確認しましょう。

 

完了

以上が二次関数のグラフの書き方でした!

 

Tips

分数や平方根が出てくる座標だと、点の位置関係に悩むときがあります。

そんなときは、どの整数と整数の間にくる数なのかを考えます。

概数がわかればもっと正確な位置に点を打てますが、数字の大小関係さえ合っていればだいたいの位置で大丈夫です!

 

(例)

\(\displaystyle x = \frac{3}{4}, \sqrt{5} − 1, \frac{9}{4}, \sqrt{15}\) の点を打つ

 

二次関数のグラフの練習問題

確認の意味も込めて、最後に二次関数のグラフを書く問題を \(1\) 問解いてみましょう。

練習問題「グラフの作成」

練習問題
\(y = −4x^2 + 4x\) のグラフを書きなさい。

 

グラフを作るのに必要な情報を確実に集めてから、ていねいに仕上げましょう!

解答

 

\(y = −4x^2 + 4x\) を平方完成すると、

\(\begin{align}y &= −4x^2 + 4x\\&= −4(x^2 − x)\\&= −4\left( x^2 − 2 \cdot \frac{1}{2} x\right)\\&= −4\left\{ \left(x^2 − 2 \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \right) − \frac{1}{4} \right\}\\&= −4\left\{ \left(x − \frac{1}{2} \right)^2 − \frac{1}{4} \right\}\\&= −4\left( x − \frac{1}{2} \right)^2 + 1\end{align}\)

 

よって、頂点の座標は \(\displaystyle \left( \frac{1}{2}, 1 \right)\) 

 

また、\(x^2\) の係数が負(\(−4\))であることから、上に凸のグラフになることがわかる。

 

\(y = − 4x^2 + 4x\) に \(y = 0\) を代入して、

\(−4x^2 + 4x = 0\)

\(−4x(x − 1) = 0\)

\(x = 0, 1\)

よって、\(x\) 切片は \((0, 0)\), \((1, 0)\)

 

\(y = −4x^2 + 4x\) より、\(y\) 切片は \((0, 0)\)

 

答え:

以上で、解説は終わりです!

 

二次関数のグラフを書かせる問題は多いので、何回も練習して書けるようにしておきましょう。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です