解と係数の関係とは?公式やその逆、証明、応用問題

この記事では、「解と係数の関係」についてできるだけわかりやすく解説していきます。

二次方程式・三次方程式の公式や問題の解き方、公式を逆に利用する応用問題も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

解と係数の関係とは?

解と係数の関係とは、高次方程式の解と各項の係数の間にある法則性です。

二次方程式には二次方程式特有の、五次方程式には五次方程式特有の「解と係数の関係」があります。

ここでは、最もよく使う二次方程式三次方程式の解と係数の関係を確認してみましょう。

二次方程式の公式

二次方程式の解と係数の関係

二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) \((a \neq 0)\) の \(2\) つの解が \(x = \alpha, \beta\) であるとき、以下が成り立つ。

\(\color{red}{\left\{\begin{array}{l} \alpha + \beta  = − \displaystyle \frac{b}{a}\\ \alpha\beta = \displaystyle \frac{c}{a}\end{array}\right.}\)

\(2\) 解の和 \(\alpha + \beta\) と \(2\) 解の積 \(\alpha\beta\) は、二次方程式の係数を使って計算できるということですね。

 

三次方程式の公式

三次方程式の解と係数の関係

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) \((a \neq 0)\) の \(3\) つの解が \(x = \alpha, \beta, \gamma\) であるとき、以下が成り立つ。

\(\color{red}{\left\{\begin{array}{l} \alpha + \beta + \gamma = − \displaystyle \frac{b}{a}\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \displaystyle \frac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma = − \displaystyle \frac{d}{a}\end{array}\right.}\)

\(3\) 解の和 \(\alpha + \beta + \gamma\)、\(2\) 解の積の和 \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\)、\(3\) 解の積 \(\alpha\beta\gamma\) は、三次方程式の係数を使って計算できるということですね。

 

意味を理解せずに暗記するのは難しいので、どうしてこのような解と係数の関係が成り立つのかを見ていきましょう。

 

解と係数の関係の証明

ここでは、二次方程式、三次方程式それぞれの解と係数の関係を証明します。

補足

証明には「因数定理」を利用します。

忘れている人は、以下の記事を参考にしてくださいね。

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

【証明①】二次方程式の公式

まずは、二次方程式の解と係数の関係の証明です。

証明

 

二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0 \ (a \neq 0)\) の解が \(x = \alpha, \beta\) であるとする。

 

このとき、因数定理より \(ax^2 + bx + c = 0\) は \((x − \alpha), (x − \beta)\) で割り切れるので、

\(ax^2 + bx + c = a(x − \alpha)(x − \beta)\) …(*)

とおける。

 

右辺を展開して整理すると、

\(a(x − \alpha)(x − \beta) = a{x^2 − (\alpha + \beta)x + \alpha\beta}\)

 

したがって (*) は次のように書き直せる。

\(ax^2 + bx + c = a{x^2 − (\alpha + \beta)x + \alpha\beta}\)

 

\(a \neq 0\) より、両辺を \(a\) で割って

\(x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \displaystyle \frac{c}{a} = x^2 − (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\)

 

両辺の係数を見比べて、

\(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{b}{a} = − (\alpha + \beta)\\\displaystyle \frac{c}{a} = \alpha\beta\end{array}\right.\)

 

したがって、解と係数の関係

\(\left\{\begin{array}{l}\alpha + \beta = − \displaystyle \frac{b}{a}\\\alpha\beta = \displaystyle \frac{c}{a}\end{array}\right.\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

【証明②】三次方程式の公式

続いて、三次方程式の解と係数の関係の証明です。

式の展開が少し複雑になりますが、頑張ってついていきましょう!

証明

 

三次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ (a \neq 0)\) の解が \(x = \alpha, \beta, \gamma\) であるとする。

 

このとき、因数定理より \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) は \((x − \alpha), (x − \beta), (x − \gamma)\) で割り切れるので、

\(ax^3 + bx^2 + cx + d \) \(= a(x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)\) …(*)

とおける。

 

右辺を展開して整理すると、

\(a(x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)\)

\(= a\{x^2 − (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}(x − \gamma)\)

\(= a\{x^3 − (\alpha + \beta)x^2 + \alpha \beta x − \gamma x^2 \) \( + \ ( \gamma\alpha + \beta\gamma )x − \alpha\beta\gamma\}\)

\(= a\{x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x^2 \) \(+ \ (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma\}\)

 

したがって (*) は次のように書き直せる。

\(ax^3 + bx^2 + cx + d \) \(= a\{x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x^2 \) \(+ \ (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma\}\)

 

\(a \neq 0\) より、両辺を \(a\) で割って

\(x^3 + \displaystyle \frac{b}{a}x^2 + \displaystyle \frac{c}{a}x + \displaystyle \frac{d}{a}\) \(= x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x^2 \) \(+\ (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma\)

 

両辺の係数を見比べて、

\(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{b}{a} = − (\alpha + \beta + \gamma)\\\displaystyle \frac{c}{a} = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\\\displaystyle \frac{d}{a} = − \alpha\beta\gamma\end{array}\right.\)

 

したがって、解と係数の関係

\(\left\{\begin{array}{l}\alpha + \beta + \gamma = − \displaystyle \frac{b}{a}\\\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \displaystyle \frac{c}{a}\\\alpha\beta\gamma = − \displaystyle \frac{d}{a}\end{array}\right.\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

以上で証明は完了です!

解と係数の関係の公式を丸暗記するのは少し難しいです。

忘れてしまったときは上記の手順で導けるので、証明の流れは一通り理解しておきましょう。

 

解と係数の関係の練習問題

それではさっそく、解と係数の関係を用いて問題を解いてみましょう。

練習問題①「α, β の式の値」

練習問題①

二次方程式 \(2x^2 − 5x + 3 = 0\) の解を \(\alpha, \beta\) とするとき、以下の値を求めよ。

(1) \(\alpha^2 + \beta^2\)

(2) \(\alpha^3 + \beta^3\)

(3) \((\alpha + 2)^4 + (\beta + 2)^4\)

 

解と係数の関係を利用する典型的な問題です。

二次方程式の解 \(\alpha, \beta\) を求めてから各式に代入するのではなく、解と係数の関係で \(\alpha + \beta, \alpha\beta\) を使ったかたちに変形するのがポイントです。

(3) はそのまま展開すると大変なので、\(\alpha + 2 = A, \beta + 2 = B\) などと別の文字に置き換えてから展開しましょう。

解答

 

\(2x^2 − 5x + 3 = 0\) において、解と係数の関係から

\(\left\{\begin{array}{l}\alpha + \beta  = − \displaystyle \frac{(− 5)}{2} = \displaystyle \frac{5}{2} …①\\\alpha\beta = \displaystyle \frac{3}{2} …②\end{array}\right.\)

 

 

(1) \(\alpha^2 + \beta^2\)

 

\((\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2\) より、

\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 − 2\alpha\beta\)

 

①、② を代入して、

\(\begin{align}\alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 − 2\alpha\beta \\&= \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^2 − 2 \cdot \displaystyle \frac{3}{2} \\&= \displaystyle \frac{25}{4} − 3 \\&= \displaystyle \frac{25 − 12}{4} \\&= \displaystyle \frac{13}{4}\end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{13}{4}\)

 

 

(2) \(\alpha^3 + \beta^3\)

 

\(\begin{align}(\alpha + \beta)^3 &= \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 \\&= \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\end{align}\)

より、

\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 − 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)

 

①、② を代入して、

\(\begin{align}\alpha^3 + \beta^3 &= (\alpha + \beta)^3 − 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \\&= \left(\displaystyle \frac{5}{2}\right)^3 − 3 \cdot \displaystyle \frac{3}{2} \cdot \displaystyle \frac{5}{2} \\&= \displaystyle \frac{125}{8} − \displaystyle \frac{45}{4} \\&= \displaystyle \frac{125 − 90}{8} \\&= \displaystyle \frac{35}{8}\end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{35}{8}\)

 

 

(3) \((\alpha + 2)^4 + (\beta + 2)^4\)

 

\(\alpha + 2 = A, \beta + 2 = B\) とおくと、

\((\alpha + 2)^4 + (\beta + 2)^4 = A^4 + B^4\)

 

ここで、

\((A^2 + B^2)^2 = A^4 + 2A^2B^2 + B^4\)

\((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)

より、

 

\(A^4 + B^4 \)

\(= (A^2 + B^2)^2 − 2A^2B^2 \)

\(= \{(A + B)^2 − 2AB\}^2 − 2(AB)^2\) …(*)

 

ここで、

\(\begin{align}A + B &= (\alpha + 2) + (\beta + 2) \\&= (\alpha + \beta) + 4 \\&= \displaystyle \frac{5}{2} + 4 \\&= \displaystyle \frac{13}{2}\end{align}\)

 

\(\begin{align}AB &= (\alpha + 2)(\beta + 2) \\&= \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + 4 \\&= \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4 \\&= \displaystyle \frac{3}{2} + 2 \cdot \displaystyle \frac{5}{2} + 4 \\&= \displaystyle \frac{3 + 10 + 8}{2} \\&= \displaystyle \frac{21}{2}\end{align}\)

であるから、

 

(*)

\(= \{(A + B)^2 − 2AB\}^2 − 2AB^2\\= \left\{ \left(\displaystyle \frac{13}{2}\right)^2 − 2 \cdot \displaystyle \frac{21}{2} \right\}^2 − 2 \left(\displaystyle \frac{21}{2}\right)^2\\= \left(\displaystyle \frac{169}{4} − 21\right)^2 − \displaystyle \frac{441}{2}\\= \left(\displaystyle \frac{169 − 84}{4}\right)^2 − \displaystyle \frac{441}{2}\\= \left(\displaystyle \frac{85}{4}\right)^2 − \displaystyle \frac{441}{2}\\= \displaystyle \frac{7225}{16} − \displaystyle \frac{441}{2} \\= \displaystyle \frac{7225 − 3528}{16}\\= \displaystyle \frac{3697}{16}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{3697}{16}\)

 

練習問題②「α, β, γ の式の値」

三次方程式の問題も解いてみましょう。

練習問題②

三次方程式 \(x^3 + 9x^2 + 4x − 1 = 0\) の解を \(\alpha, \beta, \gamma\) とするとき、以下の値を求めよ。

 

(1) \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

 

(2) \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \displaystyle \frac{1}{\beta} + \displaystyle \frac{1}{\gamma}\)

 

(3) \(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3\)

 

先ほどの問題と同様に、(1) ~ (3) の式を \(\alpha + \beta + \gamma\)、\(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\)、\(\alpha\beta\gamma\) を使ったかたちに変形しましょう。

解答

 

\(x^3 + 9x^2 + 4x − 1 = 0\) において、解と係数の関係から

\(\left\{\begin{array}{l}\alpha + \beta + \gamma = − \displaystyle \frac{9}{1} = − 9 …①\\\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \displaystyle \frac{4}{1} = 4 …②\\\alpha\beta\gamma = − \displaystyle \frac{(− 1)}{1} = 1 …③\end{array}\right.\)

 

 

(1) \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)

 

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \) \(= (\alpha + \beta + \gamma)^2 − 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\)

 

①、②、③ を代入して、

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \\= (\alpha + \beta + \gamma)^2 − 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \\= (− 9)^2 − 2 \cdot 4 \\= 81 − 8 \\= 73\)

 

答え: \(73\)

 

 

(2) \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \displaystyle \frac{1}{\beta} + \displaystyle \frac{1}{\gamma}\)

 

\(\begin{align}\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \displaystyle \frac{1}{\beta} + \displaystyle \frac{1}{\gamma} &= \displaystyle \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} \\&= \displaystyle \frac{4}{1} \\&= 4\end{align}\)

 

答え: \(4\)

 

 

(3) \(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3\)

 

\(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3\)

\(= (\alpha + \beta + \gamma)\{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \) \(− \ (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\} + 3\alpha\beta\gamma\)

 

①、②、および

(1) より \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 73\) を代入して、

\(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3\)

\(= (\alpha + \beta + \gamma)\{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\) \( − \ (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\} + 3\alpha\beta\gamma \)

\(= − 9(73 − 4) + 3 \cdot 1\)

\(= − 9 \cdot 69 + 3\)

\(= − 621 + 3\)

\(= − 618\)

 

答え: \(− 618\)

いかがでしょうか。少しずつ解と係数の関係の公式の使い方は理解できてきましたか?

基本方針は「解と係数の関係が使えるかたちに式を変形する」ことなので、忘れないようにしましょう!

 

解と係数の関係の逆

解と係数の関係は、その逆も成り立ちます。

ここでは、問題でもよく出る二次方程式の逆の公式を紹介します。

二次方程式の解と係数の関係の逆

\(\alpha, \beta\) に関する連立方程式

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \alpha + \beta = − a\\ \alpha\beta = b\end{array}\right.\end{align}

の解は、二次方程式 \(x^2 + ax + b = 0\) の \(2\) つの解である。

解と係数の関係の逆を用いるときは、\(x^2\) の係数が \(1\) の場合を考えるとわかりやすいです。

 

解と係数の関係の逆の証明

この関係は、連立方程式から \(\alpha, \beta\) 片方を消去してみるとすぐに示すことができます。

証明

 

\(\left\{\begin{array}{l} \alpha + \beta = − a …①\\ \alpha\beta = b …②\end{array}\right.\)

 

①より \(\beta = − a − \alpha\) を②に代入して

\(\alpha(− a − \alpha) = b\)

すなわち

\(\alpha^2 + a\alpha + b = 0\)

よって、\(\alpha\) は \(x^2 + ax + b = 0\) の解である。

 

また、①より \(\alpha = − a − \beta\) を②に代入して

\((− a − \beta)\beta = b\)

すなわち

\(\beta^2 + a\beta + b = 0\)

よって、\(\beta\) も \(x^2 + ax + b = 0\) の解である。

 

(証明終わり)

 

解と係数の関係の応用問題

最後に、少しだけ難易度が上がった問題を解いてみましょう。

応用問題①「解から定数を求める」

応用問題①

二次方程式 \(x^2 + ax + b = 0\) の解が \(4, − \displaystyle \frac{5}{2}\) のとき、定数 \(a, b\) を求めよ。

 

二次方程式の \(2\) つの解がわかっているので、解と係数の関係を逆に利用して、係数を求めてみましょう。

解答

 

二次方程式 \(x^2 + ax + b = 0\) において、解と係数の関係より

\(\left\{\begin{array}{l}4 + \left(− \displaystyle \frac{5}{2}\right) = − \displaystyle \frac{a}{1} …①\\4 \cdot \left(− \displaystyle \frac{5}{2}\right) = \displaystyle \frac{b}{1} …②\end{array}\right.\)

 

① より

\(\displaystyle \frac{3}{2} = − a\) すなわち \(a = − \displaystyle \frac{3}{2}\)

 

② より \(b = − 10\)

 

答え: \(a = − \displaystyle \frac{3}{2}, b = − 10\)

 

応用問題②「3α + β, α + 3β を解にもつ二次方程式」

応用問題②

二次方程式 \(2x^2 − x − 7 = 0\) の \(2\) つの解を \(\alpha, \beta\) とするとき、\(3\alpha + \beta, \alpha + 3\beta\) を解にもつ二次方程式を \(1\) つ求めよ。

 

この問題では、わざわざ \(\alpha, \beta\) そのものを求める必要はありません。

まず、元の二次方程式と求めたい二次方程式に解と係数の関係の公式を当てはめて解の和と解の積を計算します。

そうしたら、解と係数の関係を逆に利用して係数を求めましょう。

解答

 

二次方程式 \(2x^2 − x − 7 = 0\) において、解と係数の関係より

\(\left\{\begin{array}{l}\alpha + \beta  = − \displaystyle \frac{(− 1)}{2} = \displaystyle \frac{1}{2}\\\alpha\beta = \displaystyle \frac{− 7}{2} = − \displaystyle \frac{7}{2}\end{array}\right.\)

 

求める二次方程式において、解と係数の関係より

\(\begin{align}(3\alpha + \beta) + (\alpha + 3\beta) &= 4(\alpha + \beta)\\&= 4 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} \\&= 2\end{align}\)

 

\((3\alpha + \beta)(\alpha + 3\beta) \\= 3\alpha^2 + 9\alpha\beta + \alpha\beta + 3\beta^2 \\= 3(\alpha^2 + \beta^2) + 10\alpha\beta \\= 3\{(\alpha + \beta)^2 − 2\alpha\beta\} + 10\alpha\beta \\= 3(\alpha + \beta)^2 + 4\alpha\beta \\= 3\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 + 4 \left(− \displaystyle \frac{7}{2}\right) \\= \displaystyle \frac{3}{4} − 14 = − \displaystyle \frac{53}{4}\)

 

したがって、求める二次方程式の \(2\) 解の和は \(2\)、積は \(− \displaystyle \frac{53}{4}\)

 

解と係数の関係の逆より、

\(3\alpha + \beta, \alpha + 3\beta\) を解にもつ二次方程式は

\(x^2 − 2x − \displaystyle \frac{53}{4} = 0\)

 

答え: \(x^2 − 2x − \displaystyle \frac{53}{4} = 0\)

以上で応用問題も終了です!

 

解と係数の関係をうまく使うと計算が楽になり、計算ミスが減ったり、時間が短縮できたりします。

いろんなタイプの問題を解いて、使い方をマスターしましょう!

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